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Sujet 1 :
Application de techniques de
filtrage à la courbe des taux Swap
Euro


VAWDA Mohamed Ismaël

UNGARI Sandrine

SUJET 1 : ............................................................................................................................................................... 1
APPLICATION DE TECHNIQUES DE FILTRAGE A LA COURBE DES TAUX SWAP EURO..................... 1
MODELISATION DES COURBES DE TAUX D’INTERETS.............................................................................. 4
1.
1.1.
1.2.

1.3.


2.
2.1.


2.1.
2.2.





2.3.



2.4.




2.5.





3.
3.1.



3.2.
3.3.

3.4.





3.5.

CONSTRUCTION DE LA COURBE DE TAUX ZERO-COUPON D’ETAT ..................................................................... 4
LES DONNEES................................................................................................................................................ 4
TRAITEMENT DES MATURITES MANQUANTES ....................................................................................................... 4
OBTENTION DES SEGMENTS DE MATURITE PAR INTERPOLATION .............................................................................. 4
CONVERSION DES TAUX SWAP EN TAUX ZERO-COUPON : LE DECOUPONNAGE ............................................................ 4
POUR LES SEGMENTS DE MATURITES DE LA COURBE INFERIEURS A 1 AN (INCLUE) ....................................................... 4
POUR LE SEGMENT DE MATURITE DE LA COURBE ALLANT DE 1 AN A 2 ANS................................................................. 4
LE MODELE ACP VASICEK .................................................................................................................................. 6
LE PRINCIPE DE L’ACP.................................................................................................................................... 7
LA MATRICE DE CORRELATION : ........................................................................................................................ 7
LES FACTEURS EXPLICATIFS DE L’ACP ................................................................................................................. 7
LE MODELE DE VASICEK .................................................................................................................................. 9
ETUDES PRELIMINAIRES ................................................................................................................................ 10
TEST DE LA NORMALITE SUR LES FACTEURS PRINCIPAUX AVEC L'EXEMPLE DU PREMIER FACTEUR ................................... 10
FACTEUR PRINCIPALE 1 ................................................................................................................................. 10
FACTEUR PRINCIPALE 2 ................................................................................................................................. 11
FACTEUR 3 ................................................................................................................................................. 11
L’EDS AVEC LAQUELLE NOUS TRAVAILLONS ; .................................................................................................... 12
CALIBRAGE DU MODELE DE VASICEK ACP ......................................................................................................... 13
DISCRETISATION EXACTE DE L’EDS DE VASICEK.................................................................................................. 13
DISCRETISATION PAR LE SCHEMA D’EULER ........................................................................................................ 13
ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE CONDITIONNELLE POUR LE SCHEMA DE DISCRETISATION EXACTE .......... 14
ANALYSE DES RESULTATS DU CALIBRAGE DU MODELE DE VASICEK .......................................................................... 15
COMPARAISON DES RESULTATS ...................................................................................................................... 15
VERIFICATION DE LA COHERENCE DES PARAMETRES ESTIMES ................................................................................ 15
LES CONTRAINTES SUR LES PARAMETRES........................................................................................................... 15
LES BONS ESTIMATEURS ................................................................................................................................ 15
DIFFUSION DES TAUX ZERO-COUPON ............................................................................................................... 16
PRINCIPE DE LA DIFFUSION DES TAUX ZERO COUPON VIA LE MODELE ACP VASICEK ................................................... 16
ANALYSE DES PROJECTIONS ........................................................................................................................... 17
ANALYSE DE LA COHERENCE DU MODELE .......................................................................................................... 17
LES COURBES D’AVANT CRISE ......................................................................................................................... 17
LES COURBES POST-CRISE .............................................................................................................................. 18
LE MODELE DE NELSON SIEGEL ....................................................................................................................... 19
PRESENTATION DU MODELE ........................................................................................................................... 19
LE MODELE DE NELSON SIEGEL (1987) (NS) .................................................................................................... 19
LES FONCTIONS DE CHARGE ........................................................................................................................... 20
LES CONTRAINTES IMPLICITES ......................................................................................................................... 20
CALIBRAGE DU MODELE DE NELSON SIEGEL ...................................................................................................... 21
ANALYSE DES RESULTATS DU CALIBRAGE SUR TOUT L'HISTORIQUE .......................................................................... 22
ANALYSE DU FITTING DES COURBES ESTIMEES PAR NS ET HISTORIQUE .................................................................... 22
MODELE DE SERIE TEMPORELLE SUR LES PARAMETRES 𝜷 ..................................................................................... 23
ANALYSE DE LA SERIE DES 𝜷𝟎𝒕𝒕 ∈ 𝟎, 𝟏𝟒𝟗 ..................................................................................................... 23
ANALYSE DES CORRELATIONS DE LA SERIE DES 𝜷𝟎𝒕𝒕 ∈ 𝟎, 𝟏𝟒𝟗 ........................................................................... 23
ANALYSE DE LA NORMALITE DES RESIDUS .......................................................................................................... 25
ANALYSE DES PARAMETRES 𝜷𝟏𝒕𝒕 ∈ 𝟎, 𝟏𝟒𝟗 , 𝜷𝟐𝒕𝒕 ∈ 𝟎, 𝟏𝟒𝟗......................................................................... 25
MODELISATION DES DEPENDANCES DES 𝜺: LA COPULE GAUSSIENNE ...................................................................... 26
ANALYSE DE LA COHERENCE DES PROJECTIONS ................................................................................................... 27

page 2/45









ANALYSE DE LA COHERENCE DU MODELE .......................................................................................................... 28
LES COURBES D’AVANT CRISE ......................................................................................................................... 28
LES COURBES D’APRES CRISE .......................................................................................................................... 29
COMPARAISON DES COURBES SIMULEES D’ACP VASICEK ET DE NS ........................................................................ 30
LES COURBES D’AVANT CRISE ......................................................................................................................... 30
LES COURBES D’APRES CRISE .......................................................................................................................... 32
CONCLUSION : ............................................................................................................................................ 32

4.

ANNEXE .......................................................................................................................................................... 33





LA RELATION ENTRE LE TAUX ZERO-COUPON 𝑹𝒕𝒎 ET LE TAUX FORWARD 𝒇𝒕𝒎 ...................................................... 33
DISCRETISATION EXACTE DU MODELE DE VASICEK .............................................................................................. 34
LES GRAPHIQUES SUIVANT PRESENTENT LA FONCTION DE VRAISEMBLANCE OBTENUE EN FIXANT LA VALEUR D’UN
PARAMETRE(𝒂𝒌 = 𝟎) POUR K=1,2 ,3. ................................................................................................................................. 35

PROJECTION PAR ACP VASICEK DES COURBES ZERO-COUPON SUR D’AUTRES DATES DE FIN D’ANNEE ......................... 38

PROJECTION PAR NS DES COURBES ZERO-COUPON SUR D’AUTRES DATES DE FIN D’ANNEE .......................................... 40

COMPARAISON DES PROJECTION DES COURBES ZERO-COUPON PAR ACP VASICEK ET NS SUR D’AUTRES DATES DE FIN
D’ANNEE
42

PRINCIPES DES TESTS .................................................................................................................................... 44

TEST DICKEY FULLER OU TEST DE NON-STATIONNARITE D'UNE SERIE ....................................................................... 44
5.

REFERENCE ..................................................................................................................................................... 45

page 3/45

Modélisation des courbes de taux d’intérêts
1. Construction de la courbe de taux Zéro-coupon d’état
Nous avons à disposition des taux swap. Nos modèles reposent sur une représentation des taux
Zéro-coupon. Par une méthode de bootstrapping, nous convertissons ainsi les taux Swap en taux Zérocoupon.
1.1. Les données
Les données utilisées correspondent à des taux swap exprimés en pourcent pour des maturités :
1an, 2ans, 3 ans, 4ans, 5ans, 6ans, 7ans, 8ans, 9ans, 10ans, 15ans, 20ans, 30ans.
L’historique débute le 01/01/1999 et se termine le 12/05/2015 avec un pas journalier.
Ayant pour but de diffuser les taux d'intérêts Zéro-coupon, nous retenons les taux Swap observés qu’en fin
de mois. Nous retiendrons également les dates du 31/05/2002 au 12/05/2015 pour notre historique de taux.
Ce qui correspond à 150 observations.
1.2. Traitement des maturités manquantes


Obtention des segments de maturité par interpolation

Nous choisissons d’interpoler linéairement les données en notre possession afin de reconstituer les
données manquantes. Les maturités retenues vont de 1 à 30 ans. Nous ignorons les maturités de 11 à 14
ans, de 16 à 19 ans, de 21 à 29 ans. Les données ne sont pas disponibles et sont « reconstruites » par
interpolation linéaire entre deux maturités les plus proches. Par exemple, pour les maturités comprises
entre 20 et 30 ans, la formule utilisée pour avoir le taux swap de maturité n est :
𝑇𝑎𝑢𝑥𝑠𝑤𝑎𝑝 (𝑛) =

𝑇𝑎𝑢𝑥𝑠𝑤𝑎𝑝 (30)−𝑇𝑎𝑢𝑥𝑠𝑤𝑎𝑝 (20)
30−20

(𝑛 − 20)+ 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑠𝑤𝑎𝑝 (20),

𝑛 = 21, … ,29

1.3. Conversion des taux swap en taux Zéro-coupon : le découponnage
Nous possédons des taux Swap et souhaitons à partir de ceux-ci construire la courbe des taux Zérocoupon. C’est la procédure du découponnage (ou stripping) : les taux zéro-coupon s’obtiennent à partir des
taux Swap au comptant, « pas-à-pas », segment par segment de maturité.


