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Méthodes numériques pour les EDP en Finance,
Projet M2MO: Option Asiatique et Americano
Asiatique
VAWDA Mohamed
Paris, Février 2018

Table des matières
1 Introduction

2

2 L’Option Asiatique
2.1 Détermination de l’EDP de l’option Asiatique par AOA . . . . . . . .
2.2 Présentation d’une autre EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Un premier changement de variable . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Une autre EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Un deuxième changement de variable et un passage à une EDP
2.3.2 La condition limite requise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Discrétisation de l’EDP et détermination du système matriciel
2.4 Illustration de nos résultats sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Comparaison de nos résultats avec ceux de Rogers et Shi . . . . . . . .

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
bidimensionnelle
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

3 L’option Call Americano-Asiatique à strike flottant
3.1 Un premier changement de variable et un passage à une EDP bidimensionnelle
3.2 Schéma d’Euler implicite et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Les conditions limites appropriées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Discrétisation par un schéma de type Euler implicite . . . . . . . . . . .
3.3 Illustration de nos résultats sous Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3
3
4
4
4
5
5
5
6
7
10

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.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

11
11
12
12
13
14

4 Conclusion

16

5 Annexe
5.1 Détermination analytique de l’ordre de l’erreur de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Stabilité du Schéma Euler Implicite pour la norme spatiale ||.||8 . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
18

1

1

Introduction

On appelle option européenne, sur un actif risqué S, tout contrat assurant à son détenteur le versement
à la date T du flux φpST q avec φ : R` ÝÑ R` est la fonction payoff de l’option. Les options européennes
dépendant uniquement de la valeur de l’actif risqué à la date T sont souvent appelées option vanille en
référence au parfum le plus commun des glaces vendues aux Etats-Unis. Par contraste, on appelle options
exotiques les options qui présentent des caractéristiques plus complexes. L’exemple historique est celui des
options Asiatiques, qui versent à la maturité T un flux dépendant de toute la trajectoire de l’actif risqué
entre 0 et T. Ils ont été introduit pour éviter le principal problème des options européennes, manipulant le
prix d’un actif près de la maturité et augmentant le gain reçu en exerçant l’option par les traders.
Dans notre première partie, nous déterminons les équations aux dérivées partielles vérifiées par une option Asiatique. Ensuite nous nous concentrons sur le prix d’une option Call Asiatique obtenu à l’aide d’une
discrétisation de l’EDP. Enfin nous finissons par l’illustration de nos résultats, implémentés sous Matlab.
Par ailleurs, toutes ces options de type européen, vanille ou exotique, admettent - au moins théoriquement
- un pendant de type ”Américain” proposant une extension au droit d’exercice à l’ensemble de la période
r0, T s ou à un sous-ensemble de cette période. Après avoir traité le cas de l’option Asiatique, nous traitons
maintenant son extension Americaine : l’option Américano-Asiatique.
Dans notre deuxième partie, nous déterminons une équation aux dérivées partielles vérifiées par une option Américano-Asiatique. Ensuite nous nous concentrons sur le prix d’une option Call Américano-Asiatique
à strike flottant obtenu à l’aide d’une discrétisation de l’EDP. Enfin nous finissons par l’illustration de nos
résultats, implémentés sous Matlab.

2

2

L’Option Asiatique

2.1

Détermination de l’EDP de l’option Asiatique par AOA

Le prix est :
Pt “ vpt, St , At q
avec At “

ş
1 t
t

0

Su du

On a :
dSt “ St prdt ` σdWt q
et :

˙
ˆ
ż
1
1 t
Su du dt ` St dt
dAt “ ´ 2
t 0
t
ñ dAt “

1
pSt ´ At q dt
t

On applique la formule d’Îto à P et on a :
dPt “

Bv
Bv
Bv
1 B2 v
dt `
dSt `
dAt `
d ă S ąt
Bt
BS
BA
2 BS 2

Bv
Bv 1
1 B2 v 2 2
Bv
pSt ´ At q dt `
dt `
St prdt ` σdWt q `
S σ dt
Bt
BS
BA t
2 BS 2 t
˙
ˆ
pSt ´ At q Bv
1
Bv
Bv
Bv
B2 v
` rSt
`
` σ 2 St2 2 dt `
St σdWt
ñ dPt “
Bt
BS
t
BA 2
BS
BS

