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Nom original: MAT2052.pdfAuteur: GHAOUTI Abdallah

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Suites numériques
A.GHAOUTI

Plan :
Définition d’une suite numérique
Suites monotones.
Suites bornées.
Limites et inégalités.
Théorème des suites monotones
Suites extraites
Suites adjacentes

i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.

i. Définition :
On appelle suite réelle toute application

u:N R
n  u ( n)  u n

On la note (un ) nIN ou (un )
Exemples :


u n  (1) n , n  N

u0  1 u1  1 u2  .... u3  ...



2n  1
, n  N v0  1 v1  .... v2  .... v3  .......
n2  1
Représenter les cinq premiers termes de la suite (v n )



Représenter les premiers termes de la suite (u n ) définie par :



vn 

n  N

un 

(1) n
n 1

ii. Suites monotones
Soit (u n ) une suite de nombres réels.


On dit que la suite (u n ) est croissante, lorsque pour tout entier n  N, un 1  un .



On dit que la suite (u n ) est décroissante, lorsque pour tout entier

n  N, un 1  un .


La suite (u n ) est dite monotone, lorsqu’elle est croissante ou décroissante.



On définit de manière analogue, une suite strictement croissante, strictement
décroissante, strictement monotone.

GHAOUTI ABDALLAH

1

Exemples :
1. Les suites de termes généraux : n , n 2 sont croissantes.

1 1
,
sont décroissantes.
n n
3. La suite (u n ) définie par : n  IN , u n  (1) n n’est ni croissante ni
2. Les suites de termes généraux :

décroissante.
Exemple : étudier la monotonie de la suite (u n ) définie par : n  N

n  N

un 1  un 

Car n  IN

un 

n2
n3

n 1 2 n  2 n 1 n  2
5




0
n  1  3 n  3 n  4 n  3 (n  4)(n  3)

n  4  0 et n  2  0

Donc (u n ) est strictement croissante.
iii. Suites majorées-Suites minorées-Suites bornées
Soit (u n ) une suite de nombres réels


La suite (u n ) est dite majorée, lorsqu’il existe un réel M tel que :
pour tout entier naturel n, u n  M



La suite (u n ) est dite minorée, lorsqu’il existe un réel m tel que :
pour tout entier naturel n, u n  m



La suite (u n ) est dite bornée, lorsqu’elle est minorée et majorée.



La suite (u n ) est bornée  (m; M )  IR 2 , n  N , m  u n  M .



La suite (u n ) est bornée  M  0, n  N , u n  M .

Remarques:
1. Si la suite (u n ) est croissante, elle est minorée par son premier terme :
n  N , un  u0

2. Si la suite (u n ) est décroissante, elle est majorée par son premier terme :
n  N , u n  u0

GHAOUTI ABDALLAH

2

Exemples :


Montrer que la suite (u n ) définie par : n  N , un  (1)n est bornée
 n  N ,  1 un  1 donc ( u n ) bornée.




u n  (1) n  1  1 n  N donc ( u n ) bornée.

On considère la suite définie par un  n , n  N

(u n ) est minorée par 0 mais (u n ) n’est pas majorée sinon M  IR , n  N ; n  M
impossible car lim n  
n  

Exercice : Montrer que la suite (u n ) définie par :


u n  n 4  1  n 2 est bornée.



un 

n2
est bornée.
n3

iv. Limites et inégalités :
1. Convergence d’une suite :
Soient (u n ) une suite de nombres réels et l  IR
On dit que (u n ) converge vers l si
  0, p  N n  N n  p  un  l  

On note lim u n  l .
n  

2. Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente
On dit que (u n ) diverge si l  R   0, p  N n  N n  p et un  l   .
Exemples : les suites ((1) n ) et (sin n) sont divergentes.
Remarques :


lim u n  l  Pour chaque choix de   0 , on peut trouver un p  N tel que si

n  

n  IN et n  p alors u n  l   .



un  l    l    un  l  

Après p , tous les termes des suites restent dans la bande l   , l   
Graphique à faire
Unicité de la limite : Si lim u n  l et lim u n  l ' alors l  l ' .
n  

n  

En effet supposons que lim u n  l , l  IR
n  

GHAOUTI ABDALLAH

et lim u n  l ' , l ' IR
n  

3

Soit   0 lim un  l  p1  N n  N n  p1  un  l  
n  

lim u n  l '    0, p 2  IN n  IN n  p 2  u n  l '  

n  

Posons p  max( p1 ; p 2 )  IN .