Pour les segments de maturités de la courbe inférieurs à 1 an (inclue)

Pour ces segments de maturités, les taux Swap sont des taux zéro-coupon puisque les obligations
associées ne délivrent qu’un seul flux à maturité du titre.


Pour le segment de maturité de la courbe allant de 1 an à 2 ans

Les taux Swap sont des taux de rendements au pair vérifiant l’équation suivante :
∑𝑛−1
𝑡=1

𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑤𝑎𝑝 (𝑛) 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑤𝑎𝑝 (𝑛)+1
(1+𝑅 𝑍𝐶 (0,𝑡))

𝑡

+

(1+𝑅 𝑍𝐶 (0,𝑡))

𝑛

=1

𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑡) Étant le taux Zéro-coupon de maturité t.

page 4/45

L’objectif étant de calculer 𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑡) pour t entre 1 et n-1 avec 𝑅 𝑍𝐶 (0,1) = 𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑤𝑎𝑝 (1), on se sert de
la formule de récurrence :
1
𝑛

𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑛) =

𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑤𝑎𝑝 (𝑛) + 1
−1
𝑇𝑎𝑢𝑥𝑆𝑤𝑎𝑝 (𝑛)
𝑛−1
1 − ∑𝑡=1
𝑡
(1 + 𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑡)) )
(

Taux Zéro-coupon Swap à différentes dates
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
28/06/2013

31/12/2013

30/06/2014

31/12/2014

page 5/45

2. Le modèle ACP VASICEK
Nous choisissons ici des variations absolues des taux d’intérêt Zéro-coupon comme base de notre modèle
afin d'inclure des taux négatifs dans notre modèle de Vasicek :
∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚) − ̅̅̅̅̅̅̅
∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑚)
𝑋=[
]
𝜎∆𝑅𝑍𝐶 (𝑚)
1≤𝑡≤𝑇=149

1≤𝑚≤𝑀=30

Avec 𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚) le taux d’intérêt Zéro-coupon de date du jour d'observation t et de maturité m
Avec ∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚): = 𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚) − 𝑅 𝑍𝐶 (𝑡 − 1, 𝑚) la variation absolue, mensuelle des taux d’intérêt Zérocoupon,
1

∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑚): = 𝑇 ∑𝑇𝑡=1 ∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚) la moyenne empirique
1

2

𝜎∆𝑅(𝑚) : = √𝑇 ∑𝑇𝑡=1 [∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚) − ∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑚)] la variance empirique
Les vecteurs colonnes de X sont centrés et réduits.
On réalise alors une Analyse en composante principale(ACP) sur l'historique des variations absolues
centrées réduites de taux d'intérêt.

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2.1. Le Principe de l’ACP
Pour réaliser notre ACP, nous calculons tout d’abord la matrice des variations absolues des taux
Zéro-coupon. Ensuite, nous en déduisons les matrices de corrélations. Enfin, nous explicitons les facteurs
explicatifs de la déformation de la courbe de taux.


La matrice de corrélation :

Pratiquement, l’ACP se fait sur la matrice de variation de taux 𝑋 . Cela consiste dans un premier
temps à effectuer un changement de base de vecteurs 𝑋(𝑡) = (𝑋𝑡,1 , 𝑋𝑡,2 , … , 𝑋𝑡,𝑀 ) pour 𝑡 = 1 … 149. La
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 )
nouvelle base (𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
est alors composée de vecteurs propres de la matrice de
𝑘=1…𝑀
1 𝑇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
corrélation 𝑋 X et notre vecteur s’écrit 𝑋(𝑡) = ∑𝑀
𝑘=1 𝑌𝑘 (𝑡) ∙ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒𝑘 dans la nouvelle
𝑇

base où les 𝑌𝑘 (𝑡) sont les « facteurs principaux » expliquant la variance totale de X et les
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 sont les facteurs dits « explicatifs ».
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒


Les facteurs explicatifs de l’ACP

Une fois le changement de base effectué, il convient de choisir le nombre n de facteur principaux
𝑌1 (𝑡), … , 𝑌𝑛 (𝑡) qui expliquent une grande part de la variance totale de X. Pour cela, il existe des critères
qui sont habituellement retenus, et qui en pratique donne de bons résultats.
• Critère de Kaiser (1960) : Cela consiste à ne retenir que les facteurs ayant une valeur
propre supérieure à 1. Par cette méthode, on retient, dans notre cas, les 2 premiers
facteurs. Néanmoins, nous retenons également le troisième facteur comme il ne
nous l’est demandé dans les consignes.

Ainsi, nous ne retenons que les 3 premiers facteurs principaux. On remarque que ces 3 facteurs principaux
expliquent plus de 99% de la variance totale de X.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝑌2 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝑌3 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3
𝑋(𝑡) = 𝑌1 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒

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Les⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒𝒌, quant à eux, s’interprètent comme étant la sensibilité des variations au kème
facteur.
0.6

corrélation

0.4

0.2

0.0

-0.2
0

5

10

15

20

25

30

maturité
vp1

vp2

vp3

Figure 1: Sensibilités des variations par mois de taux ZC aux trois premiers facteurs
L’interprétation des 3 premiers vecteurs propres est la suivante :
𝑃⃗1 est le vecteur propre représentant le risque de translation de la courbe des taux. On s’aperçoit qu’il est à
peu près constant à partir d’une certaine maturité.
⃗⃗⃗⃗
𝑃2 est le vecteur propre représentant le risque de pente de la courbe des taux qui est décroissant le long
des maturités.
⃗⃗⃗⃗
𝑃3 est le vecteur propre représentant le risque de courbure de la courbe des taux qui décroit pour les
maturités courtes et qui croit pour de maturités longues.

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2.1. Le modèle de Vasicek
Pour simuler la dynamique des courbes, on considère le modèle de Vasicek à 3 facteurs dans lequel on
suppose que :
Le vecteur 𝑋(𝑡) est entièrement expliqué par trois facteurs principaux 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + 𝑌2 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 𝑌3 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3
𝑋(𝑡) = 𝑌1 (𝑡)𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑃𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
On dynamise ensuite les 2 composantes principales selon des modèles de Vasicek:
𝑑𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑏𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑌𝑘 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 𝑑𝑊𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2
𝑌𝑘 (𝑡): La valeur du kème facteur principal à la date t
𝑎𝑘 : La valeur moyenne à long-terme du taux d’intérêt instantané autour de laquelle oscillent les facteurs
principaux
𝑏𝑘 : La vitesse de convergence de la valeur moyenne à long-terme
𝑊𝑡 : Un mouvement brownien standard
𝜎𝑘 : La volatilité du processus 𝑌𝑘 (𝑡)

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2.2. Etudes préliminaires
Avant d’aller plus loin dans l’étude, on effectue quelques études préliminaires. Nous faisons ici une
étude sur nos facteurs principaux obtenus par ACP sur notre matrice de Zéro-coupon. Nous regardons
leur loi ainsi que testons leur moyenne à long terme qui au vu de celle des facteurs doivent être nulles.
Test de la normalité sur les facteurs principaux avec l'exemple du premier
facteur



Nous cherchons à tester la normalité de nos trois facteurs principaux 𝑌𝑘 (𝑡) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2. Nous réalisons
donc une étude statistique sur ces 3 facteurs. Nous faisons ici l'étude sur le facteur principale 1, les résultats
sur les autres facteurs étant dans l'annexe


Facteur principale 1

L’histogramme semble suivre le profil en cloche de la loi normal, avec une certaine symétrie visible en 0. On
regarde alors le Skewness et le Kurtosis pour plus de précision
Moments
149 Somme des poids

N

149

Moyenne

-0.0311109 Somme des observations

-6.066619

Ecart-type

6.95320316 Variance

48.3470342

Skewness

0.17350201 Kurtosis

0.81267803

Le Skewness très proche de 0 met en évidence une certaine symétrie telle une loi normale. Le Kurtosis nous
indique qu’on a une queue plus épaisse que celle de la loi normale. Nous réalisons alors un test de
« normalité » afin de savoir si la distribution de notre facteur est normale.
Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution
Test

Statistique

Kolmogorov-Smirnov D

p-value

0.07590127 Pr > D

Cramer-von Mises

W-Sq 0.19054821 Pr > W-Sq

Anderson-Darling

A-Sq

1.19709635 Pr > A-Sq

<0.01
0.007
<0.005

Nous réalisons un test de Kolmogorov-Smirnov sous SAS en testant l’hypothèse 𝐻0 : 𝐹 = 𝐹0 contre
l’hypothèse 𝐻1 : 𝐹 ≠ 𝐹0 au seuil de 5%. Comme les p-value sont inférieurs à 5%, nous rejetons 𝐻0 et le
test de normalité est réussi.
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Facteur principale 2