ñ dPt “

La dynamique du portfeuille de réplication est :
dXt “ δt dSt ` pXt ´ δt St qrdt
ñ dXt “ rXt dt ` δt St σdWt
On choisit δt “

Bv
BS

et on prend vpT, S, Aq “ ϕpS, Aq (1b)

Puis, par absence d’opportunité d’arbitrage, on doit avoir :
Bv
Bv
pSt ´ At q Bv
1
B2 v
` rSt
`
` σ 2 St2 2 “ rv p1aq
Bt
BS
t
BA 2
BS
Ce qui donne le résultat escompté (1).

3

2.2
2.2.1

Présentation d’une autre EDP
Un premier changement de variable

En considérant le processus Bt tel que dBt “ St dt (avec B00,S0 ,0 “ 0q et en posant ψps, bq “ ϕps, Tb q,
on a :
” şT
ı
wp0, S0 , 0q “ E e´ 0 rds ψpST0,S0 , BT0,S0 ,0 q
Et :

żt
Bt “

Su du ñ
0

Bt
“ At
t

Ce qui permet de vérifier :
ı
” şT
wp0, S0 , 0q “ E e´ 0 rds ϕpST , AT q ñ wp0, S0 , 0q “ P
2.2.2

Une autre EDP

On remarque que :

y
wpt, x, yq “ vpt, x, q
t

D’où les dérivées partielles :
B2 v
Bw2

BS 2
BS 2

Bv
Bw

BS
BS

Bw
Bv
“t
BA
BB

Bv
Bw BB Bw

`
Bt
Bt
Bt BB

En utilisant ces égalités dans l’équation (1a) pour substituer les dérivées partielles de w aux dérivées partielles
de v, on trouve l’équation :
´

Bw 1 2 2 B 2 w
Bw
Bw
´ σ S
´ rS
´S
` rw “ 0
Bt
2
BS 2
BS
BB

et wpT, S, Bq “ ϕpS, B
Tq

4

2.3
2.3.1

Résolution du problème
Un deuxième changement de variable et un passage à une EDP bidimensionnelle

On a x “

K´ tA
T
S

. D’où les dérivées partielles :
K ´ tA
´x
Bx
T

“´
2
BS
S
S

Bx
´A

Bt
ST

Bx
´t

BA
ST

Ce qui aide à calculer les dérivées partielles de vpt, S, Aq “ Sf pT ´ t, xq :
Bv
Bf
Bf A
“ ´S
´
Bt
Bt
Bx T

B2 v
B 2 f x2

2
BS
Bx2 S

Bv
Bf
“f´
x
BS
Bx

Bf t
Bv
“´
BA
Bx T

En utilisant ces égalités dans l’équation (1a) pour substituer les dérivées partielles de f aux dérivées partielles
de v, on trouve l’équation :
ˆ
˙
Bf
1
Bf
1
B2 f
`
` rx
´ σ 2 x2 2 “ 0 p2aq
Bt
T
Bx 2
Bx
Et la condition finale (1b) devient :
vpT, S, Aq “ pA ´ Kq` ñ f p0, xq “

1
pA ´ Kq`
S

ñ f p0, xq “ maxp´x, 0q p2bq
Ce qui donne le résultat escompté (2).
2.3.2

La condition limite requise

Dans le cas où la condition initiale est f p0, xq “ x, déterminons une solution analytique de la forme
gpt, xq “ xaptq ` bptq.

