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Devoir Surveillé 1
Premier semestre

Lycée AL IRFAN qualifiant
Prof: Said AMJAOUCH

1.Sc.Maths.Biof
Durée: 2 heures

N.B : La qualité de la rédaction ,la clarté et la précision entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies.
Exercice 1. .
Les questions suivantes sont indépendantes :
1

a Donner la négation de (P) : (∀x > 0) ; (∀y ∈ R) :

−x − y ≤ 0

b Montrer que (P ) est fausse.

(0,75Pt)
(0,75Pt)

(Q) :x 6=

2 Soit x un réel.On considère l’implication suivante :




2
6= 1
3 et x 6= − 3 =⇒ √
1 + x2

a Donner la contra-posée de (Q).

(1Pt)
(1,5Pt)

c Est ce que l’implication réciproque de (Q) est vraie ? que peut-on déduire ?

(1,5Pt)

ch

b Montrer que (Q) est vraie.

3 Soient a et b et c trois éléments de R∗+ .

(a + b + c)2

(0,5Pt)

A
m
ja
ou

a Développer :

2

2

2

a + b + c = 1 =⇒ a + b + c < 1

b Montrer que :

(1Pt)

4 Résoudre dans R l’équation suivante : |x − 1| + |2x − 3| = 6
Exercice 2. .

(1,5Pt)

h : R+ → [0; 1[
x
x 7→
x+1

On considère l’application h définie par :

1 Montrer que h est une bijection et déterminer sa réciproque h−1 .

f.

ro

2 Soit n de N − {0; 1}

h(n) = hoho . . . oh
Déterminer h(2) (x)eth(3) (x)

( n fois). Avec h(1) = h(x)
(1,5Pt)

P

On pose :

(1,5Pt)

3 Conjecturer l’expression h(n) (x) et démontrer la conjecture.

(2Pt)

Exercice 3. . Soit E l’ensemble défini par :


E=
1 Montrer que

∗2

(x; y) ∈ Z

:

1
x

+

1
y

=

1



5

(x; y) ∈ E ⇐⇒ (x − 5)(y − 5) = 25

2 Exprimer E en extension.

(1Pt)
(1Pt)

Exercice 4. .
Soit a et b deux réels distincts .On pose :

E = {x ∈ R : x2 + 2bx + a = 0}

et

F = {x ∈ R : x2 + 2ax + b = 0}.

1 Soit x un élément de R
Montrer que : x ∈ E ∩ F ⇒ x =

1

(1Pt)

2

2 Montrer que : E ∩ F 6= Φ ⇒ a + b =

−1
4
(1Pt)

3 Montrer que : E ∩ F = Φ ⇔ a + b 6=

−1

(1Pt)

4
Bonne chance

30 octobre 2019

1/ 1

2018/2019


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