Limites et Continuité Cours .pdf



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Prof :EL MOUNTASSIR

Deuxième Année BIOF
(PC/SVT)

Limites et Continuité

Partie 1 :

Opérations sur les limites d’une fonction:

 Limites de la Somme de deux fonctions :

Limite de la fonction f





Limite de la fonction g



l
l
l


l


Limite de la fonction f  g





l  l

Forme indéterminée

 Limites du Produit de deux fonctions :

Limite de la fonction f


Limite de la fonction g


l



l
0

l l  0

Limite de la fonction f  g
 selon le signe de f et g

 selon le signe de f et g
l  l
Forme indéterminée

 Limites du Quotient de deux fonctions :

Limite de la fonction f

Limite de la fonction g

l l  0

0



l
l

0
l

l l  0

0
0



0


Partie 2 :

sin  ax 
1
x 0
ax
1  cos  ax  1
lim

2
x 0
2
 ax 

sin x
1
x
1  cosx 1
lim

x 0
x2
2

lim

x 0

tan x
1
x 0
x

 selon le signe de f et g
 selon le signe de f et g
0
l
l
0
Forme indéterminée
Forme indéterminée

Limite des Fonctions Trigonométriques:

lim

lim

Limite de la fonction f  g
 selon le signe de f et g

tan  ax 
 1 avec  a  0 
x 0
ax

lim

1

Partie 3 :

Continuité d’une fonction :

 Si f est continue en a  lim f  x   lim f  x   f  a   lim f  x   f  a  ;
x a

x a

x a

 Toute fonction polynôme est continue sur ¡ ;
 Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition ;
 La fonction x  x est continue sur ¡



 0;  ;

 La fonction x  sin x est continue sur ¡ ;
 La fonction x  cos x est continue sur ¡ ;
 Si f et g deux fonctions continues sur I alors :
 f  g est continue sur I ;
 f  g est continue sur I ;
 f  g est continue sur I ;


f
est continue sur I .
g

 Si f est continue sur I est g continue sur f  I  alors g o f est continue sur I .
Partie 4 :

Théorème des Valeurs Intermédiaires (De manière pratique):

Sur un intervalle de type  a; b  :
 Si f est continue et monotone sur  a; b  et f  a   f  b  p 0 alors l’équation f  x   0 admet au
moins une solution sur a; b ;
 Si f est continue et strictement monotone sur  a; b  et f  a   f  b  p 0 alors l’équation f  x   0
admet une solution unique sur a; b .
Sur un intervalle I de type a;  ; ; a ; ¡ :
 Si f est continue et monotone sur I et 0  f  I  alors l’équation f  x   0 admet au moins une
solution sur I ;

 Si f est continue et strictement monotone sur I et 0  f  I  alors l’équation f  x   0 admet une
solution unique sur I .
Partie 5 :

La méthode de Dichotomie :

Avant d’entamer la méthode de dichotomie l’étape précédente c’est qu’on trouve d’après le Théorème des
Valeurs Intermédiaires qu’il existe un unique réel   a; b solution de l’équation f  x   0 .

L’objectif de la méthode de dichotomie c’est de trouver un encadrement de  d’amplitude l .

2

On calcul dans un premier temps : b  a et on le compare avec l d’où on obtient deux cas :
 Cas 1 : b  a  l dans ce cas le travail est terminé a    b est l’encadrement demandé ;
 Cas 2 : b  a  l dans ce cas il faut continuer le calcul comme suit :

 ab
 puis on calcul f  a  
 2 

 On calcul dans un premier temps f 

 ab
f
 et on le compare
 2 

avec le nombre 0 :

ab
ab
 ab
;ici
joue le rôle de b donc on refait
 p 0 donc : a p  p
2
2
 2 
ab
l’étape précédente on comparent :
 a avec l’amplitude l et on procède de la
2
Si : f  a   f 

manière que avant;

ab
ab
 ab
joue le rôle de a on refait
p  p b ; ici
 f 0 donc :
2
2
 2 
ab
l’étape précédente on comparent b 
avec l’amplitude l et on procède de la
2
Si : f  a   f 

manière que avant;
Partie 6 :

Image d’un Intervalle par une Fonction Continue :

Intervalle I

f  I  tel que f croissante

f  I  tel que f décroissante

 a; b
 a; b

 f  a  ;f  b 

 f  b  ;f  a 



 f  a  ;limf  x  
x b





 limf x ; f a 


x b 


f  b  ; limf x 


x a 


 limf x ; f a 


x 
 lim f  x  ; lim f  x  
x a 
 x


a; b
a; 
a; 

;b
;b
¡  ; 



 limf x ;f  b  


x a 


 f  a  ; limf x 


x 

 

 

 lim f  x  ; lim f  x  

x 
 xa


 limf  x  , f  b  
 x

 limf  x  ; limf  x  
x b
 x


 lim f  x  ; lim f  x  
x 
 x


   

 

   



 f  b  ;limf  x  , 
x 


 limf  x  ; limf  x  
x 
 xb


 lim f  x  ; lim f  x  
x 
 x


NB : On aura besoin de calculer l’image d’un intervalle par une fonction continue dans plusieurs cas
notamment lorsque on veut appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires pour un intervalle I de type

a; ; ; a ; ¡

.

3

Partie 7 :

La Fonction Réciproque

f

1

:

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors elle admet une
fonction réciproque
1

f

1

f

f

1

dont les propriétés est comme suit :

est définie sur f  I  ;

est continue et strictement monotone sur f  I  et varie dans le même sens que

sur I ;

f

Les courbes de

f

et

f

1

sont symétriques par rapport à la droite  D  d’équation y  x ;

x  f  I  y  I  : f  x   y  f  y   x .
1

Partie 8 :

La Fonction n x :

La fonction x  n x est continue est strictement croissante sur  0;  donc elle admet une
fonction réciproque définie sur  0;  par

1

f  x 

n

x et dont les propriétés sont comme suit :

n  ¥  x 0;   y  0;   p ¢  q  ¥  :




1



n

x  xn ;



q

x 

q



n

xn

n



n

x n y x y ;



n

xp



n m



mn



n

xy  n x n y ;



n

x

y

p

 x
 x
n

p

n

x

p
q

x ;

y  xp y

x  nm x ;

xm  n x ;
n
n

x
;
y

4


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