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Mathématiques
Contrôle no 1

GS Almoustakbal II - Fès1ère BIOF. SM

Prof. A. Lamrani
le Vendredi 18/10/2019

Durée: 1h 50min

Calculatrice non autorisée

La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation.

Éléments de réponses.
Exercice 1

2,5 pts

Questions indépendantes !

1 - Montrer en utilisant un raisonnement par contre exemple que la proposition P est fausse :
P : (∀a ∈ R\{2}) :
Nous cherchons donc un a qui fait de
fausse : cherchons a qui fait

1
a−2

1
a−2

1
a−2

∈ N =⇒ a = 3.

∈ N une proposition vraie et de a = 3 une proposition

= 3 (par exemple) c’est a =

7
3

6= 3.

2 - P et Q étant deux propositions, montrer par deux méthodes que P
logique.
Vous avez la méthode de la table de vérité, et la suivante :
P =⇒ (P =⇒ Q)

=⇒ (P

=⇒ Q) est une loi
1 pt

⇐⇒ P ∨ (P =⇒ Q)
⇐⇒ P ∨ (P ∨ Q)
⇐⇒ (P ∨ P ) ∨ Q toujours vraie.


3 - Étudier la parité de la fonction f définie par : f (x) =
• On a :
Df

0,5 pt

2+x−



tan x

2−x

.

1 pt

= {x ∈ R/2 + x > 0 et 2 − x > 0, x ∈ Dtan et tan x 6= 0}
π
= {x ∈ R/x > −2 et 2 > x et x 6=
+ kπ et x 6= kπ, k ∈ Z}
2
π
+ kπ et x 6= kπ, k ∈ Z}
= {x ∈ [−2,2]/x 6=
2
π
−4 − π
4−π
= {x ∈ [−2,2]/x 6=
+ kπ et x 6= kπ, k ∈ {−1,0}} car :
' −1,1 et
' 0,13.
2


π
π
π π
= [−2, − [∪] − ,0[∪]0, ∪] ,2].
2
2
2 2

Ce domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
• Pour x ∈ Df on a :






2−x− 2+x
2−x− 2+x
2+x− 2−x
f (−x) =
=−
=
= f (x).
tan(−x)
tan x
tan x
f est donc une fonction paire.

Exercice 2

On considère la fonction f définie par :



f est une fonction 1-périodique,
(∀x ∈ [0,1[) : f (x) = x2 − 1.

5
1 - Calculer f (1,5); f ( ) et f (2019,5).
2
f étant 1-périodique, on a : f (1,5) = f (1,5 − 1) = f (0,5) = 0,25 − 1 = −0,75.
5
5
f ( ) = f ( − 1) = f (1,5) = −0,75.
2
2
f (2019,5) = f (2019,5 − 2018) = f (1,5) = −0,75.
2 - Déterminer f (x) pour x ∈ [−1,0[.
Pour x ∈ [−1,0[ on a x + 1 ∈ [0,1[ d’où f (x) = f (x + 1) = (x + 1)2 − 1 = x2 + 2x.
3 - Représenter (Cf ), la courbe de f, sur [−2,2].

Bonne chance

7,5 pts
1,5 pt

1 pt
1,5 pt

1/4

4 - Déterminer f (x) pour x ∈ [2018,2019[.
1 pt
Pour x ∈ [2018,2019[ on a :
x − 2018 ∈ [0,1[ d’où f (x) = f (x − 2018) = (x − 2018)2 − 1 = x2 − 4036.x + 2019 × 2017.
5 - Soit x ∈ R, on pose k = E(x), la partie entière de x.
a) - Montrer que 0 6 x − k < 1.
0,5 pt
Pour x ∈ R on a : E(x) 6 x < E(x)+1 ce qui donne : 0 6 x−E(x) < 1 ou encore 0 6 x−k < 1.
b) - Déduire que f (x) = x2 − 1 + (E(x) − 2x)E(x).
Pour x ∈ R on a :
f (x)

1,5 pt

= f (x − k) = (x − k)2 − 1 = (x − E(x))2 − 1
= x2 − 2xE(x) + E(x) − 1
= x2 − 1 + (E(x) − 2x)E(x).

c) - Calculer f (2019,5) autrement.
On a :
f (2019,5)

Exercice 3

=
=
=
=
=

0,5 pt

(2019,5)2 − 1 + (E(2019,5) − 2(2019,5))E(2019,5)
(2019,5)2 − 1 + (2019 − 4039)2019 = (2019,5)2 − 1 − 2020 × 2019
(2019 + 0,5)2 − 1 − 2020 × 2019 = 20192 + 0,25 + 2019 − 1 − 2020 × 2019
20192 − 2020 × 2019 + 0,25 + 2018 = 2019(2019 − 2020) + 0,25 + 2018
−2019 + 0,25 + 2018 = −1 + 0,25 = −0,75.