L’histogramme semble suivre le profil en cloche de la loi normal, avec une certaine symétrie visible en 0. On
regarde alors le Skewness et le Kurtosis pour plus de précision
Moments
149 Somme des poids

N

149

Moyenne

-0.0311109 Somme des observations

-6.066619

Ecart-type

6.95320316 Variance

48.3470342

Skewness

0.17350201 Kurtosis

0.81267803

Le Skewness très proche de 0 met en évidence une certaine symétrie telle une loi normale. Le Kurtosis nous
indique qu’on a une queue plus épaisse que celle de la loi normale. Nous réalisons alors un test de
« normalité » afin de savoir si la distribution de notre facteur est normale.
Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution
Test

Statistique

Kolmogorov-Smirnov D

p-value

0.06003787 Pr > D

0.085

Cramer-von Mises

W-Sq 0.18543021 Pr > W-Sq 0.008

Anderson-Darling

A-Sq 1.03715007 Pr > A-Sq 0.010

Nous réalisons un test de Kolmogorov-Smirnov sous SAS en testant l’hypothèse 𝐻0 : 𝐹 = 𝐹0 contre
l’hypothèse 𝐻1 : 𝐹 ≠ 𝐹0 au seuil de 5%. Comme les p-value sont supérieurs à 5%, nous ne rejetons
pas 𝐻0 et le test de normalité est réussi.

Facteur 3
De même, une étude sur le facteur 3 montre que nous ne pouvons rejeter l’hypothèse de normalité.

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L’EDS avec laquelle nous travaillons ;

Nous avons 𝑑𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑏𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑌𝑘 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 𝑑𝑊𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2, 3
Le processus est caractérisé par un effet de retour à une moyenne 𝑎𝑘 . la valeur moyenne à long
terme autour de laquelle oscillent les facteurs principaux. Comme la moyenne des facteurs principaux est
nulle car les colonnes de X sont centrées et les vecteurs ⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑘 forment une base, nous pouvons
supposer 𝑎𝑘 = 0 . Nous travaillons désormais avec les dynamiques :
𝑑𝑌𝑘 = −𝑏𝑘 𝑌𝑘 𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 𝑑𝑊𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2, 3

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2.3. Calibrage du modèle de Vasicek ACP
Dans cette partie, nous nous proposons d'estimer les paramètres du modèle de Vasicek appliqué à
nos facteurs dans le cas général.
Dans un premier temps, nous donnons une discrétisation exacte de l’EDS de Vasicek et nous
estimons les paramètres par maximum de vraisemblance (EMV).
Dans un second temps, nous vérifions également la cohérence de notre schéma de discrétisation
exacte en comparant les résultats avec un schéma d’approximation discrète d’Euler.


Discrétisation exacte de l’EDS de Vasicek

On peut obtenir une version discrétisée de la résolution du modèle de Vasicek :
1 − 𝑒 −2𝑏𝑘∆𝑡
𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑒 −𝑏𝑘∆𝑡 × 𝑌𝑘 (𝑡 − 1)+ 𝜎𝑘 √
× 𝜀𝑘 (𝑡) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2, 3
2𝑏𝑘
𝜀𝑘 (𝑡) : Variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite
∆𝑡: Pas de diffusion


Discrétisation par le Schéma d’Euler

On a notre dynamique de la composante principale :
𝑑𝑌𝑘 = −𝑏𝑘 𝑌𝑘 𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 𝑑𝑊𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2, 3
On discrétise selon le schéma d’Euler et on obtient :
𝑌𝑘 (𝑡) − 𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) = −𝑏𝑘 ∆𝑡𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) + 𝜎𝑘 √∆𝑡. 𝜀𝑘 (𝑡) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 1, 2, 3
𝜀𝑘 (𝑡) ~𝑁(0,1) 𝑖𝑖𝑑
∆𝑡: Pas de diffusion
On va maintenant estimer les paramètres du Schéma.

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Estimation par maximum de vraisemblance conditionnelle pour le Schéma de
discrétisation exacte

La densité conditionnelle de 𝑌𝑘 (𝑡) dans le schéma de discrétisation exacte est donné par :

𝑓(𝑌𝑘 (𝑡)|𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡), 𝑏𝑘 , 𝜎𝑘 ) =

[𝑌 (𝑡)−𝑌𝑘 (𝑡−∆𝑡)𝑒 −𝑏𝑘 ∆𝑡 ]
− 𝑘
̃𝑘 2 ∆𝑡
2𝜎
𝑒

1

2

√2𝜋𝜎̃𝑘 2 ∆𝑡
Avec 𝜎̃𝑘 2 = 𝜎𝑘 2

1−𝑒 −2𝑏𝑘 ∆𝑡
2𝑎𝑘

Le logarithme de vraisemblance est donné par :
𝑇

𝑇

𝑙𝑜𝑔 (∏ 𝑓(𝑌𝑘 (𝑡)|𝑌𝑘 (𝑡 − 1), 𝑏𝑘 , 𝜎𝑘 )) = ∑ 𝑙𝑜𝑔(𝑓(𝑌𝑘 (𝑡)|𝑌𝑘 (𝑡 − 1), 𝑏𝑘 , 𝜎𝑘 ))
𝑡=2

=

𝑖=1

(𝑇−1)𝐿𝑜𝑔(2𝜋∆𝑡) (𝑇−1)log(𝜎
̃𝑘 2 )
2

2

1

− 2∆𝑡 𝜎̃ 2 ∑𝑇𝑡=2[𝑌𝑘 (𝑡) − 𝑒 −𝑏𝑘∆𝑡 𝑌𝑘 (𝑡 − 1)]2
𝑘

𝐸𝑀𝑉
Et les vecteurs des paramètres (𝑏̂𝑘
, 𝜎̂𝑘 𝐸𝑀𝑉 ) maximisant le logarithme de vraisemblance est donné par
𝑇
𝐸𝑀𝑉
(𝑏̂𝑘
, 𝜎̂𝑘 𝐸𝑀𝑉 ) = 𝐴𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥( 𝑏𝑘,𝜎𝑘 ) [𝑙𝑛 ( ∏ 𝑓(𝑌𝑘 (𝑡)|𝑌𝑘 (𝑡 − 1), 𝑏𝑘 , 𝜎𝑘 ) )]
𝑡=2

On obtient un système de deux équations constituées par les conditions de premier ordre du problème de
maximisation (les dérivées du logarithme de vraisemblance par rapport à chaque paramètre sont égalisées à
zéro.
𝜕𝐿(𝑌𝑘 (1), … , 𝑌𝑘 (𝑡)| 𝑏𝑘 , 𝜎̃𝑘 )
=0
𝜕𝑏𝑘

∑𝑇𝑡=2 𝑌𝑘 (𝑡)𝑌𝑘 (𝑡 − 1)
1
𝐸𝑀𝑉
̂
𝑏𝑘
= − 𝑙𝑜𝑔 (
)
∑𝑇𝑡=2 𝑌𝑘 (𝑡 − 1)2
∆𝑡
𝜕𝐿(𝑌𝑘 (1), … , 𝑌𝑘 (𝑡)| 𝑏𝑘 , 𝜎̃𝑘 )
=0
𝜕𝜎𝑘2

𝐸𝑀𝑉
𝐸𝑀𝑉
𝐸𝑀𝑉
1
̂
𝜎
̃𝑘2
= 𝑇−1 (∑𝑇𝑡=2 𝑌𝑘 (𝑡)2 − 2𝑒 −𝑏̂𝑘 ∆𝑡 ∑𝑇𝑡=2 𝑌𝑘 (𝑡)𝑌𝑘 (𝑡 − 1) + 𝑒 −2𝑏̂𝑘 ∆𝑡 ∑𝑇𝑡=2 𝑌𝑘 (𝑡 − 1)2 )

𝐸𝑀𝑉
̂2 𝐸𝑀𝑉 = 𝜎
̂
Et on a 𝜎
̃𝑘2
𝑘

𝐸𝑀𝑉
2𝑏̂𝑘
̂ 𝐸𝑀𝑉 ∆𝑡

1−𝑒 −𝑏𝑘

Remarque : Les graphes de la fonction du logarithme de vraisemblance sont en annexe (figure 4, 5, 6)

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2.4. Analyse des résultats du calibrage du modèle de Vasicek
Méthode de calibrage



Nous calibrons sur des périodes allant du début de l’historique de nos données à la date de début de
projection.
Exemple des résultats