n  p on a u n  l   et u n  l '   .
l  l'  l  un  un  l'  un  l  un  l'

(Inégalité triangulaire)

D’où l  l '    
i.e. l  l '  2
On en déduit que l  l '  2   0

donc l  l '

Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Preuve : si lim u n  l ( l  IR) alors   0, p  N, n  p ; un  l  
n  

c.-à-d.   0, p  IN , n  p ; l    u n  l  
En particulier pour   1 p  IN , n  p ; l  1  u n  l  1
Donc l’ensemble des termes de la suite de rang  p est borné.
L’ensemble u 0 ; u1 ;.........; u p 1 est fini il a donc un plus petit élément a et un plus
grand élément b d’où n  IN min(a; l  1)  un  max(b; l  1)
Par conséquent la suite (u n ) est bornée.
Remarque : la réciproque est fausse, la suite ((1) n ) est bornée mais non
convergente.
Théorème : Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles convergentes.
Si n  N

un  vn alors lim u n  lim v n .
n  

n  

Remarque : Le passage à la limite «élargit » les inégalités

(n  IN ,

GHAOUTI ABDALLAH

u n  vn )  lim u n  lim v n
n  

n  

4

1
1
Par exemple : u n  1  , n  N * et vn  1  , n  N*
n
n

u n  vn et lim u n  lim v n  1 .
n  

n  

Théorème des gendarmes.
Soient (u n ) , (vn ) et(wn ) trois suites réelles telles que : n  N

un  vn  wn

Si (u n ) et( wn ) convergent vers la même limite l alors la suite (v n ) est convergente
et lim v n  l .
n  

k n

Exemple : Montrer que lim

n 

n
k 1

2

n
1
k

k n

n
n
n
n
.
 2
 2
 ................  2
n 1 n  2
n n
k 1 n  k

Posons u n  

2

Soit k  N; 1  k  n , on va chercher un encadrement de u n

1  k  n  0  1 n2  k  n2  n  n2
1
1
1



car la fonction inverse est décroissante sur 0;
2
2
nn
kn
1 n2
n
n
n



car n  0
2
2
nn
kn
1 n2
k n
k n
k n
n
n
n





2
2
2
k 1 n  n
k 1 k  n
k 1 1  n


k n

n2
n2

u

n
n  n2
1 n2

car    n avec  ne dépend pas de k
k 1

n2
1
 lim
 1 et
or lim
n   n  n 2
n   1
1
n

n2
n2
lim
 lim 2  1 .
n  1  n 2
n  n

Et d’après le théorème des gendarmes on a lim

n 

k n

n
k 1

2

n
1
k

Théorème : Soient (u n ) et(vn ) deux suites réelles telles que n  N, un  vn .


Si lim u n   alors lim v n   .



Si lim v n   alors lim u n   .

n  
n  

GHAOUTI ABDALLAH

n  
n  

5

Proposition :
Soient (v n ) une suite bornée et (u n ) une suite qui converge vers 0
Alors (u n vn ) converge vers 0.
Preuve : lim un  0 donc   0, p  N, n  p ; un  
n  

(v n ) est bornée  M  0, n  N; vn  M
Donc p  N, n  p unvn  un vn  M un  M
D’où lim u n v n  0
n  

1
Exemple : Montrons que lim (1) n sin( )  0 .
n  
n

En effet :

1
on a lim sin( )  sin 0  0 et n  (1) n est bornée
n  
n

1
Donc lim (1) n sin( )  0
n  
n

v .Théorème des suites monotones :
Soit (u n ) une suite réelle alors deux cas se présentent :
1. La suite (u n ) est convergente : lim un  l et l  R
n  

2. La suite (u n ) est divergente :
lim n   )



(u n ) admet une limite infinie (exemple :



(u n ) n’admet pas de limite (exemple : lim (1) n n’existe pas)

n  

n 

Théorème : Soit (u n ) une suite croissante.
1. Si (u n ) est majorée, alors (u n ) converge vers sup un (le plus petit des
nN

majorants de ses termes).
2. Si (u n ) n’est pas majorée, alors (u n ) diverge vers   . ( lim u n   )
n  

