Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



اصلاح تمارين الهندسة الفضائية الواردة في اختبارات النوفيام . .pdf



Nom original: اصلاح تمارين الهندسة الفضائية الواردة في اختبارات النوفيام ..pdf
Titre: امتحان ختم التعليم الأساسي
Auteur: الهادي عبد الرحيم

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Word 2013, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 19/06/2019 à 16:48, depuis l'adresse IP 196.178.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 39 fois.
Taille du document: 1.5 Mo (20 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫امتحان ختم التعليم األساسي‬
‫مواضيع وإصالح تمارين الهندسة الفضائية المقترحة منذ دورة جوان ‪0202‬‬

‫جوان ‪0202‬‬
‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫الفهرس‬
‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪I.‬‬
‫‪.0‬‬

‫‪0‬‬

‫نص التمرين ‪0 ..................................................................................................................................................‬‬

‫‪ .2‬الحل المقترح ‪0 .................................................................................................................................................................‬‬
‫دورة جوان ‪3102‬‬

‫‪.II‬‬

‫‪4‬‬

‫‪.0‬‬

‫نص التمرين ‪4 ..................................................................................................................................................‬‬

‫‪.3‬‬

‫الحل المقترح ‪4 ..............................................................................................................................................‬‬

‫‪.III‬‬

‫دورة جوان ‪3102‬‬

‫‪6‬‬

‫‪.0‬‬

‫نص التمرين ‪6 ..................................................................................................................................................‬‬

‫‪.0‬‬

‫الحل المقترح ‪6 ..............................................................................................................................................‬‬

‫‪.IV‬‬

‫دورة جوان ‪3102‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين ‪8 ..................................................................................................................................................................‬‬
‫‪ . 3‬الحل المقترح ‪8 ................................................................................................................................................................‬‬
‫دورة جوان ‪3102‬‬

‫‪.V‬‬

‫‪00‬‬

‫‪.0‬‬

‫نص التمرين ‪00 ................................................................................................................................................‬‬

‫‪.3‬‬

‫الحل المقترح ‪00 ............................................................................................................................................‬‬

‫‪.VI‬‬

‫دورة جوان ‪3102‬‬

‫‪06‬‬

‫‪.0‬‬

‫نص التمرين ‪06 ................................................................................................................................................‬‬

‫‪.3‬‬

‫الحل المقترح ‪06 ............................................................................................................................................‬‬

‫‪1‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.I‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ .2‬الحل المقترح‬

‫‪ .0‬أ ‪ -‬المستقيم )𝑂𝐴( يعامد كالّ من المستقيمين )𝐵𝐴( و )𝐷𝐴( في 𝐴‬
‫)𝐵𝐴( و )𝐷𝐴( مستقيمان من المستوي)𝐷𝐵𝐴( متقاطعان في 𝐴‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝑂𝐴( يعامد المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬

‫‪2‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫(انظر الرسم ‪ 1‬أسفله)‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫ب ‪ -‬المستقيم )𝑂𝐴( يعامد المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬
‫بالتالي فإنه يعامد كل مستقيماته‬
‫من جهة أخرى نعلم أن )𝐶𝐴( محتوى ضمن المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝑂𝐴( يعامد المستقيم )𝐶𝐴(‬

‫(انظر الرسم ‪ 2‬أعاله)‬

‫‪ .2‬الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 مستطيل‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐵𝐴( يعامد المستقيم )𝐷𝐴( في 𝐴‬
‫كما نعلم أن )𝐵𝐴( يعامد )𝑂𝐴( في 𝐴‬
‫ولنا )𝑂𝐴( و )𝐷𝐴( مستقيمان من المستوي)𝐷𝑂𝐴( متقاطعان في 𝐴‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐵𝐴( يعامد المستوي )𝐷𝑂𝐴(‬

‫‪3‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫(انظر الرسم ‪ 3‬أسفله)‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.II‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ .0‬الحل المقترح‬

‫‪ .1‬أ) المستقيم )𝐴𝑆( يعامد كالّ من المستقيمين )𝐵𝐴( و)𝐷𝐴( في 𝐴‬
‫)𝐵𝐴( و )𝐷𝐴( مستقيمان من المستوي )𝐷𝐵𝐴( متقاطعان في 𝐴‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐴𝑆( يعامد المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬

‫ب ‪ -‬المستقيم )𝐴𝑆( يعامد المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬
‫بالتالي فإنه يعامد كل مستقيماته‬
‫‪4‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫(انظر الرسم ‪ 1‬أسفله)‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫من جهة أخرى نعلم أن )𝐶𝐴( محتوى ضمن المستوي )𝐷𝐵𝐴(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐴𝑆( يعامد المستقيم )𝐶𝐴( في 𝐴‬
‫لذا فإن المثلث ‪ SAC‬قائم في 𝐴‬

‫(انظر الرسم ‪ 2‬أعاله)‬

‫‪ .2‬أ) نعلم أن الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 مربع‪ ،‬بالتالي فإن المثلث 𝐷𝐶𝐴 قائم في 𝐷‬
‫(انظر الرسم ‪ 4‬أسفله)‬
‫تطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث تقودنا إلى أن ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶 2 = (2√2) + (2√2) = 16‬‬
‫ومنه‪𝐴𝐶 = 4َ :‬‬
‫ب) لقد سبق أن أثبتنا في السؤال ‪ .0‬ب) أن المثلث ‪ SAC‬قائم في𝐴‬
‫تطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث تقودنا إلى أن ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪𝑆𝐶 2 = 𝑆𝐴2 + 𝐴𝐶 2 = (2√5) + 42 = 36‬‬
‫ومنه‪𝑆𝐶 = 6َ :‬‬
‫‪.3‬‬

‫المثلث ‪ SAC‬قائم في 𝐴 و 𝐸 منتصف وتره ]𝐶𝑆[‬
‫بالتالي فإن النقطة 𝐸 هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ‪ SAC‬في المستوي )𝐶𝐴𝑆(‬
‫(انظر الرسم ‪ 4‬أسفله)‬
‫ومنه فإن‪:‬‬

‫‪5‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫‪6‬‬

‫‪= =3‬‬
‫‪2‬‬

‫𝐶𝑆‬
‫‪2‬‬

‫= 𝐸𝐶 = 𝐸𝑆 = 𝐸𝐴‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.III‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ .0‬الحل المقترح‬

‫لنا 𝐻𝐺𝐹𝐸𝐷𝐶𝐵𝐴 مكعب‬
‫بالتالي فإن ‪:‬‬
‫‪ ‬الرباعي 𝐹𝐺𝐶𝐵 مربع‬
‫لذا فإن المستقيم )𝐺𝐶( يعامد المستقيم )𝐹𝐺( في 𝐺‬
‫‪ ‬الرباعي 𝐷𝐻𝐺𝐶 مربع‬
‫لذا فإن المستقيم )𝐺𝐶( يعامد المستقيم )𝐻𝐺( في 𝐺‬

‫( ‪)0‬‬
‫( ‪)2‬‬

‫من جهة أخرى‪ ،‬لنا ‪ (𝐺𝐹) :‬و )𝐻𝐺( مستقيمان من المستوي)𝐻𝐺𝐹( متقاطعان في 𝐺 (‪)3‬‬
‫اعتمادا على النتائج (‪ )0( ، )0‬و (‪ )3‬نستنتج أن المستقيم )𝐺𝐶( يعامد المستوي )𝐻𝐺𝐹(‬
‫واعتبارا ألن )𝐻𝐹( هو أحد مستقيمات المستوي )𝐻𝐺𝐹(‪ ،‬فإن )𝐻𝐹( يعامد )𝐺𝐶( (‪)4‬‬
‫(انظر الرسم ‪ 1‬أسفله)‬
‫‪ ‬الرباعي 𝐻𝐺𝐹𝐸 مربع‬
‫ومنه فإن )𝐻𝐹( يعامد )𝐺𝐸( في 𝐼‬