Discrétisation exacte
Facteur principaux 1

Facteur principaux 2

Facteur principaux 3

𝑏𝑘 𝐸𝑀𝑉,𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡

1.053

0.67

0.98

𝜎𝑘 𝐸𝑀𝑉,𝐸𝑥𝑎𝑐𝑡

5.036

1.86

1.06

𝒌

Vérification de la cohérence des paramètres estimés




Les contraintes sur les paramètres

̂ 𝒌 et 𝝈
̂ 𝒌 > 0 et 𝝈
Les contraintes imposées sur 𝒃
̂𝒌 sont bien respectées. On a bien 𝒃
̂𝒌 > 0
• Les bons estimateurs
𝑬𝑴𝑽,𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕
̂
𝒃𝒌
est l’estimateur de 𝒃𝒌 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 obtenu par Maximum de vraisemblance sous SAS.
Dans un premier temps, nous avons vérifié que l’estimation est bien un maximum global. Pour cela, nous
avons utilisé la méthode d’optimisation Quasi-Newton sous SAS initialisée à différentes valeurs dans
l’intervalle[0,10] afin de vérifier que le logarithme de vraisemblance était bien maximisé avec nos valeurs
retenues. Les mêmes vérifications ont été réalisées pour ̂
𝝈𝒌 𝑬𝑴𝑽,𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕 .
Nous avons par ailleurs vérifié nos résultats en utilisant une autre approche (celle du schéma d’Euler) en
̂ 𝒌 𝑬𝑴𝑽,𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓et ̂
calculant 𝒃
𝝈𝒌 𝑬𝑴𝑽,𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 . Ceux-ci coïncident bien avec ce qui a été trouvé avec le schéma de
discrétisation exacte.

page 15/45

2.5. Diffusion des taux Zéro-coupon
Nous diffusons les courbes de taux Zéro-coupon à un pas ∆= 1 mensuel sur un horizon de H mois.
Il convient de préciser que le choix de notre pas à 1 est une convention, motivé par le fait que notre horizon
se compte en mois.


Principe de la diffusion des taux Zéro coupon via le modèle ACP Vasicek

Les estimateurs 𝑏̂𝑘 et 𝜎̂𝑘 ont été calculé dans la section précédente.
Les vecteurs propres 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛 sont obtenus par ACP sous SAS. Les 𝜎∆𝑅𝑍𝐶 (𝑚) (𝑚) et les
̅̅̅̅̅̅̅
∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑚) sont calculés sous SAS également.
Nous diffusion les taux Zéro-coupons de la manière suivante :
Etape 1 : Nous diffusons les composantes principales via la relation :

𝑌(𝑡, 𝑛) = 𝑒

−𝑏̂𝑘 ∆𝑡

1 − 𝑒 −2𝑏𝑘∆𝑡

(𝑡
× 𝑌𝑘 − ∆𝑡)+ 𝜎̂𝑘
× 𝜀(𝑡, 𝑛)
2𝑏𝑘

Les valeurs prises par 𝑌(0, 𝑛) seront celles des premiers facteurs principaux.
Où n est le nombre de composante principale, n=1, 2, 3 et 𝜀(𝑡, 𝑛) des simulations de loi 𝑁(0,1)
Etape 2 : Nous reconstruisons les variations absolues via la relation :
3

𝑋(𝑡, 𝑚) = ∑ 𝑌(𝑡, 𝑛) × 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟_𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒𝑛 (𝑚)
𝑛=1

Etape 3 : Nous diffusons des taux proches en proche via la relation :
𝑅 𝑍𝐶 (𝑡 + ∆, 𝑚) = 𝜎∆𝑅𝑍𝐶 (𝑚) (𝑚) × 𝑋(𝑡, 𝑚) + ̅̅̅̅̅̅̅
∆𝑅 𝑍𝐶 (𝑚) + 𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚)

page 16/45

Analyse des projections




Analyse de la cohérence du modèle

Nous faisons dans cette partie, une analyse de la cohérence de notre modèle ACP VASICEK. Pour cela,
nous prenons deux tranches de dates différentes : celles d’avant la crise de 2008 et celles d’après.
Nous choisissons la date du 31/12/2006 pour les dates d’avant crise et la date du 30/12/2011, pour les dates
post-crise.
A partir de chacune de ces dates, nous simulons 10000 scénarios d’évolution de la courbe des taux en
supposant que les courbes ne sont pas connues pour les dates ultérieures. Nous calculons les paramètres 𝑎
et 𝜎 du modèle AR (1) en utilisant l’historique des données du 31/03/2005 jusqu’à la date qui nous intéresse.
Enfin, nous projetons les courbes dans 1 an, 2 ans et 3 ans et nous comparons enfin les courbes simulées
par rapport à nos courbes historiques de taux Zéro-coupon.


Les courbes d’avant crise

Projection sur 1 an à partir du
31/12/2006

Projection sur 2 ans à partir du
31/12/2006
0.07

0.06

0.06

0.05

Valeur des taux

Valeur des taux

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03
0.02

0.02

0.01

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC
3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2007

qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2008

Projection sur 3 ans à partir du
31/12/2006

Valeur des taux

0.06

0.04

0.02

0.00

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

30DEC2009

Conclusion : Dans l’ensemble, les courbes projetées ont des formes cohérentes et les faits stylisés sont
bien reproduits. Néanmoins, les projections d’à partir 31/12/2007 ne reproduisent pas correctement les taux
courts historiques, très bas à ces dates. Cela pourrait être dû à un manque de donnée. En effet, nous
disposons des données que pour une quinzaine d’année. Par ailleurs, les projections se font à la période de
crise de 2008. Il serait donc impossible d’anticiper cette période de crise sans informations préalables dans
notre historique de donnée.

page 17/45



Les courbes post-crise

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2011

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2011
0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00

-0.02
-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2012

qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2013

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2011
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2014

Conclusion : Dans l’ensemble, les courbes projetées ont des formes cohérentes et les faits stylisés sont
bien reproduits. Nous remarquons que pour ces dates, nous avons une tendance à surestimer les taux.
Cela pourrait être dû au fait que notre calibrage se fait sur des périodes où les taux sont élevés.

page 18/45

3. Le modèle de Nelson Siegel
3.1. Présentation du modèle
Les modèles de Nielson Siegel, sont des modèle exponentiels-polynomiaux où les taux forward sont
de la forme :
𝑡

𝑓(0, 𝑇, 𝜃) = ∑ 𝑃𝑖 (𝑡) ∙ 𝑒 −𝜏
Ce modèle fait l’objet de notre étude dans la suite.

𝑖

Le modèle de Nelson Siegel (1987) (NS)



La fonctionnelle de Nelson Siegel (1987) porte sur les taux d’intérêt forward instantané et dépend de 4
paramètres 𝜃 = {𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 , 𝜏}. Les taux d’intérêt forward continus de maturités T-années sont décrits
comme suit :
𝑇

𝑇

𝑇

f (0, 𝑇, 𝜃) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑒 − 𝜏 + 𝛽2 𝜏 𝑒 − 𝜏 
L’interprétation financière apparait plus naturelle en étudiant les taux d’intérêt zéro-coupon. Dans la mesure
1 𝑚
où 𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑚, 𝜃) = ∫0 𝑓(0, 𝑇, 𝜃)𝑑𝑇 (voir en annexe), ces derniers sont décrits par la fonctionnelle de
𝑚
Nelson Siegel :
1 − 𝑒−
𝑍𝐶 (0,
𝑅
𝑚, 𝜃) = 𝛽0 + 𝛽1
𝑚
𝜏

𝑚
𝜏

1 − 𝑒−
+ 𝛽2 (
𝑚
𝜏

𝑚
𝜏

𝑚

− 𝑒− 𝜏 )



𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑚, 𝜃): Taux zéro-coupon de maturité 𝑚 observé ici à la date 𝑡 = 0



𝛽0 = lim 𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑚, 𝜃)est un facteur de niveau et sa variation correspond à une translation de
𝑚→+∞

la courbe. Il s’agit du taux d’intérêt long terme.


𝛽1 = lim [𝑅 𝑍𝐶 (0, 𝑚, 𝜃) − 𝛽0 ] est un facteur de rotation et une variation positive (respectivement
𝑚→0

négative) de 𝛽1 se traduit par un aplatissement (respectivement pentification) de la courbe. Il s’agit
de l’écart entre le taux court et le taux long. De ce fait, ce paramètre est souvent négatif, reflétant
des taux courts souvent inférieurs aux taux longs. Il devient positif quand la courbe est inversée
Il est à noter également que le terme -𝛽1 est le spread de la courbe, i.e la différence entre le taux
long et le taux court.


𝛽2 est un facteur de courbure. Il donne une indication sur la forme et la taille de la première
courbure. En effet, lorsque 𝛽2 > 0(respectivement𝛽2 < 0), on a une bosse à 𝜏1 (respectivement
un creux à 𝜏1 ). De plus, |𝛽2 | donne une indication sur l’amplitude de la courbe (la taille de la bosse
ou du creux). Il influence essentiellement le segment court terme de la courbe de taux.



𝜏, positif car homogène à un temps, est un paramètre d’échelle ou de décroissance des taux à court
terme vers 0 qui spécifie la position de la première courbure de la courbe des taux ainsi que son
élargissement. En général, ce paramètre est destiné à rester fixe au cours du temps.




