tshih tmarin alatsal oalnhaiat slsla 4 1 .pdf


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‫ل‬‫ت و ا‬‫ا‬
‫ح‬ 

4 

‫ ر‬ ‫ر‬ 2 ‫ا‬
f x  



x  1 1



3

: 1 

D f   1;   :  x  D f  x  1  0  x  1 : 

x  y  x 1  y 1  0 


x 1 1 

x 1 

y 1 1 



1

y 1

 



3

x 1 1 

:  ، x, y    1;  2 

3

y 1 1

x  y  f x   f  y 

2

D f   ‫ا‬ f ‫إذن‬
D f   ‫ا‬ ‫ و‬ f ‫ أن‬





 D f   

x   y  f  y   x   y  1  1  x :  ،
f 1  x   y  y  1  1  3 x  y  1  3 x  1

y   1;   ‫ و‬x   1;   

J  f  1;    f  1; im f  x    1;  

f

3

1

 y 1 
 f

f

1

x   

x   y  1 

1



3



2

x 1  y 

x   3



: ‫ن‬ x  0 ;   ‫ن‬ ‫إذا‬

2

x  1  1  3 x 2  23 x



3

y  1  x



 y 1  1 3  x
1

3

x 2  23 x

 1 y 1  3  x 

 f



3

x   3



2

y 1  1 3  x



 y  1 3  x



2

 1  3 x 2  23  x

: ‫ن‬ x   1; 0  ‫ن‬ ‫إذا‬

4

x 2  23  x
 f

 f

x   3
1
x   3
1

x 2  23  x ; x   1; 0 
2

3

x 2 x

:

; x  0 ;  

  ‫ع‬‫ م‬ 0 ;     ‫ر ا‬‫ ا‬‫ه أن دا‬‫م‬‫ ا‬ ‫ إذ أن‬،‫ا‬‫ ا‬  ‫ا‬ ‫و‬ 
.‫ل ا‬ ‫ة‬‫ا‬ ‫ دون‬‫ ا‬‫ا‬‫ ا‬
f x  
1

x 11

x

x
1 x

: 2 

 f  x  : 

1

 x 1  y 1  0
 x 1  y 1  0


xy  1
 
1
1
1
 x 1  y 1
 x  1   y  1


1
1
 x 1 
 y 1
:  ، x, y   0 ;  2 
x 1
y 1

2

 x   1;    :

x 1

x 1



x 1



1 x

x  y  f x   f  y 

  ‫ أم‬ ‫ و‬، 0 ;     ‫ا‬ f ‫إذن‬





J  f 0 ;    f 0 ; im f  x   0 ;    0 ;     ‫ إذن‬
x   

f

1

x   y  f  y   x 

y
1 y

x

:  ، y  0 ;   ‫ و‬x  0 ;   

 y 2  x 2  y  1  y 2  x 2 y  x 2  0
  x 4  4 x 2  0 :  y ‫ل‬‫ ذات ا‬y 2  x 2 y  x 2  0 ‫ود‬‫دة ا‬

f

1

x   y 

y

x2  x4  x2
x2  x4  x2
ou y 
: ‫إذن‬
2
2

x2  x4  x2
x2  x4  x2
f x  
 0 : ‫ أن‬ ‫و‬
: ‫ن‬ x  0 ;  
2
2

x  0 ;  

3

1

x2  x4  x2
 0 ;   ‫ن ان‬   
2
‫ث‬‫ ا‬‫ ا‬  ‫ن‬ ‫و‬‫ ا‬ ‫ه‬  ‫ أي‬ ، ‫ ا‬‫ا‬‫ ا‬ ‫ام‬ ‫ و‬‫و ا‬
  ‫ م‬‫ م‬ ‫ أم‬‫ و ا‬‫ا ا‬ ‫ م‬‫ م‬ ‫ر‬ ‫و‬‫ ا‬‫ ا‬  .‫ و ا‬
.‫ ا‬‫ا‬‫د ا‬‫ن و‬  
‫ل‬‫ ا‬‫ ط‬  ‫ م‬‫ أم‬‫ و ا‬x  0 ;  

: ‫ت ا‬‫ ا‬‫ ا‬: 3 
im

 8x
3

x 

3


1
1 

 x  1  x  im  3 x 3  8  2  3  
x
x 
x 





 3 x  1 1
  im
im 
 x 0 
x
x 0 

x


x 11



3



2

x  1  3 x  1  1





1
1
x   im x  3 8  2  3  1  
 x 
x
x



    (2  1)

 im
x 0

1



3



2



x 1  3 x 1 1

 

1
3

3
3
 3 x2  4 
x2  4
x2  4
x  2x  2  im  3 2  x  
  im
im 
 im
 im  3
3
3


3
x  22
 x  2
x  2  x  2 
x  2
x  2

 x   2   x  2  x   2   x  2 

 ، b ‫ و‬a ‫ن‬ ‫ أن‬  ‫ة‬‫ط‬   

3

ab  3 a 3 b

‫ل ا‬‫ ا‬

x 2  4   x  2  x  2       ،  ‫د‬ ‫اء‬  x 2  4   x  2x  2 

: ‫ت ا‬‫و‬‫ ا‬‫ أ‬: 4 
1
2 
1
2
: ‫ أن‬
a  Arctan   Arctan  : ‫ م‬، Arctan   Arctan  
5
3
5
3 4

1 
1

0  Arctan 5   4
0  5  1


 
، 

 0a

2
0  2  1
0  Arctan 2   


3
3 4

       


 1 
 2 
1 2 13
tan Arctan    tan Arctan  

 a, 4    2 ; 2 


 

