MAT2052 .pdf


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Soit   0 lim un  l  p1  N n  N n  p1  un  l  
n  

lim u n  l '    0, p 2  IN n  IN n  p 2  u n  l '  

n  

Posons p  max( p1 ; p 2 )  IN .

n  p on a u n  l   et u n  l '   .
l  l'  l  un  un  l'  un  l  un  l'

(Inégalité triangulaire)

D’où l  l '    
i.e. l  l '  2
On en déduit que l  l '  2   0

donc l  l '

Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Preuve : si lim u n  l ( l  IR) alors   0, p  N, n  p ; un  l  
n  

c.-à-d.   0, p  IN , n  p ; l    u n  l  
En particulier pour   1 p  IN , n  p ; l  1  u n  l  1
Donc l’ensemble des termes de la suite de rang  p est borné.
L’ensemble u 0 ; u1 ;.........; u p 1 est fini il a donc un plus petit élément a et un plus
grand élément b d’où n  IN min(a; l  1)  un  max(b; l  1)
Par conséquent la suite (u n ) est bornée.
Remarque : la réciproque est fausse, la suite ((1) n ) est bornée mais non
convergente.
Théorème : Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles convergentes.
Si n  N

un  vn alors lim u n  lim v n .
n  

n  

Remarque : Le passage à la limite «élargit » les inégalités

(n  IN ,

GHAOUTI ABDALLAH

u n  vn )  lim u n  lim v n
n  

n  

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