𝛽0 + 𝛽1 est le taux court terme instantané
Le taux long terme dépend seulement de 𝛽0 et 𝛽3 tandis que le segment court terme de 𝛽0 et 𝛽1

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Les fonctions de charge



Les paramètres 𝛽 = {𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 } sont dits facteurs de réalisation. On définit les fonctions dites de
charges qui correspondent au poids des coefficients 𝛽. On le fait en prenant l’exemple du modèle de Nelson
Siegel, à une maturité 𝑚, de la manière suivante :


La fonction de charge notée 𝑁(𝑚) = 1 associée au facteur 𝛽0 de niveau, sera donc
appelée fonction de niveau.
𝑚



La fonction de charge notée 𝑅(𝑚) = (


1−𝑒 𝜏1
𝑚
𝜏1

appelée fonction de rotation.


La fonction de charge notée 𝐴(𝑚) = (

𝑚


1−𝑒 𝜏1

courbure 𝛽2 sera la fonction de courbure.


) associée au facteur 𝛽1de rotation, sera

𝑚
𝜏1

−𝑒



𝑚
𝜏1

) associée au premier facteur de

Il est intéressant de noter que ces fonctions sont équivalentes aux facteurs de niveau, de rotation et
de courbure obtenus par ACP.


Les contraintes implicites

Les modèles de Nelson Siegel présentent les contraintes implicites suivantes :
𝛽0 > 0 (1)
{𝛽0 + 𝛽1 > 0 (2)
𝜏1 > 0 (3)

page 20/45

3.2.

Calibrage du modèle de Nelson Siegel

La principale difficulté du modèle de Nelson Siegel et de ces versions améliorées est l’estimation des
paramètres 𝜃 = {𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 , , 𝜏1 }. La fonctionnelle, bien que linéaire par rapport aux facteurs de pente et de
courbure, ne l’est pas par rapport aux facteurs d’échelle.
Le calibrage du modèle consiste à déterminer les paramètres minimisant la somme des écarts quadratiques
entre les taux Zéro-coupon obtenus par le modèle et les taux Zéro-coupon de marché. La « fonctionobjectif » à minimiser s’écrit donc :
||𝑅

𝑍𝐶

(𝑡, 𝜃) − 𝑅

𝑍𝐶_𝑀𝑎𝑟𝑐ℎé

2

𝑀

(𝑡)||2 = ∑ (𝑅

𝑍𝐶

(𝑡, 𝑘, 𝜃) − 𝑅

𝑍𝐶_𝑀𝑎𝑟𝑐ℎé

2

(𝑡, 𝑘))

𝑘=1

M est le nombre de maturités utilisées (i.e. M=30 dans notre cas)
𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑘, 𝜃) est le taux zéro-coupon de maturité 𝑘 observé à la date 𝑡 dans les modèles de Nelson Siegel
𝑘

et leur extension. Ici, 𝑅

𝑍𝐶 (𝑡,

𝑘, 𝜃) = 𝛽0 +𝛽1


1−𝑒 𝜏1
𝑘
𝜏1

𝑘

+ 𝛽2 (


1−𝑒 𝜏1
𝑘
𝜏1

−𝑒



𝑘
𝜏1

)

𝑅 𝑍𝐶_𝑀𝑎𝑟𝑐ℎé (𝑡, 𝑘)est le taux Zéro-coupon de maturité 𝑘 observé à la date t sur le marché.
Remarque :
Le choix de prendre la norme||. ||2 est bien sûr arbitraire. Nous aurions pu prendre ||. ||1 au lieu de la
norme||. ||2.
Nous pourrions également utiliser les prix d’obligations à la place des taux

page 21/45

3.3. Analyse des résultats du calibrage sur tout l'historique
Analyse du fitting des courbes estimées par NS et historique



On compare dans cette partie les courbes de Zéro-coupons de marchés et les courbes de NS estimées,
obtenues par
𝑘

𝑅

𝑍𝐶 (𝑡,

𝑘, 𝜃) = 𝛽̂0 +𝛽̂1


1−𝑒 𝜏1
𝑘
𝜏1

𝑘

+ 𝛽̂2 (


1−𝑒 𝜏1
𝑘
𝜏1

−𝑒



𝑘
𝜏1

)

Avec (𝛽̂0 , 𝛽̂1 , 𝛽̂2 , 𝛽̂3 ) les paramètres estimés lors du calibrage de notre modèle.
La comparaison se fait aux dates du 30/06/2006 et 30/06/2008. Les courbe jaune et rouge sont celles
obtenues par le modèle Nelson Siegel avec les paramètres estimés.
Figure 2: Comparaison à différentes dates des courbes estimées par NS et de la courbe historique
0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
30/06/2006

30/06/2008

page 22/45

3.4. Modèle de Série temporelle sur les paramètres 𝜷
Nous souhaitons maintenant prédire les paramètres 𝛽 du modèle de NS. Nous allons pour cela établir un
modèle sur les paramètres 𝛽 du modèle de NS. Nous faisons pour cela une analyse de l’autocorrélation de
chacun des paramètres 𝛽𝑖 .
Analyse de la série des (𝜷𝟎 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]





Analyse des corrélations de la série des (𝜷𝟎 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]

Nous nous intéressons ici à l’autocorrélation de la série des (𝛽0 (𝑡))𝑡∈[0,149] allant des dates du

31/05/2002 au 12/05/2015. Dans les graphiques suivants, nous représentons les fonctions d’autocorrélation
simple, d’autocorrélation partielle et d’autocorrélation inverse.
Figure 3:Analyse des corrélations de la série (𝜷𝟎 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]
Trend and Correlation Analysis for b0
1.0

0.05

0.5

b0

FAC

0.04
0.03

0.0
-0.5

0.02
-1.0
0

50

100

150

0

5

1.0

1.0

0.5

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.0
5

10

15

Retard

15

20

25

20

25

0.0

-0.5

0

10

Retard

FACI

FACP

Observation

20

25

0

5

10

15

Retard

La décroissance lente des autocorrélations simples indique la présence de non stationnarité.
Nous faisons alors notre étude sur la série différenciée et nous analysons sa stationnarité :

page 23/45

Figure 4: Analyse des corrélations de la série différenciée (𝜷𝟎 (𝒕) − 𝜷𝟎 (𝒕 − 𝟏))𝒕∈[𝟏,𝟏𝟒𝟗]
Trend and Correlation Analysis for b0(1)
1.0
0.5

FAC

b0(1)

0.005

0.000

0.0
-0.5

-0.005

-1.0
0

50

100

150

0

5

10

15

20

25

20

25

Retard

1.0

1.0

0.5

0.5

FACI

FACP

Observation

0.0
-0.5

0.0
-0.5

-1.0

-1.0
0

5

10

15

20

25

0

5

Retard

10

15

Retard

Nous « stationnarisons » la série (𝛃𝟎 (𝐭))𝐭∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] par différenciation. La fonction d’autocorrélation simple nous
indique que la série différenciée (𝛽0 (𝑡) − 𝛽0 (𝑡 − 1))
est stationnaire. La fonction d’autocorrélation
𝑡∈[1,149]

partielle nous indique qu’on a affaire à un processus 𝐼(1).

Nous vérifions cela en effectuant le test de Dickey-Fuller augmentée au seuil de 5% sur la série
(𝛃𝟎 (𝐭))𝐭∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] . Nous fournissons en annexe une mise en œuvre de ce test.
Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests
Type

Retards

Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau

F Pr > F

Zero Mean

1

-0.6581

0.5356 -0.93

0.3134

Single Mean

1

-4.3254

0.4989 -1.39

0.5849 1.16 0.7740

Trend

1 -13.4417

0.2303 -2.61

0.2780 3.42 0.4933

page 24/45

Dans le modèle 3(trend) : ∆𝜷𝒕 = 𝝋𝜷𝒕−𝟏 + 𝒄 + 𝜷𝒕 + 𝜺𝒕 , on teste 𝑯𝟎 : 𝝋 = 𝟎 contre 𝑯𝟏 : 𝝋 < 0 au
seuil 5%
La p-value associée au test de Dickey-Fuller dans le modèle M3 (trend)(Pr<Tau=0.2480) conduit à ne pas
rejeter l'hypothèse nulle de racine unitaire.
Nous testons alors conjointement la racine unitaire et la nullité du coefficient de la tendance par le test F3
afin de s'assurer que le modèle M3(Trend) était pertinent pour tester la racine unitaire :
𝐻0 : 𝜑 = 0 𝑒𝑡 𝛽 = 0 Contre 𝐻1 : 𝜑 < 0 , 𝛽 ≠ 0 au seuil de 5%. La p-value de ce test (Pr>F=0.4933) nous
conduit à ne pas rejeter l'hypothèse nulle de nullité jointe.
Nous faisons alors le test de Dickey-Fuller 𝑯𝟎 : 𝝋 = 𝟎 contre 𝑯𝟏 : 𝝋 < 0 dans le modèle 2(Single Mean)
: ∆𝜷𝒕 = 𝝋𝜷𝒕−𝟏 + 𝒄 + 𝜺𝒕 . La p-value du test de Dickey-Fuller (Pr<Tau=0.5849) conduit à ne pas rejeter
l'hypothèse nulle de racine unitaire.
Nous testons alors conjointement la racine unitaire et la nullité du coefficient de la constante par le test F2
afin de s'assurer que le modèle M2 était pertinent pour tester la racine unitaire : 𝐻0 : 𝜑 = 0, 𝑐 = 0 contre
𝐻1 : 𝜑 < 0 La p-value de ce test (Pr>F=0.7740) conduit à ne pas rejeter l'hypothèse nulle de nullité jointe.
Nous faisons alors le test de Dickey-Fuller 𝑯𝟎 : 𝝋 = 𝟎 contre 𝑯𝟏 : 𝝋 < 0 dans le modèle 1(Zero Mean)
: ∆𝜷𝒕 = 𝝋𝜷𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 la p value du test de Dickey-Fuller (Pr<Tau=0.3134)nous conduit à ne pas rejeter
l'hypothèse nulle de racine unitaire.
Ainsi nous concluons que la série (𝛃𝟎 (𝐭))𝐭∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] est un processus I (1) et peut-être représentée par une
marche aléatoire:

𝛽0 (𝑡) = 𝛽0 (𝑡 − 1) + 𝜀0 (𝑡 − 1)
Les résultats sont similaires pour les séries (𝜷𝟏 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] , (𝜷𝟐 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] .