‫( ‪)5‬‬

‫من جهة أخرى‪ ،‬لنا ‪ (𝐶𝐺) :‬و )𝐺𝐸( مستقيمان من المستوي)𝐺𝐶𝐸( متقاطعان في 𝐺‬
‫اعتمادا على النتائج (‪ )5( ، )4‬و (‪ )6‬نستنتج أن المستقيم )𝐻𝐹( يعامد المستوي )𝐺𝐶𝐸(‬
‫بالتالي فإن المقترح (بــ) هو الذي يمثل اإلجابة الصحيحة‬
‫(انظر الرسم ‪ 2‬أسفله)‬
‫‪6‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫(‪)6‬‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪7‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.IV‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ . 0‬الحل المقترح‬

‫‪ .1‬نعلم أن الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 مربع‪ ،‬بالتالي فإن المثلث 𝐷𝐶𝐴 قائم في 𝐷‬
‫(انظر الرسم ‪ 1‬أسفله)‬
‫تطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث تقودنا إلى أن‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶 2 = (2√2) + (2√2) = 16‬‬
‫ومنه‪𝐴𝐶 = 4َ :‬‬

‫‪.0‬‬
‫‪ ‬لنعتبر المستوي )𝑆𝐶𝐴( ولنرمز بـ ∆ للموسط العمودي لـ ]𝐶𝐴[ في هذا المستوي‬
‫ 𝑂هي مركز المربع 𝐷𝐶𝐵𝐴‬‫بالتالي فهي منتصف ]𝐶𝐴[‬
‫بالتالي فإن 𝑂 تنتمي إلى ∆‬
‫‪ ‬الهرم 𝐷𝐶𝐵𝐴𝑆 منتظم‬
‫‪8‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫بالتالي فإن كل واحد من أوجهه األربعة مثلث متقايس الضلعين‬
‫وهذه المثلثات متقايسة فيما بينها‬
‫ومنه 𝐶𝑆 = 𝐴𝑆 لذا فإن 𝑆 تنتمي إلى ∆‬
‫هكذا نكون قد أثبتنا أن )𝑂𝑆( =∆‬

‫‪‬‬

‫وبالتالي فإن )𝑂𝑆( يعامد )𝐶𝐴( في 𝑂‬
‫واعتمادا عليه‪ ،‬يكون المثلث 𝑆𝑂𝐶 قائما في 𝑂‬

‫(انظر الرسم ‪ 2‬أسفله)‬
‫(انظر الرسم ‪ 02‬أسفله)‬

‫‪ ‬المثلث 𝑆𝑂𝐶 قائما في 𝑂 بالتالي فإن‪:‬‬
‫‪𝐴𝐶 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑆𝑂 = 𝑆𝐶 − 𝐶𝑂 = 4 − ( ) = 42 − 22 = 16 − 4 = 12‬‬
‫‪2‬‬
‫ومنه فإن‪𝑆𝑂 = √12 = 2√3 :‬‬
‫‪ .3‬لنا 𝑃 المسقط العمودي لـ 𝑂 على المستقيم )𝐶𝑆(‬
‫(انظر الرسم ‪ 03‬أسفله)‬
‫بالتالي فإن ]𝑃𝑂[ يمثل‪ ،‬بالنسبة للمثلث 𝑆𝑂𝐶‪،‬‬
‫االرتفاع الصادر من 𝑂‬
‫أ) لنعبر عن مساحة المثلث القائم 𝑆𝑂𝐶 بصيغتين‪:‬‬
‫𝐶𝑂 × 𝑆𝑂 = 𝐶𝑆 × 𝑃𝑂‬
‫‪𝑂𝑆 × 𝑂𝐶 2√3 × 2‬‬
‫=‬
‫‪= √3‬‬
‫𝐶𝑆‬
‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫= 𝑃𝑂‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬
‫ب)‬

‫لنعتبر المستوي )𝑆𝐷𝐵( ولنرمز بـ ‪ ∆1‬للموسط العمودي لـ ]𝐷𝐵[ في هذا المستوي‬
‫ 𝑂 هي مركز المربع 𝐷𝐶𝐵𝐴 بالتالي فهي منتصف ]𝐷𝐵[‬‫بالتالي فإن 𝑂 تنتمي إلى ‪∆1‬‬
‫‪ ‬الهرم 𝐷𝐶𝐵𝐴𝑆 منتظم بالتالي فإن كل واحد من أوجهه األربعة مثلث متقايس الضلعين‬
‫وهذه المثلثات متقايسة فيما بينها‬
‫ومنه 𝐷𝑆 = 𝐵𝑆 لذا فإن 𝑆 تنتمي إلى ‪∆1‬‬
‫هكذا نكون قد أثبتنا أن )𝑂𝑆( = ‪∆1‬‬