#

gpt, xq “ x aptq ` b ptq
gp0, xq “ ´x

ùñ

$ Bg
9

9 ` bptq
“ x aptq



Bt

&
Bg
“ aptq

Bx


’ B2 g

%
“0
Bx2

En utilisant l’EDP (2) :
Bg
1
Bg 1 2 2 Bg
´ σ x
“0
` p ` r xq
2
Bt
2
Bx
T
Bx

On obtient :

$

9 ` p 1 ` r xq aptq “ 0
9 ` bptq

&x aptq
T
ap0q “ ´1


%
bp0q “ 0

Nous dérivons par rapport à x et obtenons :
aptq
9 ` r aptq “ 0
Nous avons donc affaire à une EDO linéaire du premier ordre. Nous obtenons ainsi :
aptq “ ´ expp´r tq.
5

En réinjectant dans l’équation, nous obtenons :
1
9 “0
expp´r tq ` bptq
T
ˆ
˙
1 1 ´ e´rt
ñ bptq “
T
r

´

Finalement,
gpt, xq “ ´xe´r t `
2.3.3

1
T

ˆ

1 ´ e´rt
r

˙

Discrétisation de l’EDP et détermination du système matriciel
1
Bu 1 2 2 Bu
Bu
` p ` r xq
´ σ x
“0
2
Bt
2
Bx
T
Bx

On discrétise l’EDP par une méthode de différences finies (de type Crank-Nicolson).
En notant unj la quantité approximée, nous avons :
«
¸ff
˜ n`1
¸ ˆ
˙˜ n
n`1
n`1
n`1
un`1
´ unj
un`1
unj`1 ` unj´1 ´ 2unj
uj`1 ´ unj´1
1 1 2 2 uj´1 ` uj`1 ´ 2 uj
1
j
j`1 ´ uj´1

σ xj
`
` r xj
`
´
∆t
2 2
∆ x2
∆ x2
T
2∆x
2∆x

L’écriture matricielle est donc :
˘ F n`1 ` F n
1`
U n`1 ´ U n
`
p7q
A U n`1 ` AU n “
∆t
2
2
avec :

¨
˚
˚
Un “ ˚
˝

un1
un2
..
.

˛





unN
et A matrice tridiagonale telle que :
$






&

σ 2 x2i
∆x2
1
1
1 σ 2 x2i
` p ` rxi q
“´
2
2 ∆x
T
2∆x
1 σ 2 x2i
1
1
“´
´ p ` rxi q
2 ∆x2
T
2∆x

Ai,i “

Ai,i`1






%Ai,i´1
et F vecteurs des conditions aux bords :
¨ ´

2
2
1 σ Xmin
2 ∆x2

`

1
T

`r Xmin
2∆x

˚
˚
F “˚
˚
˝

0
..
.

n

¯

˛
gptn , Xmin q






0
On a alors la relation entre U n`1 et U n qui est donnée par :
ˆ
˙
ˆ
˙
˘
1
∆t ` n`1
1
n`1
“ IN ´ ∆t A U n `
F
` Fn
IN ` ∆t A U
2
2
2
6

Il nous reste plus qu’à inverser
ˆ
M“

˙
1
IN ` ∆t A
2

(qui est bien inversible [2]) à l’aide d’une méthode de décomposition LU et ceci pour une meilleur complexité.

2.4

Illustration de nos résultats sous Matlab

On a implémenté la méthode sur Matlab, on obtient le résultat suivant :

Figure 1 – Courbe de f obtenue avec les paramètres :
sigma=0.2 ; r=0.09 ; T=1 ; Xmin=-5 ; Xmax=+5 ;
N=200 (nombre de pas pour le temps) ; I=2000 (nombre de pas pour l’espace) ;

7

Pour avoir le prix de l’option, comme vpt, S, Aq “ Sf pT ´ t, xq, il suffit de multiplier la valeur de f par le
prix du sous-jacent. Par exemple, traçons la courbe des prix obtenus à la monnaie (pour S=100) :

Figure 2 – Courbe du Prix autour de x=1 obtenue avec les paramètres :
S=100 ; sigma=0.2 ; r=0.09 ; T=1 ; Xmin=-5 ; Xmax=+5 ;
N=200 (nombre de pas pour le temps) ; I=2000 (nombre de pas pour l’espace) ;
On a également vérifié l’ordre numérique de la méthode en traçant l’erreur de discrétisation obtenue à
chaque variation du pas de x :

8

Figure 3 – Evolution de la log-erreur de discrétisation en multipliant par 2 le nombre de pas d’espace à
chaque itération. Comparaison avec les droites de pente -1, -2 et -3.