Analyse de la normalité des résidus

Nous avons fait, comme pour le cas du modèle ACP VASICEK, une analyse statistique sur la normalité des
résidus du paramètre 𝛽0 .Ces observations conduisent alors à utiliser la marche aléatoire pour modéliser les
fluctuations du paramètre 𝛽0 du modèle NS :
𝛽0 (𝑡) = 𝛽0 (𝑡 − 1) + 𝜀0 (𝑡 − 1)


Analyse des paramètres (𝜷𝟏 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗] , (𝜷𝟐 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]

Nous refaisons la même étude que précédemment pour chacune des autres séries :
(𝛽1 (𝑡))𝑡∈[0,149] , (𝛽2 (𝑡))𝑡∈[0,149]
Nos observations nous conduisent encore une fois à utiliser la marche aléatoire pour modéliser les
fluctuations des paramètres 𝛽𝑖 (𝑡) du modèle NS :
𝛽𝑖 (𝑡) = 𝛽𝑖 (𝑡 − 1) + 𝜀𝑖 (𝑡)
Remarque : Les résultats pour les coefficients (𝛃𝒊 (𝐭))𝒊=𝟏,𝟐,𝟑 sont présentés en annexe

page 25/45



Modélisation des dépendances des 𝜺: La copule Gaussienne

Nous avons établi dans la section précédente un modèle sur chacun des 𝛽𝑖 :
∆𝛽𝑖 (𝑡) = 𝜀𝑖+1 (𝑡)
Après différentiation, nous obtenons donc un bruit blanc. Cela signifie donc que les valeurs à une date t des
∆𝛽𝑖 ne dépendent pas de leur passé. Néanmoins, rien ne nous dit que les 𝜀𝑖 𝑒𝑡 𝜀𝑗 sont indépendantes l’un
de l’autre. En effet, lorsque nous regardons l’allure des courbes de 𝜀0 𝑒𝑡 𝜀1 nous pouvons intuiter une
certaine corrélation négative.
Dans une optique de simulation, la question de l’indépendance des 𝜀𝑖 𝑒𝑡 𝜀𝑗 est fondamentale (pour 𝑖, 𝑗 ∈
[0,3]𝑒𝑡 𝑖 ≠ 𝑗). Avant d'étudier les corrélations entre les 𝜀 nous présentons la façon dont nous avons choisi
de modéliser les dépendances entre les 𝜀. Pour ce faire nous nous sommes appuyés sur la théorie des
copules adaptées à notre étude. Les copules présentent de nombreux avantages pour modéliser la
dépendance entre risques. Elles permettent de décrire le comportement individuel de chaque risque et «
couplent » les lois marginales pour obtenir la loi jointe.
Une copule permet d’exprimer une fonction de répartition multivariée selon ses marginales et résume toute
la structure de dépendance. Nous faisons, dans notre cas, l’hypothèse de dépendance d’une copule
Gaussienne :
𝐶(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = 𝑃𝑟(𝑈1 < 𝑢1 , 𝑈2 < 𝑢2 , 𝑈3 < 𝑢3 )
= Φ(𝑁 −1 (𝑢1 ), 𝑁 −1 (𝑢2 ), 𝑁 −1 (𝑢3 ))
Avec (𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 ) notre vecteur aléatoire dont nous désirons mesurer les dépendances transformées en
(𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 ) statistiques de rang telles que les (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) sont les uniformes empiriques de (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ),
𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑒 )
𝑢𝑖 = 𝑛+1 𝑖
Où N−1 est la fonction de répartition inverse de la distribution normale centrée réduite.
Φ est la fonction de répartition gaussienne multivariée
Conclusion : Pour simuler nos 𝛽𝑖 , nous utilisons donc une marche aléatoire pour modéliser chacun de nos
𝛽𝑖 à une date donnée et une copule gaussienne pour la structure de dépendance des 𝜀𝑖 .
Dans le modèle de Nelson-Siegel les taux Zéro-coupon ne dépendent que des paramètres 𝛽. En effet,
prédire les taux 𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚, 𝜃) revient à prédire les paramètres 𝛽. Nous pouvons ainsi reconstituer nos taux
Zéro-coupons :
𝑚

𝑅 𝑍𝐶 (𝑡, 𝑚, 𝜃) = 𝛽0 (𝑡) +𝛽1 (𝑡)


1−𝑒 𝜏1
𝑚
𝜏1

𝑚

+ 𝛽2 (𝑡) (


1−𝑒 𝜏1
𝑚
𝜏1

−𝑒



𝑚
𝜏1

)

page 26/45

3.5. Analyse de la cohérence des projections
Dans cette partie nous simulons à partir d’une date choisie 10000 scénarios d’évolution de la courbe des
taux en supposant que les courbes ne sont pas connues pour les dates ultérieures.
Pour cela, nous estimons les paramètres (𝛽𝑖 (𝑡)) entre la date choisie et celle de fin d’historique. A partir
des(𝛽𝑖 (𝑡)), nous en déduisons les (𝜀𝑖 (𝑡)) . Nous faisons ensuite l’hypothèse d’une copule Gaussienne
sur la structure de dépendance des 𝜀𝑖 et nous calculons la matrice de corrélation.
Nous simulons enfin des vecteurs gaussiens à partir de cette matrice de corrélation et nous reconstituons
̃i en initialisant avec :
nos 𝛽
̃0 (0), 𝛽
̃1 (0), 𝛽
̃2 (0)) = (𝛽0 (𝑡𝑓 ), 𝛽1 (𝑡𝑓 ), 𝛽2 (𝑡𝑓 ))
(𝛽
Avec 𝑡𝑓 la dernière date de l’historique
Enfin, nous reconstituons nos Zéros coupons à l’aide de :
𝑚

𝑅

𝑍𝐶 (𝑡,

̃0 (𝑡) +𝛽
̃1 (𝑡)
𝑚, 𝜃) = 𝛽


1−𝑒 𝜏1
𝑚
𝜏1

𝑚

̃2 (𝑡) (
+𝛽


1−𝑒 𝜏1
𝑚
𝜏1

−𝑒



𝑚
𝜏1

)

page 27/45



Analyse de la cohérence du modèle

Nous faisons dans cette partie, une analyse de la cohérence de notre modèle Nelson Siegel. Pour cela, nous
prenons deux tranches de dates différentes : celles d’avant la crise de 2008 et celles d’après.
Nous choisissons la date du 29/12/2006 pour les dates d’avant crise et la date du 30/12/2011 pour les dates
post-crise.
Pour chacune de ces dates, nous répétons le même procédé que dans la section précédente. De plus, Nous
projetons les courbes dans 1an, 2 ans et 3 ans à partir de chacune de ces dates. Les courbes sont
présentées dans la section qui suit.


Les courbes d’avant crise

Projection sur 1 an à partir du
29/12/2006

Projection sur 2 ans à partir du
29/12/2006

0.06
0.06

0.05

Valeur des taux

Valeur des taux

0.05

0.04

0.04

0.03

0.03
0.02

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
m m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
oi oi
s s

Maturité

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2007

qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2008

Projection sur 3 ans à partir du
29/12/2006

Valeur des taux

0.06

0.04

0.02

0.00

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

30DEC2009

Conclusion : Les courbes projetées ont des formes cohérentes et les faits stylisés sont bien reproduits.
Nous retrouvons le même phénomène lors de l’analyse de la cohérence des projections par ACP Vasicek : à
partir des projections faites depuis 29/12/2006, nous observons que les taux courts historiques ne sont pas
bien reproduits. Cela pourrait être dû à l’impossibilité d’anticiper une période de crise sans informations
préalable dans notre historique de donnée. En effet, n’ayant jamais rencontré de telles volatilités sur le
marché, il serait ambitieux d’anticiper une période de forte volatilité sur le marché.

page 28/45



Les courbes d’après crise

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2011

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2011

0.06

0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2012

qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2013

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2011
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5

qzc_50

qzc_97_5

31DEC2014

Conclusion : Les courbes projetées ont des formes cohérentes et les faits stylisés sont bien reproduits.
Nous retrouvons le même phénomène de surestimation des taux sur les périodes d’après crise 2008
observé lors des projections des courbes du modèle ACP VASICEK.

page 29/45



Comparaison des courbes simulées d’ACP Vasicek et de NS

Nous comparons dans cette partie les courbes simulées d’ACP VASICEK avec celles de NS obtenues dans
les sections précédentes.
Nous choisissons les dates du 29/12/2006, 31/12/2007 et du 31/12/2008 comme date de départ de nos
projections pour les dates d’avant crise et les dates du 30/12/2011, 31/12/2012 et 31/12/2013 celles postcrise.
Pour chacune de ces dates, nous répétons le même procédé que dans la section précédente. De plus, Nous
projetons les courbes dans 1an, 2ans et 3 ans à partir de chacune de ces dates. Les courbes sont
présentées dans la section qui suit.


