MAT2052 .pdf


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Proposition :
Soient (v n ) une suite bornée et (u n ) une suite qui converge vers 0
Alors (u n vn ) converge vers 0.
Preuve : lim un  0 donc   0, p  N, n  p ; un  
n  

(v n ) est bornée  M  0, n  N; vn  M
Donc p  N, n  p unvn  un vn  M un  M
D’où lim u n v n  0
n  

1
Exemple : Montrons que lim (1) n sin( )  0 .
n  
n

En effet :

1
on a lim sin( )  sin 0  0 et n  (1) n est bornée
n  
n

1
Donc lim (1) n sin( )  0
n  
n

v .Théorème des suites monotones :
Soit (u n ) une suite réelle alors deux cas se présentent :
1. La suite (u n ) est convergente : lim un  l et l  R
n  

2. La suite (u n ) est divergente :
lim n   )



(u n ) admet une limite infinie (exemple :



(u n ) n’admet pas de limite (exemple : lim (1) n n’existe pas)

n  

n 

Théorème : Soit (u n ) une suite croissante.
1. Si (u n ) est majorée, alors (u n ) converge vers sup un (le plus petit des
nN

majorants de ses termes).
2. Si (u n ) n’est pas majorée, alors (u n ) diverge vers   . ( lim u n   )
n  

GHAOUTI ABDALLAH

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