Figure 4 – Erreur de discrétisation.
On observe que l’erreur de discrétisation est divisée par 4 à chaque fois que le pas pour x est divisé par 2.
ek „ Chα
k
ie :
lnpek q “ lnpCq ` αlnphk q ” lnpCq ˘ kα
Ici en observant la pente, on trouve α “ 2. On a donc une méthode d’ordre 2 pour x.
Ainsi, les résultats numériques correspondent bien aux résultats théoriques se trouvant en Annexe.
Remarque : En absence de formule explicite pour le prix, la solution ”exacte” utilisée pour le calcul de
l’erreur est le vecteur de prix obtenu en prenant des pas très petits.
9

2.5

Comparaison de nos résultats avec ceux de Rogers et Shi

Comparons les résulats obtenus avec ceux de Rogers et Shi[3] (avec T “ 1, dx “ 0.005).

On observe des résultats du même ordre lorsque Sigma est assez élevé, mais sensiblement différents pour Sigma
faible. Cela est dû à une hypothèse supplémentaire dans l’équation de Roger et Shi liée à leur utilisation de
l’algorithme D03PAF pour résoudre l’EDP.

10

3

L’option Call Americano-Asiatique à strike flottant

3.1

Un premier changement de variable et un passage à une EDP bidimensionnelle

On s’interesse à l’E.D.P(12) suivante :
$
ˆ
˙
2
2

&min ´ BV ´ σ S 2 B V ´ r S BV ´ 1 pS ´ Aq BV ` r V, V ´ φpS, Aq “ 0 S, A ě 0
Bt
2
BS 2
BS
t
BA

%
φpS, Aq “ pA ´ Sq`
On réalise les changement de variable suivant t ÝÑ T ´ t

t P p0, T q

On a x “ ´ A
S et on calcule les dérivées partielles de V pt, S, Aq “ Sf pT ´ t, xq :
Bx
x
“´
BS
S

BV
Bf
“S
Bt
Bt

BV
Bf
“f ´x
BS
Bx

´BV
Bf B 2 V
x2 B 2 f
“´

BA
Bx BS 2
S Bx2

En
les résultats dans (12), on obtient L’EDP voulue
$ reportant
ˆ
˙
Bf
σ 2 x2 B 2 f
1
Bf

`
&S min
´
` pr x `
p1 ` xqq , f ´ p´1 ´ xq
“ 0 x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ´t
Bx

%
S f p0, xq “ φpS, Aq “ S p´1 ´ xq`
Comme S ą 0, on a après simplification :
$
ˆ
˙
2 2 2

&min Bf ´ σ x B f ` pr x ` 1 p1 ` xqq Bf , f ´ p´1 ´ xq` “ 0, x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ´t
Bx

%
f p0, xq “ p´1 ´ xq`
Dans le cas de (13), on procède exactement de la même manière et on a l’EDP :
$
2 2 2
& Bf ´ σ x B f ` pr x ` 1 p1 ` xqq Bf “ 0 x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ´t
Bx
%
f p0, xq “ p´1 ´ xq`

11

3.2

Schéma d’Euler implicite et stabilité

Dans
cette
on s’interesse à l’EDP suivante :
$
ˆ section
˙
2 2 2
1
Bf
σ
x
B f
Bf

`
&min
`
pr
x
`
´
p1
`
xqq
,
f
´
p´1
´
xq
“ 0, x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ´t
Bx

%
f p0, xq “ p´1 ´ xq`
On considere dans un premier temps que nous n’avons pas encore rencontré l’obstable. Ceci nous donne :
$
2 2 2
& Bf ´ σ x B f ` pr x ` 1 p1 ` xqq Bf “ 0, x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ´t
Bx
%
f p0, xq “ p´1 ´ xq`
3.2.1

Les conditions limites appropriées

On cherche les conditions limites appropriées. On commence par la condition limite à gauche : Dans
le cas où la condition initiale est f p0, xq “ ´1 ´ x, déterminons une solution analytique de la forme
hpt, xq “ xaptq ` bptq.
Par identification, on a ap0q “ bp0q “ ´1
On reporte h dans (13) et on obtient(en évaluant en x “ 0 et x “ ´1) :
#
˙ ˙
ˆ
˙
ˆ
ˆ
hpt, xq “ x aptq ` b ptq
1
1
a9 ` r `
a x ` b9 `
a
ùñ
T ´t
T ´t
hp0, xq “ ´x