Les courbes d’avant crise

Projection sur 1 an à partir du
29/12/2006

Projection sur 2 ans à partir du
29/12/2006
0.07

0.06

0.06

Valeur des taux

Valeur des taux

0.05

0.04

0.05

0.04

0.03
0.03

0.02

0.02

0.01
0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC
3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

Maturité
qzc_50_NSSF
31DEC2007

qzc_50_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2008

qzc_50_ACPV

Projection sur 3 ans à partir du
29/12/2006

Valeur des taux

0.06

0.04

0.02

0.00

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
30DEC2009

qzc_50_ACPV

page 30/45

Projection sur 1 an à partir du
31/12/2007

Projection sur 2 ans à partir du
31/12/2007

0.06

0.06

Valeur des taux

Valeur des taux

0.05

0.04

0.03

0.04

0.02

0.02

0.00

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

Maturité
qzc_50_NSSF
31DEC2008

qzc_50_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
30DEC2009

qzc_50_ACPV

Projection sur 3 ans à partir du
31/12/2007
0.08

Valeur des taux

0.06

0.04

0.02

0.00

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2010

qzc_50_ACPV

Projection sur 1 an à partir du
31/12/2008

Projection sur 2 ans à partir du
31/12/2008
0.06

0.05

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04
0.03

0.02

0.02

0.01

0.00
0.00

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

Maturité
qzc_50_NSSF
30DEC2009

qzc_50_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2010

qzc_50_ACPV

Projection sur 3 ans à partir du
31/12/2008
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
30DEC2011

qzc_50_ACPV

page 31/45

Remarque :
Pour les courbes d’avant crise, les médianes des modèles ACP VASICEK et NS sont assez proches.
Pour les projections à partir du 29/12/2006 et du 31/12/2007, nous remarquons que les médianes du modèle
d’ACP VASICEK sont plus proches de la courbe historique. De plus, nous observons que la distribution de
l’ACP VASICEK est plus écartée au niveau des quantiles 2.5 et 97.5. Pour les projections à partir du
31/12/2008, ce sont les médianes du modèle de NS qui se rapprochent le plus de la courbe historique.


Les courbes d’après crise

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2011

Projection sur 2 ans à partir de
31/12/2011
0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00

-0.02
-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2012

qzc_50_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2013

qzc_50_ACPV

Projection sur 3 ans à partir de
31/12/2011
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

-0.04

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
31DEC2014

qzc_50_ACPV

Remarque :
Pour les courbes d’après crise, les médianes des modèles ACP VASICEK et NS sont assez proches.
Pour les projections à partir du 31/12/2011, nous remarquons que les médianes du modèle d’ACP VASICEK
sont plus proches des courbes historiques.


Conclusion :

Pour certaines périodes, Vasicek ACP reproduit mieux les faits stylisés et pour d’autres, le modèle de Nelson
Siegel est meilleur. D’autres modèle de Nelson Siegel existe avec un paramètre de deuxième courbure qui
donne plus de flexibilité à la courbe mais qui, néanmoins, introduisent des problèmes de corrélations non
linéaire entre les paramètres à prendre en compte. Cela rend alors le calibrage des modèles plus difficiles
mais néanmoins faisable en ajoutant tout une étude sur les bons paramètres d’échelles à fixer lors d’une
étude sur les corrélations des paramètres de notre modèle. On pourrait penser par exemple à l’amélioration
de Svensson, ou encore de celui de Christensen, voire de Filipovic.
page 32/45

4. Annexe
La relation entre le taux Zéro-coupon 𝑹𝒕 (𝒎) et le taux forward 𝒇𝒕 (𝒎)


𝑓𝑡 (𝑚) =

𝑑𝑅𝑡𝑍𝐶 (𝑚)
𝑑𝑚
𝑑

× 𝑚 + 𝑅𝑡 (𝑚)
1

= 𝑑𝑚 (− 𝑚 × log(𝐵𝑡 (𝑚))) × 𝑚 + 𝑅𝑡 (𝑚)
1

1

𝐵′ (𝑚)

= (− 𝑚2 × log(𝐵𝑡 (𝑚)) − 𝑚 × 𝐵𝑡 (𝑚)) × 𝑚 + 𝑅𝑡 (𝑚)
1

= (− 𝑚 × 𝑅𝑡 (𝑚) −

𝐵𝑡′ (𝑚)
×
)
𝑚
𝐵𝑡 (𝑚)
𝐵𝑡′ (𝑚)
1

𝑡

× 𝑚 + 𝑅𝑡 (𝑚)

= −𝑅𝑡 (𝑚) + 𝑅𝑡 (𝑚) − 𝐵 (𝑚)
=

𝑡

𝐵′ (𝑚)
− 𝐵𝑡 (𝑚)
𝑡
1

𝑚

Ce qui implique 𝑅𝑡 (𝑚) = 𝑚 ∫0 𝑓𝑡 (𝑢)𝑑𝑢

page 33/45



Discrétisation exacte du modèle de Vasicek

Le modèle de Vasicek de taux d’intérêt est un exemple de processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Une
discrétisation exacte de ce processus est donnée de la manière suivante :
On a 𝑑𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑏𝑘 (𝑎𝑘 − 𝑌𝑘 (𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 𝑑𝑊𝑡
On applique la formule d’Itô à la fonction auxiliaire𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑥 × 𝑒𝑥𝑝(𝑏𝑘 × 𝑡).
On obtient 𝑑(𝑌𝑘 (𝑡) × exp(𝑏𝑘 × 𝑡)) = 𝑏𝑘 × exp(𝑏𝑘 × 𝑡) 𝑎𝑘 𝑑𝑡 + 𝜎𝑘 × exp(𝑏𝑘 × 𝑡) 𝑑𝑊𝑡 =
En intégrant entre 𝑡 − ∆𝑡 et 𝑡, nous obtenons :
𝑌𝑘 (𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(𝑏𝑘 × 𝑡)

𝑡

= 𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × (𝑡 − ∆𝑡)) + ∫
𝑡

+∫

𝑏𝑘 × 𝑎𝑘 × 𝑒𝑥𝑝(𝑏𝑘 × 𝑢) 𝑑𝑢

𝑡−∆𝑡

𝜎𝑘 × 𝑒𝑥𝑝(𝑏𝑘 × 𝑢)𝑑𝑊𝑢

𝑡−∆𝑡

𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × ∆𝑡) + 𝑎𝑘 (1 − 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × ∆𝑡))
𝑡

+ 𝜎𝑘 ∫
Dans notre cas 𝑎𝑘 = 0, et on a

𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × (𝑡 − 𝑢))𝑑𝑊𝑢

𝑡−∆𝑡
𝑡

𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × ∆𝑡) + 𝜎𝑘 ∫

𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × (𝑡 − 𝑢))𝑑𝑊𝑢

𝑡−∆𝑡

𝑌𝑘 (𝑡)|𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡)~𝑁 (𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × ∆𝑡),

𝜎𝑘 2
(1 − 𝑒𝑥𝑝(−2 × 𝑏𝑘 × ∆𝑡)))
2𝑏𝑘

Cela conduit à la discrétisation exacte :
(1−𝑒𝑥𝑝(−2×𝑏𝑘 ×∆𝑡))

𝑌𝑘 (𝑡) = 𝑌𝑘 (𝑡 − ∆𝑡) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑏𝑘 × ∆𝑡) + 𝜎𝑘 2 √

2𝑏𝑘

𝜀𝑘 (𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜀~𝑁(0,1)

page 34/45



Les graphiques suivants présentent la fonction de vraisemblance obtenue en
fixant la valeur d’un paramètre (𝒂𝒌 = 𝟎) pour k=1,2 ,3.
Log - vraisemblance du modèle

Log - vraisemblance

-166

-2914

-5663
50.00

33.67

sigma 1

-8411
15.00

17.33
10.03

a1

5.07
0.10

1.00

Figure 5: fonction de vraisemblance obtenue en fixant la valeur du paramètre a1=0
Log - vraisemblance du modèle