On considère les fonctions f et g définie par : f (x) =


x + 2 et g(x) = x2 − x.

1 - Déterminer les domaines de définition de f et de g.
On a : Df = [−2, + ∞[ et Dg = R.

0,5 pt

2 - Donner les tableaux de variation de f et de g.
On a :
x

10 pts

1 pt

−2

+∞

f (x)
0
x

−∞

1
2

g(x)



+∞

1
4



7
1
3 - Vérifier f −
=
et déterminer les plus petits, au sens de l’inclusion, intervalles J et J 0 vérifiant
4
2




7
7
f
−2, −
⊂ J et f
− , +∞
⊂ J 0.
1,5 pt
4
4
r
r
r


7
7
−7 + 8
1
1
On a : f −
= − +2=
=
= .
4
4
4
4
2
ère

1

BIOF. SM

Contrôle no 1

2/4







7
1
1
On a f
−2, −
= 0,
c’est à dire J = 0,
. Et depuis le tableau de variation de f qui n’est
4
2
2




1
7
=
, +∞ c’est à dire
pas majorée (vous pouvez le démontrer par l’absurde) on a f
− , +∞
4
2


1
J0 =
, +∞ .
2

→−

4 - (Cf ) et (Cg ) étant les courbes des fonctions f et g dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, i , j ).
a) - Vérifier que A(2,2) est un point d’intersection de (Cf ) et (Cg ).
On a : f (2) = 4 = g(2), le point A(2,2) est un point d’intersection de (Cf ) et (Cg ).

→−

b) - Tracer les courbes (Cf ) et (Cg ) dans (O, i , j ).
On a :

c) - Résoudre graphiquement dans [0, + ∞[ l’inéquation g(x) > f (x) et déduire que :

0,5 pt
2 pts

1 pt

(∀x > 2) : x4 − 2x3 + x2 − x > 2.
Depuis le graphique, la solution de l’inéquation g(x) > f (x) dans [0, + ∞[ est celle correspondante
au partie pour lesquelles (Cg ) est au dessus de (Cf ) c’est à dire S = [2, + ∞[.
On a pour tout x > 2 :

x + 2 6 x2 − x
g(x) > f (x) ⇐⇒

2
⇐⇒ > x + 2 6 (x2 − x)2
⇐⇒ x + 2 6 x4 − 2x3 + x2
⇐⇒ x4 − 2x3 + x2 − x > 2.
h est une fonction paire,
(∀x ∈ [0, + ∞[) : h(x) = M in(f (x), g(x)).
M in(a,b) est la plus petite des valeurs a et b.
1 pt
Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre des solutions de l’équation : h(x) = m.
La courbe de la fonction h est la suivante :

d) - h étant la fonction définie par

ère

1

BIOF. SM



Contrôle no 1

3/4

Si n est le nombre de solutions de l’équation h(x) = m, n est aussi le nombre de points d’intersection
de (Cf ) avec la droite d’équation y = m. On a donc :

1

0 si m < − ,



4


1

2 si m ∈ {− }∪]0, + ∞[,
n=
4


3 si m = 0,




 4 si m ∈] − 1 , 0[.
4
5 - On considère la fonction l définie par : l(x) = gof (x).
a) - Déterminer Dl , le domaine de définition de la fonction l et donner son expression.
1 pt
On a :
Dl = Dgof ,
= {x ∈ Df /f
√(x) ∈ Dg },
= {x > −2/ x + 2 ∈ R},
= [−2, + ∞[.

Et pour x ∈ Dl on a : l(x) = gof (x) = g(f (x)) = (f (x))2 − f (x) = x + 2 − x + 2.
1
0,5 pt
b) - Montrer que (∀x ∈ Dl ) : l(x) > − .
4
Pour x ∈ Dl on a :



1√
1
1
1
1
1
2
l(x) = x + 2 − x + 2 = x + 2 − 2
x + 2 + − = ( x + 2 − )2 − > − .
2
4 4
2
4
4



7
7
et − , +∞ .
1 pt
c) - Déterminer les variations de l sur chacun des intervalles −2, −
4
4


7
• Sur −2, −
on a :
4


7
.
• f est croissante sur −2, −



4
7
1
• f
−2, −
⊂ 0,
.
4
2
1
• g est décroissante sur 0,
.
2


7
Ainsi l = gof est décroissante sur −2, −
.
4


7
• Sur − , +∞ on a :
4


7
• f est croissante sur − , +∞ .


4

7
1
• f
− , +∞

, +∞ .
4
2

1
• g est croissante sur
, +∞ .
2


7
Ainsi l = gof est croissante sur − , +∞ . En conclusion nous avons le tableau de variation
4
suivant :
x

−2



gof (x)


7
4

+∞

1
4

Fin de la correction !
Si vous avez une remarque, question ou commentaire n’hésiter pas à écrire en commentaire de

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ère

1

BIOF. SM

Contrôle no 1

4/4


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