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Exemples :


Montrer que la suite (u n ) définie par : n  N , un  (1)n est bornée
 n  N ,  1 un  1 donc ( u n ) bornée.




u n  (1) n  1  1 n  N donc ( u n ) bornée.

On considère la suite définie par un  n , n  N

(u n ) est minorée par 0 mais (u n ) n’est pas majorée sinon M  IR , n  N ; n  M
impossible car lim n  
n  

Exercice : Montrer que la suite (u n ) définie par :


u n  n 4  1  n 2 est bornée.



un 

n2
est bornée.
n3

iv. Limites et inégalités :
1. Convergence d’une suite :
Soient (u n ) une suite de nombres réels et l  IR
On dit que (u n ) converge vers l si
  0, p  N n  N n  p  un  l  

On note lim u n  l .
n  

2. Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente
On dit que (u n ) diverge si l  R   0, p  N n  N n  p et un  l   .
Exemples : les suites ((1) n ) et (sin n) sont divergentes.
Remarques :


lim u n  l  Pour chaque choix de   0 , on peut trouver un p  N tel que si

n  

n  IN et n  p alors u n  l   .



un  l    l    un  l  

Après p , tous les termes des suites restent dans la bande l   , l   
Graphique à faire
Unicité de la limite : Si lim u n  l et lim u n  l ' alors l  l ' .
n  

n  

En effet supposons que lim u n  l , l  IR
n  

GHAOUTI ABDALLAH

et lim u n  l ' , l ' IR
n  

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