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Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Série d’exercices
Page facebook: Maths en poche

Exercice 1. .
Soit A et B et C des parties d’un ensemble E.
Montrer que :

1 Déterminer l’ensemble :

E = {y ∈ R/∃x ∈ R : x2 + 2xy + y 4 = 0}
2 En donnant un contre exemple, montrer que
l’implication suivante est fausse :

1 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

C ⊂ A ∪ B ⇒ (C ⊂ A ou C ⊂ B)

2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

3 Soit E et F deux ensembles. Montrer que :

3 (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = A ∩ B ∩ C
(A∩B)

4 CE

P(E) ∪ P(F ) ⊂ P(E ∪ F )

A
B
= CE
∩ CE

4 Soit A et B et C trois parties d’un ensemble
E. Montrer que :

5 (A∪B ⊂ A∪C)et(A∩B ⊂ A∩C) ⇒ B ⊂ C

A∆B = A∆C ⇔ B = C

ou
ch

Exercice 2. .
Déterminer A et B sachant :

Exercice 6. .
Soit a et b deux réels distincts .On pose :

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A ∩ B = {1; 2}
A − B = {5}

ja

E = {x ∈ R : x2 + 2bx + a = 0}
F = {x ∈ R : x2 + 2ax + b = 0}

m

Exercice 3. .
On considère la fonction affine f telle que :

f (x) = −2x + 3

.

1 Soit x un élément de R
Montrer que : x ∈ E ∩ F ⇒ x =

f.
A

On Considère :

1.Sc.Maths.Biof
Ensembles et Applications

1
2

2 Montrer que : E ∩ F 6= Φ ⇒ a + b =

Déterminer :

3 Montrer que : E ∩ F = Φ ⇔ a + b 6=

ro

A = {x ∈ R : −2 < f (x) ≤ 3}
B = {y ∈ R : y = f (x) et x ∈ [−3; 2[}

Exercice 4. .
On pose :

4
−1
4

P

A ∪ B ; A ∩ B ; A − B ; A ∩ N ; B ∩ Z.

−1

A = {(x; y) ∈ R2 : x + y = 0}
B = {(x; y) ∈ R2 : x2 − xy − 2y 2 = 0}
1 Montrer que

A ⊂ B.

2 Déterminer y d R telle que (1; y) ∈ B
Est-ce-que B ⊂ A ?
3 Montrer que B = A ∪ C tel que C une partie
que l’on déterminera.
4 On considère les ensembles :

E = {(x; y) ∈ R2 : y 2 − 2xy + 2x − 2y = 0}
p
F = {(x; y) ∈ R2 : y = x + 1 + x2 + 1}
p
G = {(x; y) ∈ R2 : y = x + 1 − x2 + 1}
a Montrer que
b Déterminer

E =F ∪G
E ∩ A.

Exercice 5. .

26 octobre 2019

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2018/2019

Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Série d’exercices
Page facebook: Maths en poche

Exercice 7. .
Soit f : I 7→ J une application définie par :

1.Sc.Maths.Biof
Ensembles et Applications

2 Déterminer l’image réciproque de l’intervalle
[3; +∞[ par l’application f .
3 Montrer que f est une bijection et déterminer
sa bijection réciproque f −1 (x) pour tout x de
[−1; +∞[ .

f (x) = x2
1 Donner deux ensembles I et J tel que f soit
injective et non surjective.
2 Donner deux ensembles I et J tel que f soit
surjective et non injective.

Exercice 12. .
1 Montrer que :

3 Donner deux ensembles I et J tel que f soit ni
surjective ni injective.



x−2
−1 ≤ √
≤1.
x+2

ou
ch

∀x ∈ [0; +∞[:
2 Soit l’application :

4 Donner deux ensembles I et J tel que f soit
bijective.

f : [0; +∞[ →

[−1; 1]

x−2
x→
7

x+2
Montrer que f est une bijection et déterminer
sa bijection réciproque f −1 .

m

ja

Exercice 8. Déterminer (en justifiant) si l’application f est ; injective, surjective ou bijective dans
chacune des cas suivants :

f : R→ R
x 7→ x + x3
f : [0; 1] → [0; 2]
x 7→
x2

On considère l’application définie par :

f : N2 →
N
(m; n) 7→ 2m (2n + 1)
Montrer que f est injective.

ro

Exercice 9. .
Soit l’application :

Exercice 13. .

f.
A

f : R→ R
x 7→ x2
f : R+ → R+
x 7→
x2

f : R→ R
x 7→ x2 + 4x + 1

P

Exercice 14. .
1 Soit f et g deux applications définies par :

1 Résoudre dans R l’équation :

f (x) = 0

f : N2 →
N
g : N → N2
(n; m) 7→ mn
n 7→ (n; (n + 1)2 )
Est-ce-que f et g injectives ? surjectives ? bijec-

Est ce que f est injective ?
2 Montrer que :

(∀x ∈ R) : f (x) ≥ −3

tives ?