‫‪‬‬

‫وبالتالي فإن )𝑂𝑆( يعامد )𝐷𝐵( في 𝑂‬
‫أي أن )𝑂𝐵( يعامد )𝑂𝑆( في 𝑂‬

‫(انظر الرسم ‪ 3‬أسفله)‬

‫‪ ‬من جهة أخرى‪ ،‬نعلم أن الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 مربع‬
‫بالتالي فإن قطريه يتعامدان في منتصفيهما 𝑂‬
‫ومنه فإن )𝑂𝐵( يعامد )𝐶𝐴( في 𝑂‬

‫تلخيص‪:‬‬
‫)𝑂𝐵( يعامد )𝐶𝐴( في 𝑂‬
‫)𝑂𝐵( يعامد )𝑂𝑆( في 𝑂‬
‫)𝐶𝐴( و )𝑂𝑆( مستقيمان من المستوي )𝐶𝐴𝑆( متقاطعان في النقطة 𝑂‬
‫من خالل هذه النتائج نستخلص أن المستقيم )𝑂𝐵(يعامد المستوي )𝐶𝐴𝑆( (انظر الرسم ‪ 4‬أسفله)‬

‫‪10‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫ج) ‪ 𝑷 -‬نقطة من )𝐶𝑆( بالتالي فهي تنتمي إلى المستوي )𝐶𝐴𝑆(‬
‫𝑶 نقطة من )𝐶𝐴( بالتالي فهي تنتمي إلى المستوي )𝐶𝐴𝑆(‬
‫ومنه فإن المستقيم )𝑂𝑃( محتوى ضمن المستوي )𝐶𝐴𝑆(‬
‫وبما أن المستقيم )𝑂𝐵( يعامد المستوي )𝐶𝐴𝑆( فإنه يعامد كل المستقيمات التي يحتويها‬
‫مما ينجر عنه تعامد المستقيمين )𝑂𝐵( و )𝑂𝑆( نقطة تقاطعهما 𝑂 ولذلك يكون المثلث 𝐵𝑂𝑃 قائما في 𝑂‬
‫‪-‬‬

‫المثلث 𝐵𝑂𝑃 قائم في 𝑂‪ ،‬بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪𝑃𝐵2 = 𝑂𝑃2 + 𝑂𝐵2 = √3 + 22 = 7‬‬
‫‪PB = √7‬‬
‫لذا فإن‪:‬‬
‫(انظر الرسم ‪ 5‬أسفله)‬

‫‪11‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.V‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ .0‬الحل المقترح‬

‫‪ .0‬أ) الوجه 𝐸𝐹𝐵𝐴 مستطيل بالتالي فإن )𝐸𝐴( يعامد )𝐹𝐸(‬
‫والوجه 𝐸𝐻𝐷𝐴 مستطيل بالتالي فإن )𝐸𝐴( يعامد )𝐻𝐸(‬
‫كما نعلم أن )𝐹𝐸( و )𝐻𝐸( مستقيمين متقاطعان من المستوي )𝐻𝐹𝐸(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐸𝐴( يعامد المستوي )𝐻𝐹𝐸(‬
‫ب) المستقيم )𝐸𝐴( يعامد المستوي )𝐻𝐹𝐸(‬
‫)𝐺𝐸( مستقيم محتوى ضمن المستوي )𝐻𝐹𝐸(‬
‫بالتالي فإن )𝐸𝐴( يعامد )𝐺𝐸( ومنه فإن المثلث 𝐺𝐸𝐴 قائم في 𝐸‬
‫‪12‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫ج) ‪ -‬المثلث 𝐺𝐻𝐸 قائم في 𝐻‪ ،‬بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬
‫‪𝐸𝐺 2 = 𝐻𝐸 2 + 𝐻𝐺 2 = 32 + 62 = 45‬‬
‫لذا فإن‪:‬‬

