دراسة دالة مع التصحيح (1) .pdf



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‫د‪C‬ا‪ TF‬اﻟ‪d‬وال‬
‫‪s:Ð‬ﻌ‪ dy‬أﻣﺠ‪A‬و‪M‬‬
‫ﻣ‪A‬دة‪ :‬اﻟ‪r‬ﻳ‪‹AyRA‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬

‫اﻟ‪d‬و‪C‬ة اﻷوﻟ‪Y‬‬

‫اﻟ‪Tns‬‬

‫𝑒‪𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ‬‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 ‪2‬‬
‫اﻟ‪Cd‬ا‪2019 − 2020 :TyF‬‬

‫‪1:‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑓 (𝑥) = (4𝑥 − 1) 𝑥 − 4𝑥2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 4𝑥 𝑥 −‬‬
‫‪4‬‬

‫ﻧﻌ‪ 𝑓 rbt‬و 𝑔 اﻟ‪d‬اﻟ‪yt‬ﻦ اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪yt‬ﻦ ﻋ‪ R+ Yl‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ‪:‬‬

‫‪ (1‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( ‪› ℎ′‬ﻢ أﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. ℎ T‬‬
‫‪(∀𝑥 ∈ R+) : ℎ(𝑥) ≤ 0‬‬
‫ب‪ -‬ا‪ –tntF‬أن‪:‬‬
‫‪ (2‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬ا‪AqtJ‬ق 𝑓 ﻓﻲ‪ 𝑥0 = 0 :‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ ‪ ,‬وأﻋ‪ X‬ﺗﺄوﻳﻼ ﻫ‪ AyFdn‬ﻟ‪ytnl‬ﺠ‪ T‬اﻟ‪}wtm‬ﻞ إﻟ‪. Ahy‬‬
‫∞‪› , 𝑥→+‬ﻢ ا‪ –tntF‬اﻟ‪rf‬ع اﻟﻼﻧ‪Ah‬ﺋﻲ ﺑﺠ‪w‬ا‪. +∞ C‬‬
‫‪ (3‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( 𝑓 ‪lim‬‬
‫‪ (4‬ﺑ‪y‬ﻦ أن‪:‬‬

‫)𝑥(‪2ℎ‬‬
‫𝑥‬

‫√ = )𝑥( ‪ (∀𝑥 ∈ R* +) ; 𝑓 ′‬إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬
‫︂[‬

‫‪ (5‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪ 𝑓 (𝑥) = 0 :T‬ﺗ‪bq‬ﻞ ﺣﻼ وﺣ‪dy‬ا 𝛼 ﻳ‪mtn‬ﻲ ﻟ‪ml‬ﺠ‪A‬ل‬

‫︂]‬

‫‪1 3‬‬
‫; ‪.‬‬
‫‪2 4‬‬

‫𝐴‬
‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬
‫𝑢𝑜‬

‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪ (6‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑓 ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑓 −1 Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬ﻣﺠ‪A‬ل ﻳ‪bn‬ﻐﻲ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه ‪.‬‬
‫‪ (7‬أﻧ‪K‬ﺊ ﻓﻲ ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ اﻟ‪tm‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬واﻟ‪\nmm‬ﻢ ﻣ‪n‬ﺤ‪yn‬ﻲ اﻟ‪d‬اﻟ‪yt‬ﻦ 𝑓 و ‪.𝑓 −1‬‬
‫︂)‬

‫ﻧﻌ‪ 2𝑐𝑚 rbt‬ﻓﻲ اﻟ‪w‬ﺣ‪d‬ة وﻧ‪bq‬ﻞ أن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻧ‪ TWq‬اﻧﻌ‪AW‬ف وﺣ‪dy‬ة‬
‫واﻟ‪l‬ﻪ وﻟﻲ اﻟ‪wt‬ﻓ‪y‬ﻖ‬
‫⌣‬