Est que f est surjective ?

2 Soient f et g définies par :
Exercice 10. .
Soit l’application définie par :

f : N→ N
n 7→ 2n

f : R→ R
2x + 9
x 7→
x2 + 1
1 Déterminer :

g: N→ N
n
n 7→ E
2

(E est la partie entière )
Est-ce-que f et g injectives ? surjectives ? bijectives ?

f −1 ({1})

Déterminer f og et gof

2 Est ce que f est bijective ?

Que remarquez-vous ?
Exercice 11. .
On considère l’application :

f : [−1; +∞[7→ [−1; +∞[
x →
7
x2 + 2x

Exercice 15. .
On considère l’application h définie par :

h : R+ → [0; 1[
x
x 7→
x+1

1 Montrer que f est injective.

26 octobre 2019

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2018/2019

Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

Série d’exercices
Page facebook: Maths en poche

1 Montrer que h est une bijection et déterminer
sa réciproque h−1 .
2 Soit n de N − {0; 1}
(n)

h
= hoho . . . oh
Avec h
= h(x)
Déterminer h(2) (x) ; h(3) (x)
On pose :

1 Déterminer :

1.Sc.Maths.Biof
Ensembles et Applications

f (A) ; f (A) ; f (E)

2 Est-ce-que f est une bijection ? (justifier).
Exercice 19. .
déterminer toutes les applications f de R vers R
telles que :

( n fois).

(1)

(∀(x, y) ∈ R2 ) :

f (xy) = f (x)f (y) − x − y

3 Conjecturer l’expression h(n) (x) et démontrer Exercice 20. .
Soit f une application de N∗ vers N∗ telle que :
la conjecture.

∀nN∗ : f (f (n)) = f (n + 1) − f (n)

f :E→F

g:F →G

Montrer que :

ou
ch

Exercice 16. .
Soient f et g deux applications telles que :

ja

1 Montrer que si f et g Sont injectives alors gof
est injective .

∀n ∈ N∗ : f (n) ≥ n

Exercice 21. .
Soit E et F deux ensembles et f une application
de E vers F .

2 Montrer que si f et g Sont surjectives alors
gof est surjective .

m

1 Montrer que pour toute partie A de E on a :

3 Que peut-on déduire pour gof si f et g sont
bijectives ?

f.
A

A ⊂ f −1 (f (A))
2 Montrer que pour toutes parties B de F on a :

4 Montrer que si gof est injective alors f injective.

ro


f f −1 (B) ⊂ B

5 Montrer que si gof est surjective alors f surjective.

P

3 Montrer que f est injective si et seulement si
pour toutes partie A de E on a :

6 Que peut-on déduire dans les cas suivants ?

A = f −1 (f (A))

gof = IdE
gof = IdF
f of = IdE

4 Montrer que f est surjective si et seulement
pour toutes partie B de F on a :


f f −1 (B) = B

Exercice 17. .
Soit f la fonction définie sur R−{0; 1} telle que :

∀x ∈ R
− {−1; 2}


x+1
x−2
f
+ 2f
=x
x−2
x+1
1 Montrer que :

∀t ∈ R − {0; 1}

1
2t + 1
f (t) + 2f ( ) =
t
t−1

2 Déduire l’expression de f (t) en fonction de t .

Andrew John Wiles est un mathématicien britannique, professeur à l’université d’Oxford, en Angleterre. Il est célèbre pour avoir démontré Le grand
théorème de Fermat en 1994. Ce problème avait
résisté à la sagacité des mathématiciens pendant
350 ans.

Exercice 18. .
Soit A une partie d’un ensemble E .
On considère l’application :

f : P(E) → P(E)
X 7→
A∩X
26 octobre 2019

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2018/2019


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