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Exercice (4points)(question de cours) (Cet exercice sera considéré comme micro intérrogation)
On considère l’équation di¤erentielle linéaire d’ordre2 et homogène (1)
suivante:
y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0
(1)
a1 (x) et a2 (x) sont dé…nis dans R
a)(1point) Donnez la dé…nition de solution générale de l’équation (1)
b) Donnez la dé…nition de 2 solutions y1 et y2 de (1), linéairement dépendantes
c) Donnez la dé…nition de 2 solutions y1 et y2 de (1), linéairement indépendantes
d) Montrez que si 2 solutions y1 et y2 de (1) sont linéairement dépendantes
alors
y1 (x) y2 (x)
8x 2 R :
=0
y10 (x) y20 (x)
e) Soient y1 (x) et y2 (x) deux solutions linéairement indépendantes de
l’équation (1). Montrez que la solution générale de l’équation (1) qu’on note
yg est
yg = C1 y1 + C2 y2 : C1 2 R; C2 2 R
Aide: On peut utiliser sans le démontrer le résultat suivant: Si y1 (x) et
y2 (x) sont deux solutions linéairement indépendantes de l’équation (1) alors
:
y1 (x) y2 (x)
6= 0
8x 2 R :
y10 (x) y20 (x)
Solution Exercice (question de cours) (Cet exercice sera considéré comme micro intérrogation)
a)(0.75point)
yg = '(x; C1 ; C2 ) est la solution générale de l’équation (1) si elle véri…e
les deux conditions suivantes:
1) 8C1 2 R; 8C2 2 R; yg = '(x; C1 ; C2 ) est solution de l’équation
di¤érentielle (1)
2) Pour toutes données initiales (x0 ; y0 ; ); le système linéaire des conditions initiales suivant
y0 = yg (x0 ) = '(x0 ; C1 ; C2 )
= yg0 (x0 ) = '0 (x; C1 ; C2 )
1

admet une seule solution (C1 ; C2 )
b)(0,25) Deux solutions y1 et y2 de (1) sont linéairement dépendantes si
y1
=
y2

= constante

c)(0,25) Deux solutions y1 et y2 de (1) sont linéairement indépendantes
si

y1
6= constante
y2

d) (0.25) Soient y1 et y2 deux solutions de (1) linéairement dépendantes.
Alors on a
y1 = y2 et y10 = y20
et
y1 y2
y10 y20

=

y 2 y2
y20 y20

= ( y2 :y20 )

(y2 : y20 ) = (y2 :y20 )

(y2 :y20 ) = 0

e) (2.5points) Il faut montrer deux faits:
1)(1point) Montrons que yg = C1 y1 + C2 y2 est solution de (1). En e¤et.
On a
yg0 = C1 y10 + C2 y20
yg00 = C1 y100 + C2 y200
Soit en rezmplaçant dans (1)
(C1 y100 + C2 y200 ) + a1 (x) (C1 y10 + C2 y20 ) + a2 (x) (C1 y1 + C2 y2 )
= C1 [y100 + a1 (x)y10 + a2 (x)y1 ] + C2 [y200 + a1 (x)y20 + a2 (x)y2 ]
= C1 :0 + C2 :0 = 0 (car y1 et y2 sont solutions de (1))
2)(1.5point) Les Conditions initiales
y0 = yg (x0 )
= yg0 (x0 )
donnent le système linéaire d’inconnues C1 et C2 suivant:
y0 = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 )
= C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 )
2

Le détérminant de ce système linéaire est
y1 (x0 ) y2 (x0 )
y10 (x0 ) y20 (x0 )
Ce détérminant est non nul car y1 et y2 sont linéairement indépendantes. Par
conséquent le système linéaire
y0 = C1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 )
= C1 y10 (x0 ) + C2 y20 (x0 )
admet une et une seule solution (C1 ; C2 ) :

3


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