“0

On dérive par rapport à x, et ceci nous donne :
ˆ
$


&a9 ` r `


%

˙

1
a“0
T ´t
1
a“0
b9 `
T ´t

ùñ

$
T ´t

aptq “ ´ expp´r tq



T


&
p1 ´ expp´r tq
bptq “ ´1 `
rT



’ap0q “ ´1


%
bp0q “ ´1

Finalement,
˙
ˆ
1 ´ expp´r tq
t
hpt, xq “ ´ expp´rtq p1 ´ q x ´ 1 `
T
rT
De plus, on remarque que pour x ď ´1,
Bh
t
1
expp´r tq
t
“ r expp´r tqp1 ´ qx ` expp´r tqp qx `
ď ´r expp´r tqp1 ´ q ď 0
Bt
T
T
T
T
Ceci implique pour x ď ´1
hpt, xq ď hp0, xq “ gpxq
Enfin, comme la solution hpt, xq doit vérifier hpt, xq ě gpxq pour x ď ´1(car l’obstacle n’est pas encore
atteint), on va raisonnablement prendre gpxq “ hpt, xq lorsque xÑ ´8
On a ainsi notre première condition limite en x “ Xmin ď ´1 et Xmin Ñ ´8.
C’est la condition de Dirichlet suivante f pt, Xmin q “ gpXmin q
Continuons avec la condition limite de Neumann à droite : Il suffit pour cela de discrétiser
Bf
Bx px “ Xmax q “ 0. Ceci nous donne :
n
fI`1
´ fIn
“0
h
Ce qui nous donne pour tout n :
n
fI`1
“ fIn

12

3.2.2

Discrétisation par un schéma de type Euler implicite

Prenons ą 0 (plus precisemment “ 10´10 et considerons l’EDP :
$
2 2 2
1
Bf
& Bf ´ σ x B f ` pr x `
p1 ` xqq
“ 0, x ď 0, t P p0, T q
Bt
2 Bx2
T ` ´t
Bx
%
f p0, xq “ p´1 ´ xq`
Afin d’assurer la stabilité du schema, On discretise maintenant cette EDP par une méthode de différence
finie de type Euler implicite avec un décentrage pour assurer la stabilité.
En effet, le terme d’advection cnj “ r x ` T1`x
` ´t n’est pas borné lorsque t Ñ T

h“

Xmax ´ Xmin
I `1

xj “ Xmin ` j h

pour j “ 0, ..., I ` 1

∆t “

T
N

tn “ n∆t avec 1 ď N, I

Pour j “ 1...I
fjn`1 ´ fjn
1
` σ 2 x2j
∆t
2

˜

n`1
n`1
´fj´1
` 2 fjn`1 ´ fj`1
h2

¸
` pcnj q`

n`1
n`1
fjn`1 ´ fj´1
fj`1
´ fjn`1
` pcnj q´
“0
h
h

avec x` “ maxpx, 0q et x´ “ minpx, 0q
Pour j=I, la condition de Neumann nous donne alors :
fIn`1 ´ fIn
1
` σ 2 x2I
∆t
2

˜

n`1
´fI´1
` fIn`1
h2

¸
` pcnI q`

n`1
fIn`1 ´ fI´1
“0
h

L’écriture matricielle de l’EDP est :

avec :

f n`1 ´ f n
` Af n`1 ` qn`1 “ 0
∆t
¨ n ˛
f1
˚ f2n ‹
˚

fn “ ˚ . ‹
˝ .. ‚
n
fN

et A matrice tridiagonale telle que :
$


Aj,j









Aj,j`1




&
Aj,j´1








AI,I´1







% AI,I

|cnj |
σ 2 x2j
`
h2
h
pcnj q´
1 σ 2 x2j
“´
`
2
2 h
h
pcnj q`
1 σ 2 x2j
´
“´
2 h2
h
1 σ 2 x2I
pcnI q`
“´
´
2 h2
h
2 2
1 σ xI
pcnI q`

`
2 h2
h



13

tN “ T

et qn vecteurs des conditions aux bords :
˙
¨ ˆ
`
2
2
pcnXmin q
1 σ Xmin
p´1 ´ Xmin q
h
˚ ´ 2 h2 ´
˚
˚
0
qn “ ˚
˚
..
˝
.
0

˛







On a alors la relation entre f n`1 et f n qui est donnée par :

p∆t A ` Iqf n`1 “ f n ´ qn`1 ∆t
Il ne reste qu’à inverser B “ p∆t A`Iq (inversible [1]), par une méthode de décomposition LU afin d’avoir
une meilleur complexité.

