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Devoir surveillé
Modules et espaces quadratiques
le lundi 5 novembre 2018, de 10h30 à 12h30

Exercice 1
Construire une matrice de GL3 (Z) dont la première ligne est (14, 6, 21).
On rappelle qu’une matrice A ∈ Gl3 (Z) si, et seulement si det(A) ∈ {±1} (les inversibles de Z pour la multiplication).
Soit A une telle matrice, avec la condition de l’énoncé. Alors A s’écrit :


14 6 21
A=a b c
d e f
La condition det(A) ∈ {±1} s’écrit alors :
14

b
e

a
c
−6
d
f

a
c
+ 21
d
f

b
∈ {±1}
e

Cette équation se réécrit alors :
14(bf − ec) + 6(cd − af ) + 21(ae − bd) ∈ {±1}
On remarque l’identité :
21 − 14 − 6 = 1
Cela équivaut à résoudre le système :

 ec − bf =1
af − cd=1

ae − bd=1
Prenons (b, c) = (2, 3), on a alors (e, f ) = (1, 1) (grâce à la première égalité du système).
Le système à résoudre se réécrit alors :

a − 3d=1
a − 2d=1
Une solution évidente est alors (a, d) = (1, 0).
On en déduit qu’une solution A répondant aux conditions

14
A=1
0

de l’énoncé est alors :

6 21
2 3
1 1

Le calcul (voir ici) nous donne bien que det(A) = 1 ∈ {±1}.

1


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