‫‪EG = 3√5‬‬

‫ المثلث 𝐺𝐸𝐴 قائم في 𝐸‪ ،‬بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬‫‪𝐴𝐺 2 = 𝐴𝐸 2 + 𝐸𝐺 2 = 32 + 45 = 54‬‬
‫لذا فإن‪:‬‬

‫‪AG = 3√6‬‬

‫ المثلث ‪ AEG‬قائم في 𝐸 و 𝐼 منتصف وتره ]𝐺𝐴[‬‫بالتالي فإن النقطة 𝐼 هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ‪ AEG‬في المستوي )𝐺𝐸𝐴(‬
‫ومنه فإن‪:‬‬

‫‪3√6‬‬
‫‪2‬‬

‫=‬

‫𝐺𝐴‬
‫‪2‬‬

‫= 𝐼𝐺 = 𝐼𝐴 = 𝐼𝐸‬

‫‪ [𝐴𝐸] .0‬و]𝐺𝐶[ هما حرفان متوازيان ومتقايسان من بين أحرف متوازي المستطيالت𝐻𝐺𝐹𝐸𝐷𝐶𝐵𝐴‬
‫لذا فإن الرباعي 𝐶𝐺𝐸𝐴 متوازي أضالع‬
‫أضف إلى ذلك أن زاويته ̂‬
‫𝐺𝐸𝐴 قائمة‬
‫ومنه نستنتج أن هذا الرباعي مستطيل‬
‫‪ .3‬أ) النقطتان 𝑀 و 𝑁 تنتميان إلى المستقيم )𝐺𝐴( الذي هو بدوره محتوى ضمن المستوي )𝐶𝐺𝐸𝐴(‬
‫‪13‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫بالتالي فإن كل المستقيمات )𝐺𝐴(‪ (𝐸𝑀) ،‬و )𝑁𝐶( موجودة ضمن المستوي )𝐶𝐺𝐸𝐴(‬
‫وبما أن )𝑀𝐸( و )𝑁𝐶( تعامدان نفس المستقيم )𝐺𝐴( فإنهما متوازيان‬

‫ب) ‪𝐸𝑀 ? -‬‬
‫لنا 𝑀 المسقط العمودي لـ 𝐸 على المستقيم )𝐺𝐴(‬
‫بالتالي فإن ]𝑀𝐸[ يمثل‪ ،‬بالنسبة للمثلث 𝐺𝐸𝐴‪،‬‬
‫االرتفاع الصادر من 𝐸‬
‫لنعبر عن مساحة المثلث القائم 𝐺𝐸𝐴 بصيغتين‪:‬‬
‫𝐺𝐸 × 𝐴𝐸 = 𝐺𝐴 × 𝑀𝐸‬
‫‪𝐸𝐴 × 𝐸𝐺 3 × 3√5 √30‬‬
‫=‬
‫=‬
‫𝐺𝐴‬
‫‪2‬‬
‫‪3√ 6‬‬

‫= 𝑀𝐸‬

‫ ? 𝐶𝑁‬‫]𝐺𝐴[ هو أحد قطري المستطيل 𝐶𝐺𝐸𝐴 بالتالي فهو يقسمه إلى مثلثين قائمين متقايسين‬
‫لنا 𝑁 المسقط العمودي ‪C‬على المستقيم )𝐺𝐴(‬
‫بالتالي فإن ]𝑁𝐶[ يمثل‪ ،‬بالنسبة للمثلث 𝐺𝐶𝐴‪ ،‬االرتفاع الصادر من 𝐶‬
‫لنعبر عن مساحة المثلث القائم 𝐺𝐶𝐴 بصيغتين‪:‬‬
‫𝐺𝐶 × 𝐴𝐶 = 𝐺𝐴 × 𝑁𝐶‬
‫‪𝐶𝐴 × 𝐶𝐺 𝐸𝐴 × 𝐸𝐺 3 × 3√5 √30‬‬
‫= 𝑁𝐶‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫𝐺𝐴‬
‫𝐺𝐴‬
‫‪2‬‬
‫‪3 √6‬‬
‫‪14‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫ 𝐼 منتصف ]𝑁𝑀[ ؟‬‫]𝑀𝐸[ و]𝑁𝐶[ متوازيان (يعامدان نفس المستقيم( ومتقايسان (‬

