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Comment démontrer une assertion ?

Comment démontrer une assertion de la forme ∀ 𝒙 ∈ E, P(x) ?
Exemple: ∀ r ∈ R, (r² + 2²) ≥ 4.

Principe

On prend un élément générique de E et on montre qu'il vérifie P.
On introduit cet élément par « Soit x ∈ E » (ou une autre lettre).
On considère que cet élément générique ne vérifie que les propriétés communes à tous les éléments
de E.
Ainsi, si on montre la propriété pour cet élément générique, elle est vraie pour tous les éléments.

Exemple

Soit r ∈ R.
Montrons que (r² + 2)² ≥ 4
On sait que r² ≥ 0 (=le carré d'un réel est toujours positif.)
Donc r² + 2 ≥ 2
Donc (r² + 2)² ≥ 4
Donc ∀ r ∈ R, (r²+2)² ≥ 4

Utiliser une implication - raisonnement déductif.
Au cours d'une démonstration, on veut montrer Q(t) pour un r ∈ E générique.
Si on sait que ∀ x ∈ E, P(x) => Q(x) (connu ou déjà prouvé).
On peut démontrer P(t) puis en déduire Q(t)

Remarque

Modus Ponens: Si on a (A et A => B) alors B.

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Comment démontrer une assertion ?

Exemple

Passage de r² + 2 > 2 à (r² + 2)² > 4 dans l'exemple précédent
(On utilise ∀ x ∈ R+, ∀ y ∈ R+, x < y => x² < y²)
ATTENTION: Le fait que A soit vrai et le fait que A => B est vrai sont indépendants.

Démontrer une implication(universellement quantifiée)
Pour prouver ∀ x ∈ E, P(x) => Q(x), on prend un élément générique de E dont on suppose qu'il vérifie
P(la prémisse) et on démontre qu'il vérifie Q(le conséquent)
Exemple
∀ t ∈ R, t>1 => 𝑡 3 > 1
Démonstration

Variante

Soit t ∈ R

Soit t ∈ R tel que t > 1,

Supposons que t > 1
Montrons que 𝑡 3 > 1

//

La fonction cube est croissante
Donc 𝑡 3 > 12 = 1
Donc ∀ t ∈ R, t>1 => 𝑡 3 > 1

P(x) => Q(x)
Pourquoi est-il est suffisant de se placer dans le cas: P(x) vrai?
Pourquoi on ne traite pas le cas où P(x) est fausse?

Table de vérité de l’implication :
A
F
F
V
V

Vocabulaire.

B
F
V
F
V

A=>B
V
V
F
V

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Comment démontrer une assertion ?

Dans la pratique des mathématiques, A => B se dit aussi « Si A alors B » ou « A entraîne
B »(attention sens courant).
A est une condition suffisante de B(il suffit d'avoir A pour avoir B).
B est une condition nécessaire de A (il est nécessaire d'avoir B pour avoir A, ie., sans B,
impossible d'avoir A).

Quantification universelle bornée.
On écrit parfois « pour tout entier naturel n, tel que n impair, P(n) ».
➔ On peut interpréter ∀ n ∈ I, P(n), en ayant posé I l'ensemble des entiers naturels impairs, ou
➔ ∀ n ∈ N, (n impair => P(n))
On trouve aussi parfois dans les énoncés de théorèmes :
« Soit n un entier. Si n est impair alors P(n). »

Quantification existentielle bornée.
On écrit parfois « Il existe un entier naturel n, impair, tel que P(n) » :
➔ On peut l'interpréter ∃ n ∈ I, P(n), en ayant posé I l'ensemble des entiers naturels impairs, ou
➔ ∃ n ∈ N, (n impair ^ P(n))

Quantifications multiples.
Exemple typique : ∀ ... ∃ …
∀ x ∈ 𝑅 + , ∃ y ∈ 𝑅+ , x = y²-1

Démonstration
Soit x ∈ 𝑅+
𝑥 + 1 est positif.
Posons y = √(𝑥 + 1)
𝑦 est bien dans 𝑅 + , et 𝑦² = 𝑥 + 1, donc 𝑥 = 𝑦² − 1

Conseils
1. Qualité et précision de la rédaction.
2. On explique au lecteur ce que l'on fait, où l'on va
3. On donne tous les détails pertinents

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Comment démontrer une assertion ?

4. On n'ajoute rien d’inutile (ou de redondant)

Au cours d’une démonstration,
Pour prouver A(x) ^ B(x), on démontre d'une part que x vérifie A(x) et d'autre
part qu'il vérifie B(x).

Exemple
➔ ∀ x ∈ R tel que x ≥ 1, √𝑥 ≤ x ≤ x²
Pour prouver A(x) v B(x)
On démontre que soit x vérifie A(x), soit x vérifie B(x).
On peut aussi démontrer que si x ne vérifie pas A(x), il vérifie B(x) (Ou l'inverse).
Exemple
➔ ∀ x ∈ R, x²-1 > 0 => (x < -1 ou x > 1)
Pour prouver non(P(x))
On peut trouver que P(x) est fausse ou formuler la négation de P(x) et la
prouver.