GHAOUTI ABDALLAH

6

Remarques :
1) Si (u n ) est croissante et lim u n  l  IR alors n  N
n  

un  l

2) Si (u n ) est strictement croissante et lim u n  l  IR alors n  N u n  l
n  

Théorème : Soit (u n ) une suite décroissante.
1. Si (u n ) est minorée, alors (u n ) converge vers l  inf un (le plus grand des
nN

minorants de ses termes).
2. Si (u n ) n’est pas minorée, alors (u n ) diverge vers   . ( lim u n   )
n  

Remarques :
1) Si (u n ) est décroissante et lim un  l  R alors n  N , l  un
n

2) Si (u n ) est strictement décroissante et lim un  l  R alors n  N l  un .
n  

k n

1
k 1 k

Exemple : Soit ( S n ) la suite définie par : S n  


Montrons que ( S n ) est croissante :

n  N



S n 1  S n 

1
 0 donc ( S n ) est croissante
n 1

Montrons que S 2 n  S n 

1
pour tout n  N *
2

1 k n 1 k 2 n 1
1
1
1
.
   

 ........... 

n 1 n  2
2n
k 1 k
k 1 k
k  n 1 k
1
1
Or on a k  IN et n  1  k  2n donc 
k 2n
2n
k 2 n
1
1
1
1
Donc   

.n  .
2n
2
k  n 1 k
k  n 1 2n
S 2n  S n 

k 2 n



( S n ) est croissante, donc ( S n ) converge ou lim S n  



Montrons par l’absurde qu’elle ne converge pas.

n  

Supposons que ( S n ) est convergente. Notons l  lim S n
n  

l  IR

Donc lim S 2 n  l car (S 2n ) est une suite extraite de ( S n )
n  

GHAOUTI ABDALLAH

7

Donc lim ( S 2 n  S n )  l  l  0 , ce qui est absurde car S 2 n  S n 
n  

1
2

pour tout n  N* .

Donc ( S n ) ne converge pas. Finalement lim S n  
n  

vi. Suites extraites :
Définition : Soient (u n ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que (vn ) est une suite
extraite de (u n ) s’il existe une application  : N  N strictement croissante tel que :

n  N, vn  u ( n )
Exemple : Soit la suite de terme général ((1)n )nN
Les suites constantes (1) et (-1) sont extraites de ((1) n ) nIN
La suite (1) est extraite par l’application  définie par  (n)  2n
La suite (1) est extraite par l’application  définie par  (n)  2n  1
Exercice : On considère la suite (u n ) définie par : u n  n 3 et l’application

 : N  N définie par  (n) n2
Quel est le terme général de la suite extraite de (u n ) par  ?
Théorème :
Toute suite extraite d’une suite réelle convergente de limite l , est convergente de
même limite l
Preuve : lim u n  l et l  IR
n  

Considérons une suite extraite de (u n ) : (u (n ) ) avec  : N  N strictement croissante
Exercice : Montrer par récurrence que si  : N  N est strictement croissante alors

n  N  (n)  n .
Par définition, on a :   0, p  IN n  IN n  p  u n  l  
Or  (n)  N et  (n)  n d' ou  (n)  p si n  p
D’où u ( n )  l   si n  p ce qui prouve que lim u ( n )  l .
n  

GHAOUTI ABDALLAH

8

Remarques : le théorème précèdent est utilisé de la façon suivante :


Si une suite extraite d’une suite (u n ) diverge alors on peut conclure que (u n )



diverge.
Si deux suites extraites d’une suite convergent vers des limites distinctes, on
peut conclure que (u n ) diverge.