‫‪√30‬‬
‫‪2‬‬

‫= 𝑀𝐸 = 𝑁𝐶)‬

‫لذا فإن الرباعي 𝑁𝐶𝑀𝐸 متوازي أضالع‬
‫بالتالي فإن لقطريه ]𝐶𝐸[ و ]𝑁𝑀[ نفس المنتصف 𝐼‬
‫(ألن 𝐼 منتصف ]𝐺𝐴[ وهو أحد قطري المستطيل 𝐶𝐺𝐸𝐴 إلى جانب ]𝐶𝐸[)‬

‫‪15‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫‪.VI‬‬

‫دورة جوان ‪0202‬‬

‫‪ .0‬نص التمرين‬

‫‪ .0‬الحل المقترح‬

‫‪ .0‬أ) الوجه 𝐷𝐶𝐵𝐴 مستطيل بالتالي فإن )𝐷𝐴( يعامد )𝐶𝐷(‬
‫والوجه 𝐸𝐻𝐷𝐴 مستطيل بالتالي فإن )𝐷𝐴( يعامد )𝐻𝐷(‬
‫‪16‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫كما نعلم أن )𝐶𝐷( و )𝐻𝐷( مستقيمين متقاطعان من المستوي )𝐺𝐶𝐷(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐷𝐴( يعامد المستوي )𝐺𝐶𝐷(‬
‫ولنا )𝐺𝐷( مستقيم محتوى ضمن المستوي )𝐺𝐶𝐷(‬
‫بالتالي فإن )𝐷𝐴( يعامد )𝐺𝐷( ومنه فإن المثلث 𝐺𝐷𝐴 قائم في 𝐷‬
‫ب) ‪ -‬المثلث َ 𝐺𝐶𝐷 قائم في 𝐶‪ ،‬بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬
‫‪𝐷𝐺 2 = 𝐷𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 = 62 + 42 = 52‬‬
‫لذا فإن‪:‬‬

‫‪EG = 2√13‬‬

‫ المثلث 𝐺𝐷𝐴 قائم في 𝐷‪ ،‬بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬‫‪𝐴𝐺 2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐺 2 = 32 + 52 = 61‬‬
‫لذا فإن‪:‬‬

‫‪AG = √61‬‬

‫‪ .0‬أ)‬

‫)𝐵𝐴( يعامد كال من المستقيمين )𝐷𝐴( و)𝐸𝐴(‬
‫و لنا )𝐷𝐴( و)𝐸𝐴( مستقيمان متقاطعان من المستوي )𝐷𝐸𝐴(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐵𝐴( يعامد المستوي )𝐷𝐸𝐴(‬
‫و بما أن المستقيم ∆ بدوره يعامد المستوي )𝐷𝐸𝐴( فإن ∆ و)𝐵𝐴( متوازيان‬
‫واعتبارا ألن )𝐵𝐴( محتوى ضمن المستوي )𝐹𝐸𝐴( فإن ∆ مواز لهذا المستوي‬
‫ونظرا ألن المستوي )𝐹𝐸𝐴( والمستقيم ∆ لهما‪ ،‬على األقل‪ ،‬نقطة مشتركة وهي 𝑀 فإن ∆ ال‬
‫يمكن أن يكون ّإال محتوى ضمن المستوي )𝐹𝐸𝐴(‪.‬‬
‫‪17‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫ب)‬

‫الوجه 𝐵𝐹𝐸𝐴 مستطيل بالتالي فإن المستقيمين الحاملين للحرفين ]𝐵𝐴[ و]𝐹𝐸[ متوازيان‬
‫كما سبق أن أثبتنا أن ∆ و)𝐵𝐴( متوازيان‬
‫بالتالي فإن ∆ و)𝐹𝐸( متوازيان (مع اإلشارة إلى أن هذه المستقيمات الثالث محتواة في المستوي)𝐹𝐸𝐴()‬
‫لنا إذا‪:‬‬
‫ 𝐹𝐸𝐴 مثلث‬‫ 𝑀 تنتمي إلى ]𝐸𝐴[‬‫ 𝑁 تنتمي إلى ]𝐹𝐴[‬‫ )𝑁𝑀( و)𝐹𝐸(متوازيان‬‫اعتمادا على نظرية طالس‪ ،‬نستنتج أن‪:‬‬

