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1
Par exemple : u n  1  , n  N * et vn  1  , n  N*
n
n

u n  vn et lim u n  lim v n  1 .
n  

n  

Théorème des gendarmes.
Soient (u n ) , (vn ) et(wn ) trois suites réelles telles que : n  N

un  vn  wn

Si (u n ) et( wn ) convergent vers la même limite l alors la suite (v n ) est convergente
et lim v n  l .
n  

k n

Exemple : Montrer que lim

n 

n
k 1

2

n
1
k

k n

n
n
n
n
.
 2
 2
 ................  2
n 1 n  2
n n
k 1 n  k

Posons u n  

2

Soit k  N; 1  k  n , on va chercher un encadrement de u n

1  k  n  0  1 n2  k  n2  n  n2
1
1
1



car la fonction inverse est décroissante sur 0;
2
2
nn
kn
1 n2
n
n
n



car n  0
2
2
nn
kn
1 n2
k n
k n
k n
n
n
n





2
2
2
k 1 n  n
k 1 k  n
k 1 1  n


k n

n2
n2

u

n
n  n2
1 n2

car    n avec  ne dépend pas de k
k 1

n2
1
 lim
 1 et
or lim
n   n  n 2
n   1
1
n

n2
n2
lim
 lim 2  1 .
n  1  n 2
n  n

Et d’après le théorème des gendarmes on a lim

n 

k n

n
k 1

2

n
1
k

Théorème : Soient (u n ) et(vn ) deux suites réelles telles que n  N, un  vn .


Si lim u n   alors lim v n   .



Si lim v n   alors lim u n   .

n  
n  

GHAOUTI ABDALLAH

n  
n  

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