Log - vraisemblance

-166

-2914

-5663
50.00

33.67

sigma 2

-8411
15.00

17.33
10.03

a2

5.07
0.10

1.00

Figure 6 : la fonction de vraisemblance obtenue en fixant la valeur d’un paramètre a2=0
Log - vraisemblance du modèle

Log - vraisemblance

-84

-817

-1551
50.00

33.67

sigma 3

-2284
15.00

17.33
10.03

a3

5.07
0.10

1.00

Figure 7: la fonction de vraisemblance obtenue en fixant la valeur d’un paramètre a3=0

page 35/45

Figure 8:Analyse des corrélations de la série (𝜷𝟏 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]
Trend and Correlation Analysis for b1
1.0
-0.01
0.5

b1

FAC

-0.02

0.0

-0.03
-0.5
-0.04
-1.0
0

50

100

150

0

5

10

15

20

25

20

25

Retard

1.0

1.0

0.5

0.5

FACI

FACP

Observation

0.0
-0.5

0.0
-0.5

-1.0

-1.0
0

5

10

15

20

25

0

5

10

Retard

15

Retard

Figure 9:Analyse des corrélations de la série différenciée (𝜷𝟏 (𝒕) − 𝜷𝟏 (𝒕 − 𝟏))𝒕∈[𝟏,𝟏𝟗𝟔]
Trend and Correlation Analysis for b1(1)
1.0
0.005

FAC

b1(1)

0.5
0.000
-0.005

0.0
-0.5

-0.010

-1.0
0

50

100

150

0

5

10

15

20

25

20

25

Retard

1.0

1.0

0.5

0.5

FACI

FACP

Observation

0.0
-0.5

0.0
-0.5

-1.0

-1.0
0

5

10

15

20

25

0

Retard

5

10

15

Retard

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests
Type

Retards

Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau

F Pr > F

Zero Mean

1 -0.3986

0.5913 -0.34

0.5600

Single Mean

1 -4.2166

0.5108 -1.42

0.5713 1.04 0.8064

Trend

1 -5.5585

0.7740 -1.67

0.7609 1.40 0.8972

page 36/45

Figure 10: Analyse des corrélations de la série(𝜷𝟐 (𝒕))𝒕∈[𝟎,𝟏𝟒𝟗]
Trend and Correlation Analysis for b2
1.0
0.00

FAC

0.5

b2

-0.02

0.0
-0.5

-0.04

-1.0
0

50

100

150

0

5

10

15

20

25

20

25

Retard

1.0

1.0

0.5

0.5

FACI

FACP

Observation

0.0
-0.5

0.0
-0.5

-1.0

-1.0
0

5

10

15

20

25

0

5

Retard

10

15

Retard

Figure 11: Analyse des corrélations de la série différenciée (𝜷𝟐 (𝒕) − 𝜷𝟐 (𝒕 − 𝟏))𝒕∈[𝟏,𝟏𝟒𝟗]

0.02

1.0

0.01

0.5

FAC

b2(1)

Trend and Correlation Analysis for b2(1)

0.00
-0.01

0.0
-0.5

-0.02

-1.0
0

50

100

150

0

5

10

15

20

25

20

25

Retard

1.0

1.0

0.5

0.5

FACI

FACP

Observation

0.0
-0.5

0.0
-0.5

-1.0

-1.0
0

5

10

15

20

25

0

Retard

5

10

15

Retard

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests
Type

Retards

Rho Pr < Rho Tau Pr < Tau

F Pr > F

Zero Mean

1

-1.9947

0.3304 -0.85

0.3458

Single Mean

1

-7.8504

0.2187 -1.91

0.3258 1.87 0.5938

Trend

1 -25.2883

0.0183 -3.63

0.0307 6.63 0.0421

page 37/45

Projection par ACP VASICEK des courbes Zéro-coupon sur d’autres dates de fin
d’année



Projection sur 1 an à partir de
30/12/2005

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2005

0.05
0.05

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02
0.01

0.00

0.01

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité

Maturité
qzc_2_5_ACPV

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_ACPV

29DEC2006

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

31DEC2007

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2005
1.5

1.0

Valeur des taux

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_ACPV

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

31DEC2008

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2009

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2009
0.06

0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00
0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité

Maturité
qzc_2_5_ACPV

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

31DEC2010

qzc_2_5_ACPV

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

30DEC2011

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2009

Valeur des taux

1

0

-1

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_ACPV

qzc_50_ACPV

qzc_97_5_ACPV

31DEC2012

page 38/45

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

31DEC2013
qzc_97_5_ACPV
qzc_50_ACPV
qzc_2_5_ACPV

Maturité

Maturité

31DEC2012
qzc_97_5_ACPV
qzc_50_ACPV
qzc_2_5_ACPV

30DEC2011
qzc_97_5_ACPV
qzc_50_ACPV
qzc_2_5_ACPV

0.00

Valeur des taux

0.02

Valeur des taux

0.04

0.04

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0.0

Valeur des taux

0.02

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2010
Projection sur 1 an à partir de
30/12/2010

0.00

-0.02

-0.02

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2010
1.5

1.0

0.5

-0.5

-1.0

-1.5

Maturité

page 39/45



Projection par NS des courbes Zéro-coupon sur d’autres dates de fin d’année

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2005

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2005
0.05

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.03

0.03

0.02
0.02

0.01

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

Maturité

qzc_97_5_NSSF

29DEC2006

qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2007

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2005
0.05

Valeur des taux

0.04

0.03

0.02

0.01

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2008

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2009

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2009

0.06
0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2010

qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

30DEC2011

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2009
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2012

page 40/45

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2010

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2010

0.06

0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

30DEC2011

qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2012

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2010
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_NSSF

qzc_50_NSSF

qzc_97_5_NSSF

31DEC2013

page 41/45

Comparaison des Projection des courbes Zéro-coupon par ACP Vasicek et NS
sur d’autres dates de fin d’année



Projection sur 1 an à partir de
30/12/2005

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2005

0.05

0.05

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.01

0.01

0.00

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC
3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

Maturité
qzc_50_ACPV
29DEC2006

qzc_50_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_50_ACPV
31DEC2007

qzc_50_NSSF

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2005
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

Maturité
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_50_ACPV
31DEC2008

qzc_50_NSSF

Projection sur 1 an à partir de
30/12/2009

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2009

0.06

0.06

0.04

Valeur des taux

Valeur des taux

0.04

0.02

0.02

0.00
0.00

-0.02

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC 4
_
ZC 3
_
ZC_2
ZC_1 is
o
ZC_6m is
o
ZC_3m
ZC

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

Maturité
qzc_50_ACPV
31dec2010

qzc_50_NSSF

qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_50_ACPV
30DEC2011

qzc_50_NSSF

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2009
0.06

Valeur des taux

0.04

0.02

0.00

-0.02

ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC ZC
_3 _6 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _1 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _3
mo mo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
is is

Maturité
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF

qzc_50_ACPV
31DEC2012

qzc_50_NSSF

page 42/45

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

qzc_50_NSSF
qzc_50_ACPV
31DEC2013
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

Maturité

Maturité

qzc_50_NSSF
qzc_50_ACPV
31DEC2012
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

qzc_50_NSSF
qzc_50_ACPV
30DEC2011
qzc_2_5_NSSF
qzc_97_5_NSSF
qzc_2_5_ACPV
qzc_97_5_ACPV

0.00

Valeur des taux

0.04

0.04

0.02

Valeur des taux

0.06

0.06

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0
_3
ZC_29
ZC_28
ZC_27
ZC_26
ZC_25
ZC_24
ZC_23
ZC_22
ZC_21
ZC_20
ZC_19
ZC_18
ZC_17
ZC_16
ZC_15
ZC_14
ZC_13
ZC_12
ZC_11
ZC_10
ZC_9
ZC_8
ZC_7
ZC_6
ZC_5
ZC_4
ZC_3
ZC_2
ZC_1 ois
ZC_6mois
ZC_3m
ZC

0.025

0.000

Valeur des taux

0.02

Projection sur 2 ans à partir de
30/12/2010
Projection sur 1 an à partir de
30/12/2010

0.00

-0.02

-0.02

Projection sur 3 ans à partir de
30/12/2010

0.050

-0.025

Maturité

page 43/45



Principes des tests


Test Dickey Fuller ou test de non-stationnarité d'une série
Les différents modèles retenus pour construire les statistiques de test sont les suivants :
𝑝

∆𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝛼 + 𝛽𝑡 + ∑ ϕi ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀𝑡
𝑝

𝑖=1

∆𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + 𝛼 + ∑ ϕi ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀𝑡
𝑝

(1)
(2)

𝑖=1

∆𝑌𝑡 = 𝜌𝑌𝑡−1 + ∑ ϕi ∆𝑌𝑡−𝑖 + 𝜀𝑡

(3)

𝑖=1

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5. Référence
*Affine term structure Models : Theory and Implementation- David Bolder, Working paper October
2001.
*The affine arbitrage-free class of Nelson Siegel Term structure Models- Christensen, Diebold,
Rudebusch 2007
*Filtering the interest rate curve- the MENIR framework- SG Quant Research
***

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