3.3

Illustration de nos résultats sous Matlab

On a implémenté la méthode sur Matlab, on obtient le résultat suivant :

Figure 5 – Courbe de f obtenue avec les paramètres :
sigma=0.2 ; r=0.09 ; T=1 ; Xmin=-2 ; Xmax=-0.0000001 ;
N=200 (nombre de pas pour le temps) ; I=2000 (nombre de pas pour l’espace) ;

14

Pour avoir le prix de l’option, comme vpt, S, Aq “ Sf pT ´ t, xq, il suffit de multiplier la valeur de f par le
prix du sous-jacent. Par exemple, traçons la courbe des prix obtenus pour S=100 :

Figure 6 – Courbe du Prix autour de x=1 obtenue avec les paramètres :
S=100 ; sigma=0.2 ; r=0.09 ; T=1 ; Xmin=-2 ; Xmax=-0.0000001 ;
N=200 (nombre de pas pour le temps) ; I=2000 (nombre de pas pour l’espace) ;

15

4

Conclusion

Tout comme Dubois et Lelièvre[1], Rogers et Shi[3], on a utilisé des méthodes numériques basées sur les
EDPs. Il y en a d’autre : Monte Carlo, solutions analytiques ou semi analytiques, méthode d’approximation.
L’avantage de notre méthode est qu’elle est plus rapide qu’une méthode de Monte Carlo. L’incovénient est
qu’elle est plus compliqué à implémenter pour les EDPs bien que nous ayons eu à faire dans notre cas, à des
schémas facilement implémentables.
Que ce soit pour le Call Asiatique à strike fixe ou le Call Américano Asiatique à strike flottant, les méthodes
ont été les mêmes : On a commencé par exploiter un changement d’échelle pour passer d’une EDP de trois
variables à une EDPs à deux variables. Pour la première, nous avons réalisé un changement de variable dependant du temps et nous avons ainsi obtenu un pay-off dependant du temps. Pour la seconde ce fut le cas
contraire : notre changement de variable ne dépendait pas du temps et subsequemment le pay-off non plus.
Le changement de variable impactait ainsi la dépendance du pay-off vis à vis des paramètres.
Enfin, Les EDPs, à deux dimensions, respectivement obtenues étaient moins générales que celles à trois
dimensions. Elles ne sont donc valables que pour des pay-offs spécifiques.

16

5

Annexe

5.1

Détermination analytique de l’ordre de l’erreur de discrétisation

On va déterminer l’erreur de discrétisation de façon analytique. On commence par noter : unj : la quantitée
approximée Ejn “ upj ∆x, n ∆tq : la solution exacte de l’EDP
On a par définition de l’erreur de consistance :
Ejn`1 ´ Ejn
nj “
« ∆t ˜ n`1
¸ ˆ
¸ff
˙˜ n
n`1
n`1
n`1
n
n
n
Ej`1
´ Ej´1
Ej´1 ` Ej`1
´ 2 Ejn`1
Ej`1
` Ej´1
´ 2Ejn
Ej`1 ´ Ej´1
1 1 2
1

`
´
σ xj
` r xj
`
2 2
∆ x2
∆ x2
T
2∆x
2∆x
On obtient par développement de Taylor :
Ejn`1 ´ Enj “ upj ∆x, n ∆t ` nq ´ upj ∆x, n ∆tq
Bu
pj ∆x, n ∆tq∆t ` Op∆t2 q

Bt
n`1
´ 2 Enj ` Enj`1 “ rupj ∆x ´ ∆x, n ∆tq ´ upj ∆x, n∆tqs ` rupj∆x ` ∆x, n∆tq ´ upj∆x, n ∆tqs
Ej´1


Bu
B2 u
p∆xq2
B3 u
p∆xq3
“ ´
pj ∆x, n ∆tq∆x ` 2 pj ∆x, n ∆tq
´ 3 pj ∆x, n ∆tq
` Op∆x4 q
Bx
B x
2
B x
3!