Rappel
➔ La négation de ∀ x ∈ E, P(x) est ∃ x ∈ E, non(P(x))
➔ La négation de ∃ x ∈ E, P(x) est ∀ x ∈ E, non(P(x))

Pour prouver P(x)  Q(x)
En général on prouve P(x) => Q(x) et Q(x) => P(x) séparément. Cela doit
apparaitre clairement dans la rédaction !
Cas de plusieurs équivalence :
Pour démontrer P(x) <=> Q(x) <=> R(x), on peut démontrer circulairement,
P(x) => Q(x) et
Q(x) => R(x) et
R(x) => P(x)

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Comment démontrer une assertion ?

Conseils pour la rédaction

1. Chercher au brouillon
2. Bien choisir les noms des variables
3. Bien dire qui est quoi avant d'en parler,
ex: ∀ x ∈ E, P(x) ne veut pas dire qu'on peut parler de l'élément x
4. Annoncer où on en est, ce qu'on va faire, le type de raisonnement
utilisé.
5. Faire des phrases en français, être propre.
6. Indenter, structurer en paragraphes.
7. Conclure(∎), conclusions intermédiaires...
8. Lire des preuves, travailler les preuves des cours et des livres.

Raisonnement spécifique

Contraposition
On a vu que A => B a la même table de vérité que non(B) => non(A). Il est donc équivalent de prouver
l'un ou l'autre. Par extension, pour démontrer ∀ x ∈ E, P(x) => Q(x), il est équivalent de démontrer :
∀ x ∈ E, non(Q(x)) => non(P(x)).

Intuition
∀ x ∈ E, P(x) => Q(x) signifie que pour tout x de E, si P(x) est vrai, alors Q(x) est nécessairement vraie.
Autrement dit, si Q(x) est faux, on ne peut pas avoir P(x) vrai, donc
∀ x ∈ E, non(Q(x)) = > non(P(x))

Erreur fréquente
➔ Confusion entre contraposée et réciproque.

Exemple
∀ a ∈ R,

∀ b ∈ R, (𝑎𝑏 ≠ 0) => (𝑎 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑏 ≠ 0)

Démonstration
Soit a ∈ R
Soit b ∈ R
On raisonne par contraposition :
Supposons a = 0 ou b = 0.
Alors ab = 0.
Donc ∀ a ∈ R,

∀ b ∈ R, (𝑎𝑏 ≠ 0) => (𝑎 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑏 ≠ 0) .

Remarque – contraposée et équivalence.
Pour démontrer A  B on peut démontrer A => B et non(A) => non(B).
Pour démontrer ∀ x ∈ E, P(x)  Q(x), on peut démontrer
∀ x ∈ E, P(x) => Q(x) et ∀ x ∈ E, non(P(x)) => non(Q(x))

1

Raisonnement spécifique

Raisonnement par l'absurde
On veut prouver une assertion A. On prouve que si A est faux, alors on aboutit à une contradiction.
On en conclut que A est nécessairement vraie. Autrement dit, si non(A) implique une
contradiction, alors A.

En fait, on montre que non(A) => F, c'est-à-dire que A ne peut pas être fausse.
Pour se convaincre,
Non(A)
F
F
V
V

B
F
V
F
V

Non(A)=>B
V
V
F
V

Important : cas courant d'une implication.
Pour démontrer A => B par l'absurde. On suppose que A => B est faux, ie. on suppose A et
non(B). On montre que cela entraîne une assertion C alors qu'on sait déjà que C est fausse,
ou que cela entraine à la fois C et non(C) (contradiction).

Par extension,
Pour prouver ∀ x ∈ E, P(x) par l'absurde, on peut supposer ∃ 𝑥 ∈ 𝐸, non(P(x)).
Pour prouver ∀ x ∈ E, P(x) => Q(x) par l'absurde, on peut supposer ∃ 𝑥 ∈ 𝐸, (P(x) ^ non(Q(x))).

Exemple
∀ x ∈ N, 𝑥 + 1 ≠ 𝑥 + 2
Soit x ∈ N.
Montrons par l'absurde que 𝑥 + 1 ≠ 𝑥 + 2
Supposons donc que 𝑥 + 1 = 𝑥 + 2
Alors 1=2(en soustrayant x dans chaque membre)
Cela est impossible
Disjonction de cas - exemple: ∀ r ∈ 𝑟 3 + 𝑟 2 est pair.

Démonstration

2

Raisonnement spécifique

Soit r ∈ N
Si r est impair
Alors 𝑟 + 1 est pair.
Et donc l'entier 𝑟 3 + 𝑟 2 = 𝑟 2 (r+1) est pair.
Dans tous les cas, 𝑟 3 + 𝑟 2 est pair.
Disjonction de cas
Pour montrer une assertion A, on peut montrer qu'elle est vrai dans différents cas, à condition de
traiter TOUS les cas, c'est-à-dire que ces cas couvrent tous les possibles.

ANALYSE-SYNTHESE.

Pour montrer A  B (en particulier quand on chercher à déterminer B): on raisonne par déduction
en partant de l'hypothèse A jusqu’à atteindre une condition nécessaire B (A => B).Pour avoir A  B, il
reste à prouver que B est une condition suffisante (B = > A)

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