Correction du devoir Libre 3 Sem2 .pdf


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Lyc´ee AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Correction du Devoir Libre 3 semestre 2
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T.C.S.F
Produit scalaire

Correction 1. .
2
−−→ −−→
^ = a.3a. = 2a2
1 AB.AC = AB.AC.cosA
3


−−→ −→ −−→ −
−→ −−→

−→ −
−→ −
−→ −−→
−−→ −−→
2 BA.BC = BA. BA + AC = BA.BA + BA.AC = BA2 − AB.AC = a2 − 2a2 = −a2
−−→ −−→
Calculons BC. d’apr`es le th´eor`eme d’ALKASHI BC2 = AB2 + AC2 − AB.AC
Donc q
q



−→ −−→
2
2
BC = AB + AC − AB.AC = a2 + (3a)2 − (2a)2 = 6a2 = a a.

m
ja
ou
ch

1
3 Calculons AO. O est le milieu de [BC]. D’apr`es le Th´eor`eme de la m´ediane : AB2 + AC2 = 2AO2 + BC2 .
2
s
s
s
s
AB2 + AC2 − 12 BC2
a2 + 9a2 − 21 .6a2
10a2 − 3a2
7a2
=
=
=
.
Donc : AO =
2
2
2
2
−→ 2 −−→
4 Soit E tel que : BE = CA.
9
−→
−→
−−→
a Montrons que : 9AE = 9BE − 2AC.


−→
−−→ −→

−→
−→
−−→
−−→
−→
−−→
9AE = 9 AB + BE = 9AB + 9BE = 9AB + 2CA = 9BE − 2AC.

f.

A

b Montrons que le triangle ACE est rectangle en A. (c-`
a-d (AC) et (AE) sont orthogonales.)
−−→ −→
il suffit de montrer
=0
que :AC.AE
2
2
2 −−→
−−→ −−→ −−→ 2 −−→ −−→ −−→
−−→ −→ −−→ −
−→
AC.AE = AC. AB − AC = AC.AB − AC. AC = AC.AB − AC2 = 2a2 − .9a2 = 0
9
9
9
9
d’o`
u le r´esultat demand´e.

Pr
o

Correction 2. .
−−→ −−→
^ = AB2 . cos A
^
1 AB.AC = AB.AC. cos A
(car ABC est isoc`ele en A)
v
u −−→ −−→ s
u

6 √
t AB.AC
Donc AB =
=
8
=
2
2.
=
3
^
cos A
4

En appliquant le th´eor`eme d’ALKASHI on aura :
q
q √



−→ −−→
BC = AB2 + AC2 − 2AB.AC = (2 2)2 + (2 2)2 − 2.6 = 16 − 12 = 2
1−
1−

→ −→ −→
−→
−→
−→
−−→
−−→ 3 −−→
−−→
2 IF = IA + AF = − AB − 2BC = − AB − 2BA − 2AC = AB − 2AC.
2
2
2


3 −−→

→ −−→
−−→ −
−→ −
−→
−−→ −−→ 3
−−→ −−→
−→ 3 −
3 IF.AB =
AB − 2AC .AB = AB.AB − 2AC.AB = AB2 − 2AC.AB = 12 − 12 = 0 Donc (AB)et (IF)
2
2
2
sont parall`eles et par suite (IA)et (IF) sont parall`eles.
4 Le triangle AIF est rectangle en I. Donc en utilisant le th´eor`eme de PYTHAGORE :
q
p
√ 2 √

−→
−→
2
2
IF = AF − AI = 42 − 2 = 16 − 2 = 14.
(AF = 2BC car AF = −2BC)
1
5 Th´eor`eme de la m´ediane donne : FA2 + FB2 = 2FI2 + AB2 Donc :
2
r
r
√ 2

1
1
BF = 2FI2 + AB2 − FA2 = 2 14 + (2 2)2 − 42 = 4
2
2

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19 mai 2019

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