 5 
 3 


5
3  15  1 ‫و‬
: ‫ إذن‬، tan a  
 a


2
13
4




1
2

 
 
tan a   tan   1
1  tan  Arctan  . tan  Arctan   1 
15 15

 5 
 3 
4


 
‫ أم‬‫ ذ‬ ‫ن‬‫ ا‬  tan a   tan  ‫ن أن‬‫ ا‬  ،‫و‬‫ ا‬ ‫ن‬‫ ا‬‫و‬ ‫ا‬  
4



. ‫س ا‬ ‫ دا‬ ‫ن‬  
 k  ;  k   : ‫ ا‬ ‫ل‬  ‫ن‬
2
 2


3
4 
Arctan   Arctan   : ‫ أن‬
4
3 2
3
4 
3 
4
Arctan   Arctan  
 Arctan    Arctan  : 
4
3 2
4 2
3

4
3
b   Arctan  ‫ و‬a  Arctan  : ‫م‬
2
3
4
4


4 
4
4 
 0  0  Arctan       Arctan   0  0   Arctan   : 
3
2
2
3 2
3
3 2
3 
: ‫و أ‬
0  Arctan  
4 2


1
1 3
 4 
 3 
tan b   tan   Arctan   
   tan  Arctan   :  ‫و‬

 3 
 4 
 4  4 4
2

tan Arctan  
 3  3

2

  


a
,
b

;
 2 2   a  b : ‫إذن‬
‫ن‬‫ ا‬ ‫ا‬ ‫ و‬، 
tan a   tan b 



4
x  IR
 Arctan x 
: ‫ أن‬ ‫ م‬‫م‬   ‫ م‬ 
2
2
3

 1  
: ‫ أن‬
Arctan x   Arctan  
2
 x
 1 
 1  
Arctan x   Arctan  
 Arctan  
 Arctan x  : 
2
2
 x
 x

1
b
 Arctan x  ‫ و‬a  Arctan  : ‫م‬
2
 x

 
4 
4
x0
 Arctan x   0  0   Arctan     
 Arctan   0 : 
2
2
2
3 2
3

1
:  ‫ و‬،   Arctan   0 : ‫و أ‬
2
 x
1
1
 

 



tan b   tan 
 Arctan x   tan
   Arctan x   tan  Arctan x  

 2

 2

2
 tan Arctan x  x
2

  
a, b    ;   a  b : ‫إذن‬
‫ن‬‫ ا‬ ‫ا‬ ‫ و‬، 
 2 2
tan a   tan b 

tan  x   tan  x  k  / k  Z : ‫ ا‬‫ ا‬
x 0

: 5 

1 
 1 
:‫ ب‬‫ ا‬‫د‬ ‫م‬
D  IR    :    ، E  : Arctan
  Arctan x  
2
2
 2x 1
E   Arctan 1     Arctanx   tan Arctan 1    tan   Arctanx 
 2x  1  2
 2x  1  
2



: 

E 

1
1
1


  2x  1  x  x  1
2 x  1 tan Arctan x  x
S  1  :  ، ‫د‬‫ه ا‬  1 ‫ أن‬  ‫ ا‬ 

‫ا م‬ ‫وي‬ ‫ة‬  ‫ ا‬‫د‬‫ل ا‬  ‫ أم‬‫و ا‬



  
‫ن أن‬‫وري ا‬‫ ا‬  
 Arctan x   
;
2
 2 2 

‫ و‬‫ م‬ ، ‫و‬‫ه ا‬  ‫ن‬‫د ا‬  ‫م‬ ‫ ا‬‫ ا‬   ،‫ل‬‫ا ا‬  ‫ أم‬
.‫ت‬ ‫م‬

Arctan 2 x   Arctan 3 x  


4

 tan Arctan 2 x   Arctan 3x   1
2 x  3x
 1  5x  1  6x 2
1  6x 2
 6x 2  5x  1  0
1
 x  1 ou x 
6


1
‫ أن‬‫ م‬
6
1
1

( ‫ ا‬‫ ا‬ ‫ول‬‫ال ا‬‫ ا‬   ‫ م‬Arctan   Arctan  
 3
 2 4
1
S    : 
6
2
6 x  5 x  1  0 ‫د‬‫ل ا‬  ‫دة‬‫ ا‬‫ ا‬

‫ و‬Arctan  2  Arctan  3  0 :‫ن‬) ‫د‬‫ه ا‬  ‫ي‬‫ ا‬‫د ا‬‫ ا‬

im x  Arctg 2 x   Arctg  x  : ‫ ا‬‫ ا‬
x  

: 6 

:‫ إذن‬، t 

1
:‫م‬
x


2
1
t 
Arctan   Arctan 
- Arctan    Arctant 
t
 t   im 2
2 2
im x Arctan2 x   Arctan x   im
t
t
x  
t 0
t 0
t 0

t 0

t
t
Arctant  - Arctan 
Arctan 
 2   im Arctant  
2
 im
t
t
t
t 0
t 0
t 0

t 0

t
Arctan 
Arctant  1
 2   1 1  1
 im

t
t
2
2 2
t 0
t 0
2
1 
: ‫و‬‫ ا‬‫ ا‬
Arctan x   Arctan  
 x 2
Arctan x 
‫ ا‬ ‫ل‬   ‫ن‬‫ ا‬ ‫ و ا‬im
 1 : ‫ ا‬‫ ا‬‫ و أ‬، 
x
x 0
Arctan x   t

‫ال‬   ‫ل‬  ‫ ا‬ ‫ و ا‬ x  0


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