Exemple :
Montrons que la suite définie par

un  (1) n , n  N n’est pas convergente

On considère la suite extraite (u 2 n ) : u 2 n  (1) 2 n  1 n  N donc lim u 2 n  1
n  

On considère la suite extraite (u2 n 1 ) : u2 n 1  (1) 2 n 1  1 n  N donc lim u 2 n 1  1
n  

et 1  1 d’où (u n ) n’est pas convergente.
Proposition : Si lim u 2 n  lim u 2 n 1  l et l  IR
n  

n  

alors lim u n  l .
n  

1
Exemple : Montrer que la suite définie par un  sin( n  ) , n  N* converge
n
vers 0.

En effet :
On considère la suite extraite (u 2 n ) : u 2 n  sin( 2n 
2  périodique donc lim u 2 n  lim sin( 
n  

n  

1
1
)  sin(  ) car sinus est
2n
2n

1
)  sin( 0)  0
2n

On considère la suite extraite
1
1
1
)  sin( 2n   
)  sin(  
) car sinus
2n  1
2n  1
2n  1
1
est 2  périodique donc lim u 2 n 1  lim sin(  
)  sin(  )  0 .
n  
n  
2n  1
(u 2 n 1 ) : u 2 n 1  sin(( 2n  1) 

On a lim u 2 n  lim u 2 n 1  0 donc lim u n  l
n  

n  

n  

vii. Suites adjacentes :
Définition : Soit (u n ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que ces deux suites sont
adjacentes lorsque :
1) l’une est croissante.
2) l’autre est décroissante.
3) lim (u n  v n )  0
n  

GHAOUTI ABDALLAH

9

Proposition : Soient (u n ) et (vn ) vérifiant

(u n ) croissante, (vn ) décroissante et (u n  v N )  0 alors n  N ,

un  vn

Preuve : Notons an  vn  u n

an1  an  vn1  vn  u n  u n1
Or vn1  vn  0 car (vn ) est décroissante et u n  u n1  0 car (u n ) est croissante.
Donc (an ) est décroissante.
De plus lim a n  0 donc n  N
n  

an  0 i.e un  vn .

Théorème.
Soient (u n ) et (vn ) deux suites adjacentes (u n ) étant croissante .Alors (u n ) et (vn )
convergent vers un même nombre réel l et n  N un  l  vn
Preuve : n  N

u0  un  vn  v0 .

Donc (u n ) est croissante et majorée (par v0 ) donc (u n ) est convergente.
et (vn ) est décroissante et minorée (par u 0 ) donc (vn ) est convergente.
Notons lim u n  l , lim v n  l ' alors lim (v n u n )  l 'l or lim (v n  u n )  0
n  

n  

n  

n  

Donc l 'l  0 soit l  l ' .
Remarque : l  sup u n le plus petit des majorants donc n  N
nIN

l  inf v n Le plus grand des minorants donc n  N
nIN

D’où l’encadrement de l :

un l

l  vn .

n  N un  l  vn .
(1) k 1
k
k 1

k n

Exemple : On considère la suite (a n ) définie par : a n  
Montrons que les suites (a 2n ) et (a2 n1 ) sont adjacentes.
Posons bn  a2n et cn  a2 n1 .

bn1  bn  a 2( n1)  a 2 n  a 2 n 2  a 2 n 

GHAOUTI ABDALLAH

(1) 2 n (1) 2 n1
1
1



.
2n  1 2n  2 2n  1 2n  2

10

Or 0  2n  1  2n  2 donc

1
1
donc bn1  bn  0 .

2n  1 2n  2

Donc la suite (a 2n ) est croissante.

cn1  cn  a 2 n3  a 2 n1 

(1) 2 n1 (1) 2 n 2
1
1



0 .
2n  2
2n  3
2n  2 2n  3

Or 0  2n  2  2n  3 donc

1
1
1
1

donc

 0.
2n  2 2n  3
2n  3 2n  2

Donc la suite (a2 n1 ) est décroissante.
1
 0.
n   2n  1

lim (a 2 n 1  a 2 n )  lim

n  

En conclusion les suites (a 2n ) et (a2 n1 ) sont adjacentes.
Donc, par le théorème des suites adjacentes (a 2n ) et (a2 n1 ) convergent vers un
même nombre réel l .
On a lim a 2 n  lim a 2 n 1  l et l  IR
n  

n  

Remarque : n  N * ,

0  l  a2n  a2n1 a 2n

Donc

l  a 2 n  a 2 n 1 a 2 n
l  a2n 

lim an  l .

n  

a2 n  l  a2 n1

Donc

Donc

donc

1
2n  1

Donc pour que a 2 n soit une valeur approchée de l à 102 prés , il suffit que
1
99
 10  2 i.e 2n  1  10 2 i.e n 
i.e n  50 .
2n  1
2

GHAOUTI ABDALLAH

11


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