‫‪1 1‬‬
‫;‬
‫‪4 4‬‬

‫︂(‬

‫‪.‬‬

‫‪𝑓.‬‬
‫𝑜𝑟‬
‫𝑃‬

2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyF‫ا‬Cd‫اﻟ‬

‫وال‬d‫ اﻟ‬TF‫ا‬C‫د‬
Tns‫اﻟ‬

M‫و‬A‫ أﻣﺠ‬dy‫ﻌ‬s:Ð
‹AyRA‫ﻳ‬r‫ اﻟ‬:‫دة‬A‫ﻣ‬

Y‫ة اﻷوﻟ‬C‫و‬d‫اﻟ‬
𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒

‫ح‬rtq‫ﺢ ﻣ‬y‫ﺤ‬O‫ﺗ‬

1
𝑓 (𝑥) = (4𝑥 − 1) 𝑥 − 4𝑥2 +
2

1
ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 4𝑥 𝑥 −
4

:‫ﻲ‬l‫ ﻳ‬Am‫ ﺑ‬R+ Yl‫ﻦ ﻋ‬yt‫ﻓ‬r‫ﻦ ﻣﻌ‬yt‫ داﻟ‬ℎ ‫ 𝑓 و‬rbt‫ﻧﻌ‬

.ℎ T‫اﻟ‬d‫ا‹ اﻟ‬ry‫ول ﺗﻐ‬d‫ ﺟ‬X‫ ›ﻢ أﻋ‬ℎ′ (𝑥) ‫ﺐ‬s‫ أﺣ‬-‫( أ‬1
(︂

3𝑥 − 4𝑥 𝑥 −

1

𝐴
𝑚
𝑗𝑎
𝑜𝑢

𝑐ℎ

ℎ (𝑥) =



)︂′





1
= 3 − (4 𝑥 + 4𝑥. √ ) = 3 − 4 𝑥 − 2 𝑥 = 3 − 6 𝑥
4
2 𝑥
: ℎ ‹‫ا‬ry‫ول ﺗﻐ‬d‫ﺟ‬


1
1
ℎ′ (𝑥) = 0 ⇐⇒ 3 − 6 𝑥 = 0 ⇐⇒ 𝑥 = ⇐⇒ 𝑥 =
2
4

1
lim ℎ(𝑥) = lim 3𝑥 − 4𝑥 𝑥 −
𝑥→+∞
𝑥→+∞
1
4
𝑥
+∞
(︀
0
√ )︀
1
4
= lim 𝑥 3 − 4 𝑥 − = −∞
𝑥→+∞
4
+

ℎ′ (𝑥)
0






1
ℎ( ) = 0
4

1

−∞

4

(∀𝑥 ∈ R+) : ℎ(𝑥) ≤ 0


(4𝑥 − 1) 𝑥 − 4𝑥2 +

= lim
𝑥→0+
𝑥−0
)︁
(︁ √
𝑥 (4 𝑥 − √1𝑥 ) − 4𝑥

𝑃

lim

𝑥→0+

𝑓 (𝑥) − 𝑓 (0)

𝑟𝑜

𝑓.

:‫– أن‬tntF‫ ا‬-‫ب‬
∀𝑥 ∈ [0; +∞[: ℎ(𝑥) ≤ 0
: ‫ﻟﻲ‬At‫ﻟ‬A‫[ وﺑ‬0; +∞[ ‫ل‬A‫ﺠ‬m‫ اﻟ‬Yl‫ ﻋ‬ℎ T‫اﻟ‬dl‫ ﻟ‬TqlW‫ ﻣ‬T‫ﻳ‬wO‫ ﻗ‬Tmy‫ة ﻋﻦ ﻗ‬CAb‫ ﻋ‬0
. Ahy‫}ﻞ إﻟ‬wtm‫ اﻟ‬T‫ﺠ‬ytnl‫ ﻟ‬AyFdn‫ ﺗﺄوﻳﻼ ﻫ‬X‫ وأﻋ‬, ‫ﻦ‬ymy‫ اﻟ‬Yl‫𝑥 ﻋ‬0 = 0 :‫ق 𝑓 ﻓﻲ‬AqtJ‫ ا‬Tyl‫ﺑ‬A‫ ﻗ‬xC‫( أد‬2
: ‫ﻦ‬ymy‫ اﻟ‬Th‫ 𝑓 ﻓﻲ ﻣﻦ ﺟ‬T‫اﻟ‬d‫ق اﻟ‬AqtJ‫ ا‬Tyl‫ﺑ‬A‫ ﻗ‬xCdn‫ﻟ‬
𝑥