‫𝑵𝑴‬

‫ومنه فإن‪:‬‬
‫ج) * لنا‪:‬‬

‫=‬

‫𝑭𝑬‬
‫𝑵𝑴‬
‫𝑭𝑬‬

‫𝑁𝑀 𝑁𝐴 𝑀𝐴‬
‫=‬
‫=‬
‫𝐹𝐴 𝐸𝐴‬
‫𝐹𝐸‬

‫𝑴𝑨‬

‫=‬

‫𝑬𝑨‬
‫𝑴𝑨‬
‫𝑬𝑨‬

‫أي‬

‫𝑵𝑴‬
‫𝟔‬

‫𝟑‬

‫=‬
‫𝟒‬
‫‪6×3 9‬‬
‫= ‪MN‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬

‫* المثلث 𝑁𝑀𝐴 قائم في 𝑀 (∆ يعامد )𝐸𝐴( باعتباره أحد مستقيمات المستوي )𝐷𝐸𝐴() )‬
‫بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪117‬‬
‫‪4‬‬

‫لذا فإن‪:‬‬

‫‪18‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫‪𝐴𝑁 2 = 𝐴𝑀2 + 𝑀𝑁 2 = 32 +‬‬
‫‪3√13‬‬
‫‪2‬‬

‫= ‪AN‬‬

‫امتحان ختم التعليم األساسي‬

‫* )𝐷𝐴( يعامد كال من المستقيمين )𝐸𝐴( و)𝐵𝐴(‬
‫و لنا )𝐵𝐴( و)𝐸𝐴( مستقيمان متقاطعان من المستوي )𝐹𝐸𝐴(‬
‫بالتالي فإن المستقيم )𝐷𝐴( يعامد المستوي )𝐹𝐸𝐴(‬
‫وبما أن المستقيم )𝑁𝐴( محتوى ضمن المستوي )𝐹𝐸𝐴(‬
‫فإن )𝐷𝐴( يعامد المستقيم )𝑁𝐴( في ‪A‬‬
‫هكذا نكون قد أثبتنا أن المثلث 𝑁𝐴𝐷 قائم في 𝐴‬
‫بالتالي حسب نظرية فيثاغورس‪:‬‬
‫‪153‬‬
‫‪4‬‬

‫لذا فإن‪:‬‬

‫=‬

‫‪117‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3√17‬‬
‫‪2‬‬

‫‪𝐷𝑁 2 = 𝐴𝑀2 + 𝑀𝑁 2 = 32 +‬‬

‫= ‪DN‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪1‬‬
‫𝒽×‪×ℬ‬‬
‫‪3‬‬

‫=𝒱‬
‫‪1‬‬

‫نعلم أن حجم الهرم الذي قاعدته مثلث تساوي‪𝒱 = × ℬ × 𝒽 :‬‬
‫‪3‬‬

‫حيث‪ 𝒱 :‬ترمز إلى الحجم‬
‫‪1‬‬

‫ ‪ : ℬ‬إلى مساحة القاعدة وهي في حالتنا المثلث القائم 𝑀𝐴𝐷 )𝐷𝐴 × 𝑀𝐴 × = ‪(ℬ‬‬‫‪2‬‬
‫ 𝒽 ‪ :‬االرتفاع وهو في حالتنا البعد 𝑁𝑀 ‪ ،‬ألن المستقيم )𝑁𝑀( عمودي على مستوي القاعدة في 𝑀‬‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9 27 3‬‬
‫= × ‪× ℬ × 𝒽 = × × 𝐴𝑀 × 𝐴𝐷 × 𝑀𝑁 = × 3 × 3‬‬
‫𝑚𝑐‬
‫‪3‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪19‬‬

‫الهادي عبد الرحيم‬

‫=𝒱‬


Documents similaires


Fichier PDF
Fichier PDF   2
Fichier PDF g
Fichier PDF enna
Fichier PDF fichier sans nom
Fichier PDF fichier pdf sans nom 1


Sur le même sujet..