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Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Série d’exercices
Page facebook: Maths en poche

5 ∀n ∈ N∗ : 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1

Exercice 1. .
Déterminer la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes :

(∃x ∈ Q) : x + 1 < 0
1
2 A2 : (∀x ∈ [0; 8]) : x >
x
3 A3 : (∃α ∈ R) : α2 < α

1.Sc.Maths.Biof
Éléments de logique

6 ∀n ∈ N∗ :

6n5 + 15n4 + 10n3 − n

∈N

30

1 A1 :

4 A4 :

Exercice 6. .
1 Montrer que ∀n ∈ N :

4n − 1 est divisible par 3.

2 Montrer que ∀n ∈ N∗ : 32n − 2n est divisible par

7.

(∀x ∈ N) (∃x ∈ N) : x + y = 7

3 Montrer que ∀n ∈ N∗ : 4n + 6n − 1 est divisible
par 9.

(∀x ∈]1; +∞[) :



x+1− 2
2
0<
<
x−1
4

5 A5 :

4 Montrer que ∀n ∈ N : 10n − 1 est divisible par 9.

ch

5 Montrer que ∀n ∈ N :

Exercice 2. .
Déterminer la négation des propositions suivantes :

A
m
ja
ou

6 Montrer que ∀n ∈ N :

(∃x ∈ R) [x > 2] ou [x2 − 2x + 5 < 0]
1
2 A2 : (∀a ∈]0; 3]) (∃b < 0) : a + b =
ab

2
3 A3 : (∃x ∈ R ) : x < 3 ⇒ x > 9
1 A1 :

4 A4 :

7 Montrer que ∀n ∈ N∗ : 1+2.3n−1 +5n est divisible
par 8.

(∀x ∈ [−5; 5]) : |x + 1| < 4 ⇔ x ∈ [−4; 4]

Exercice 7. .
Le but de cet exercice c’est de Montrer que pour tout
n de N et pour tout x de R∗+ on a : (1 + x)n ≥ 1 + nx

Exercice 3. .
On considère la proposition suivante :

1 Donner l’hypothèse de récurrence.

f.



2n ≥ n
n
3
n
≥1+
2
2

(1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx2

2 Vérifier que :

ro

P : (∀x ∈ R ) :




x+1 2
x+1
+4
−5>0⇒x≤0
x
x

3 Déduire (par récurrence) le résultat souhaité.

P

Exercice 8. .
Soient a et b et c trois réels.

1 Donner la contra-posée de P .
2 Est ce que la proposition P est vraie ? Justifier la
réponse.

1 Montrer que :
si

3 Donner la négation de P .

a+b
2

+

a−b
2

< c, alors |a| < c et |b| < c

2 Montrer que :
Exercice 4. . Soit f la fonction définie par :

f (x) =
Montrer que :

|a + b| = |a| + |b| si et seulement si ab ≥ 0.

x2 − 3
x2

3 Montrer que :

a+b b−a
a+b a−b
.
≥ 0ou
.
≥0
2
2
2
2

+2

2

4 Déduire que :

(∀(x, y) ∈ R+ ) : [x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)]

si |a| < c et |b| < c alors
Exercice 5. .
1 ∀n ∈ N∗ : 12 +22 +. . .+n2 =

a+b
2

+

a−b
2

< c.

n(n + 1)(2n + 1)
6

2 ∀n ∈ N∗ : 13 + 23 + + . . . + n3 =

n2 (n

+ 1)2

4
3 ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)


4 ∀n ∈ N∗ :

1.2 + 2.3 + . . . + n.(n + 1) =

6 octobre 2019

n(n + 1)(n + 2)
3
1/ 2

2018/2019

Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Série d’exercices
Page facebook: Maths en poche

Exercice 9. .
Les questions suivantes sont indépendantes.

1.Sc.Maths.Biof
Éléments de logique

Exercice 13. .

1 Résoudre dans R l’équation :

1 En utilisant le raisonnement par contra-posée montrer que :

x2 − 2(1 + m) + 4 = 0

∀(x, y, z) ∈ R+3 :
r
r
q
x+z
x−z

2
2
x − y 6= z =⇒ x + y 6=
+
2
2

tel que m un paramètre réel.
2 Soit f une fonction numérique définie sur D.
Donner la négation de la proposition suivante :

Exercice 14. .
Soit
 f une application définie sur N par :

(∀ > 0) (∃η > 0) ∀(x; y) ∈ D 2 :
|x − y| ≤ η =⇒ |f (x) − f (y)| ≤

 f (0)

= 1
3f (n) + 2
 f (n + 1) =
f (n) + 3

1

+

1

+ ... +

1.2.3
2.3.4
n(n + 3)

=

n.(n + 1)(n + 2)

2 Montrer que

4(n + 1)(n + 2)

3

4 Soient x et y deux réels.

x2 + y 2 = 1 =⇒ |x − y| ≤ 2

5 Soient x et y deux éléments de R. Montrer que :

x2 + y 2 + xy = 1 =⇒ x3 y + y 3 x ≥ −2
4

f.

6 Montrer que le nombre n(n − 1) est divisible par
5 pour tout n de N.

5

ro

P

ab ≤

1 Montrer que :



1

1

et que a2 + b2 ≥

4
2

1

2


1 2
25
+ b+

.
b
2

a+
a


π
3 Déduire que : ∀x ∈ 0;
:
2

2
2
cos4 (x) + 1
sin4 (x) + 1
25
+

.
2
2
cos (x)
sin (x)
2
2 établir que :

Exercice 11. .
Soit a et b deux réels tels que : a > 1 et b > 1
On pose :

S=

1 Montrer que :

a2
b−1

+

∀n ∈ N∗ :
7 (f (n) − f (n − 1))
f (n+1)−f (n) =
(3 + f (n)) (3 + f (n − 1))

b Déduire que :

∀n ∈ N

f (n + 1) > f (n)

∀n ∈ N f (n) < 2

∀n ∈ N :



3− 2
|f (n) − 2|
|f (n + 1) − 2| =
3 + f (n)

3− 2
2
b Montrer que :
∀n ∈ N :
<
3 + f (n)
3
c Déduire que : ∀n ∈ N :


2
|f (n + 1) − 2| <
f (n) − 2
3
d Déduire que : ∀n ∈ N :
n

2
|f (n) − 2| <
3
a Montrer que :

Exercice 15. .

b2

1 En utilisant le raisonnement par l’absurde montrer
que :

a−1
x
∀x > 1 √
≥2
x−1

∀(a, b) ∈ R +2 ∀n ∈ N∗ :
a
a+n
a
0 < < 1 =⇒
−1 <
−1
b
b+n
b

S≥8

2 Déduire que :

∀n ∈ N : f (n) > 0

a Vérifier que :

4 Montrer que

Exercice 10. .
a et b deux nombres réels strictement positifs :

a+b=1

∀n ∈ N

1 Calculer f (1) et f (2).

A
m
ja
ou

1

ch

3 Montrer par récurrence que pour tout n de N∗ :

Exercice 12. .
1 Montrer par récurrence que :

∀n ∈ N∗
Avec n! =

n
Y

: n! ≥ 2n−1

Exercice 16. .
Soient a et abet c des éléments de R+ .
Montrer que :

(a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc

K = 1.2.3.4 . . . (n − 1).n

k=1

2/ 2


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