Ratt+Corrigé Maths1 SM 2018 2019 .pdf

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20
19

A.U 2018-2019
09/09/2019

(U
AB
T)
20
18
~

Université Abou Bekr Belkaid
Faculté des Sciences- T.C SM

Rattrapage (Maths1)-1h 30mn
(L’usage de la calculatrice est strictement interdit)
Exercice 1:(6pts) Soit

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

R
2

√x
.
1+x2

1. (1 1/2 points) Calculer f (0), f (1) et f (−1).

ce
s

: R →
x 7→

f

cie
n

2. (1 1/2 points) Résoudre l’équation f (x) = −1.

de
sS

3. (3 points) f est-elle Injective? Surjective? Bijective? (Justifier)
Exercice 2:(06pts)

1. (3 points) Calculer les dérivées d’ordre 1, 2 et 3 de la fonction
1
; (x 6= 1).
1−x

lté

Fa
cu

f : x 7→

2. (3 points) Montrer par récurrence que
n!
; ∀n ∈ N.
(1 − x)n+1

(S

1)
~

f (n) (x) =

f (x) =

√

x2 − x; g(x) = x2 .

SM

/S
T

Exercice 3:(08pts) Soit f, g deux fonctions à une seule variable réelle, définies
par:

1. (2 points) Quels sont les domaines de définition de f et g?

MD

2. (3 points) Donner le domaine de définition de f ◦ g.

Pr

em

ièr

eL

3. (3 points) Calculer sur le domaine où elle existe, la dérivée de f ◦ g.
Bon courage

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19

A.U 2018-2019
/09/2019

(U
AB
T)
20
18
~

Université Abou Bekr Belkaid
Faculté des Sciences- T.C SM

Rattrapage (Maths1)-1h 30mn
(L’usage de la calculatrice est strictement interdit)
Exercice 1(cours):(6pts)

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

R
2

√x
.
1+x2

cie
n

1. (1 1/2 points) Calculer f (0), f (1) et f (−1).

ce
s

: R →
x 7→

f

de
sS

√
√
(0.5)
(0.5)
(0.5)
Solution: f (0) = 0, f (1) = 1/ 2 et f (−1) = 1/ 2.

lté

2. (1 1/2 points) Résoudre l’équation f (x) = −1.

solutions(0.5) car

2

√x
1+x2

(0.5)

= −1 cette équation n’admet pas de

Fa
cu

Solution: f (x) = −1 ⇐⇒
2
√x
1+x2

≥ 0; pour tout réel x(0.5).

/S
T

Solution:

(S

1)
~

3. (2 points) f est-elle Injective? Surjective? Bijective? (Justifier)

SM

• f injective ⇐⇒ x1 , x2 ∈ R : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .(0.25) Or
d’après la question 1: f (1) = f (−1) mais 1 6= −1, donc f n’est pas
injective.(0.5)

Pr

em

ièr

eL

MD

• f surjective ⇐⇒ ∀y ∈ R, ∃x ∈ R : y = f (x).(0.25) Or d’après la
question 1: pour y = −1 ∈ R; f (x) = −1 n’admet pas de solution
donc f n’est pas surjective.(0.5)
(0.25)

• f est bijective ⇐⇒ f est injective et surjective, mais comme f n’est
pas injective alors elle n’est pas bijective.(0.25)

Exercice 2:(06pts)

1
; (x 6= 1).
1−x

Solution:
1
,(01)
(1−x)2
2
(1−x)3

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

• f (3) (x) = 6(1 − x)−4 =

=

6
(1−x)4

On peut en déduire que f (n) (x) =

=

2!
,(01)
(1−x)3

3!
.(01)
(1−x)4

n!
.
(1−x)n+1

ce
s

• f(2) (x) = 2(1 − x)−3 =

cie
n

• f 0 (x) = (1 − x)−2 =

(U
AB
T)
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~

f : x 7→

20
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1. (3 points) Calculer les dérivées d’ordre 1, 2 et 3 de la fonction

de
sS

2. (3 points) Montrer par récurrence que

n!
; ∀n ∈ N.
(1 − x)(n+1)

Fa
cu

lté

f (n) (x) =

Solution:

1
.
1−x

Vraie(0.5)

1)
~

• Pour n = 0 : f (0) = f (x) =

• (0.5)Supposons que pour n fixé: f (n) (x) =

et montrons que(0.5)

(n+1)!
.
(1−x)n+2

(S

f (n+1) (x) =

n!
(1−x)n+1



0

/S
T

∀x ∈ R\{1} : f (n+1) (x) = f (n) (x)

0

(n+1)!
.(01)
(1−x)n+2

n!
.(0.5)
(1−x)n+1

SM

Conclusion: ∀n ∈ N : f (n) (x) =



= n!(1−x)−(n+1) =

eL

MD

Exercice 3:(08pts) Soit f, g deux fonctions à une seule variable réelle, définies
par:
f (x) =

√

x2 − x; g(x) = x2 .

Pr

em

ièr

1. (2 points) Quels sont les domaines de définition de f et g?
Solution: Df = {x ∈ R; x2 − x ≥ 0} = {x ∈ R; x(x − 1) ≥ 0} =
] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[.(1.25)
Dg = R.(0.75)

Page 2

(0.5)

(U
AB
T)
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~

(0.5)

20
19

2. (3 points) Donner le domaine de définition de f ◦ g.

Solution: Df ◦g = {x ∈ R/g(x) ∈ Df } = {x ∈ R/ x2 ≥ 1 ou x2 ≤ 0} =
{x ∈ R/(x − 1)(x + 1) ≥ 0 ou x = 0} =] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[∪{0}.(01)
(0.5)

(0.5)

3. (3 points) Calculer sur le domaine où elle est définie, la dérivée de f ◦ g.

(0.25)

2 −1)
2x(2x
√
2 x4 −x2

=

2 −1)
x(2x
√
.(01)
x4 −x2

Pr

em

ièr

eL

MD

SM

/S
T

(S

1)
~

Fa
cu

lté

de
sS

cie
n

(f ◦ g)0 (x) = g 0 (x).(f 0 ◦ g)(x) =

ce
s

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

Solution: La fonction f est dérivable sur ] − ∞, 0[∪]1, +∞[(0.5)
et f 0 (x) = 2√2x−1
(0.75),
x2 −x
la fonction f ◦ g est donc dérivable sur ] − ∞, −1[∪]1, +∞[(0.5) et

Page 3



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