2
2
3
Bu
B u
p∆xq
B u
p∆xq3
4
`
pj ∆x, n ∆tq∆x ` 2 pj ∆x, n ∆tq
` 3 pj ∆x, n ∆tq
` Op∆x q
Bx
B x
2
B x
3!
B2 u
“ 2 pj ∆x, n ∆tqp∆xq2 ` Op∆x4 q
B x
n`1
Ej`1
´ 2 En`1
` En`1
j
j´1 “

B2 u
pj ∆x, n ∆tqp∆xq2 ` Op∆x4 q
B2 x

Enj`1 ´ Enj´1 “ upj ∆x ` ∆x, n ∆t ` nq ´ upj ∆x ´ ∆x, n ∆tq
“ upj ∆x ` ∆x, n ∆t ` nq ´ upj ∆x, n∆tq ´ pupj ∆x ´ ∆x, n ∆tq ´ upj ∆x, n∆tqq
Bu
“ 2 pj ∆x, n ∆tq∆x ` Op∆x3 q
Bx
Ainsi, nous obtenons

ˆ 2
˙ ˆ
˙
Bu
1 1 2 2
B u
1
Bu
n
2
2
2
j “
pj ∆x, n ∆tq ` Op∆t q ´
σ xj 2
pj ∆x, n ∆tq ` Op∆x q ´ p ` r xj q 2
pj ∆x, n ∆tq ` Op∆x q
Bt
2 2
Bx
T
Bx
Bu
1
B2 u
1
Bu

pj ∆x, n ∆tq ´ σ 2 x2j
pj ∆x, n ∆tq ` p ` r xj q pj ∆x, n ∆tq ` Op∆t2 q ` Op∆x2 q
Bt
2
Bx
T
Bx
2
2
“ Op∆t q ` Op∆x qpcar u vérif ie 3aq
ñ } nj } ď Cp∆t2 ` ∆x2 q@j, n
Donc l’erreur du schéma est de 2 en temps et en espace.

17

5.2

Stabilité du Schéma Euler Implicite pour la norme spatiale ||.||8

Pour ∆t assez petit et δ ą 0, B “ p∆t A ` Iq est à diagonale dominante δ
Ainsi, on a le résultat suivant de bornitude sur la norme L8 de B ´1 :
||B ´1 ||8 ď

1
δ

ď1

(**)

Posons g “ pgpxj qqj
et considérons le schéma suivant maxpfjn`1 , gpxj qq “ zjn`1
Remarquons zjn`1 “ maxpB ´1 fjn , gpxj qq
On a ||z n`1 ||8 ď maxp||B ´1 f n ||8 , ||g||8 q
ď maxp||f n ||8 , ||g||8 q d1 après p˚˚q
ď maxp||z n ||8 , ||g||8 q par déf inition de z
Par récurrence, comme f 0 “ g, on a :
||z n`1 ||8 ď maxp||z 0 ||8 , ||g||8 q “ ||g||8 “ ||g||L8 rXmin ,Xmax s
On a ainsi montré que pour la norme spatiale ||.||L8 spatiale, le schéma Euler implicite est inconditionnellement stable.

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Références
[1]

Dubois Lelièvre. “Efficient pricing of Asian options by the PDE approach”. In : Journal of Computational Finance 9 (Winter 2005), p. 55–63. doi : https://www.ljll.math.upmc.fr/ ~bokanowski/
enseignement/2016/M2MO/refs.zip.

[2]

Yves Achdou et Olivier Pironneau. “Computational Methods for option Pricing”. In : SIAM, 2005.
Chap. 3.

[3] ROGERS et SHI. “The value of an Asian Option”. In : Queen Mary and Westfied College, University of London 11 (1995), p. 1077–1088. doi : https : / / www . ljll . math . upmc . fr / ~bokanowski /
enseignement/2016/M2MO/refs.zip.

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