1
2



1
2

= lim

𝑥→0+


(4𝑥 − 1) 𝑥 − 4𝑥2
𝑥

(︂
)︂

1
1
= lim
= lim (4 𝑥− √ )−4𝑥 = −∞
lim − √ = −∞
𝑥→0+
𝑥→0+
𝑥→0+
𝑥
𝑥
𝑥
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (0)
‫ و‬.rfO‫ﻦ ﻓﻲ اﻟ‬ymy‫ اﻟ‬Yl‫ق ﻋ‬AqtJ‫ ﻟﻺ‬Tl‫ﺑ‬A‫ ﻗ‬ry‫ 𝑓 ﻏ‬T‫اﻟ‬d‫ ﻓﺈن اﻟ‬lim+
= −∞ ‫ أن‬Am‫ﺑ‬
𝑥→0
𝑥−0
.0 ‫ل‬wO‫ا‹ اﻷﻓ‬Ð TWqn‫ اﻟ‬dn‫ﻞ ﻋ‬fF‫ اﻷ‬w‫ﺟﻪ ﻧﺤ‬w‫دي ﻣ‬wm‫ ﻋ‬xAm‫ﻒ ﻣ‬O‫ﻞ ﻧ‬bq‫ 𝑓 ﻳ‬T‫اﻟ‬d‫ اﻟ‬Yn‫ﺤ‬n‫ﻣ‬

. +∞ C‫ا‬w‫ﺋﻲ ﺑﺠ‬Ah‫ع اﻟﻼﻧ‬rf‫– اﻟ‬tntF‫ ›ﻢ ا‬, 𝑥→+∞
lim 𝑓 (𝑥) ‫ﺐ‬s‫( أﺣ‬3

(︃
)︃


(4𝑥

1)
1
1
𝑥
lim 𝑓 (𝑥) = lim (4𝑥 − 1) 𝑥 − 4𝑥2 + = lim 𝑥2

4
+
𝑥→+∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
2
𝑥2
2
(︂
)︂
(︂
)︂
4𝑥 − 1
1
4
1
1
= lim 𝑥2
√ − 4 + = lim 𝑥2 √ − √ − 4 + = −∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
𝑥 𝑥
2
𝑥
𝑥 𝑥
2
𝑓 (𝑥)
. 𝑥→+∞
lim
‫ﺐ‬s‫ ﻧﺤ‬+∞ C‫ا‬w‫ﺋﻲ ﺑﺠ‬Ah‫ع اﻟﻼﻧ‬rf‫— اﻟ‬AtntF‫ﻻ‬
𝑥
(︁
)︁
1
(︂
)︂
𝑥2 √4𝑥 − 𝑥√
− 4 + 12
𝑓 (𝑥)
4
1
1
𝑥
lim
= lim
= lim 𝑥 √ − √ − 4 +
= −∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 𝑥
2𝑥

‫)𝑥( 𝑓‬

‫ﺑ‪ Am‬أن ∞‪= −‬‬
‫∞‪ 𝑥→+‬ﻓﺈن ) 𝑓𝐶( ﻳ‪bq‬ﻞ ﻓ‪r‬ﻋ‪lJ A‬ﺠ‪ Aym‬ﺑ‪A‬ﺗﺠ‪A‬ه ﻣﺤ‪ Cw‬اﻷ‪C‬اﺗ‪y‬ﺐ ﺑﺠ‪w‬ا‪ +∞ C‬ﻣ‪w‬ﺟﻪ‬
‫‪lim‬‬
‫𝑥‬
‫∞‪. )𝑥→+‬‬
‫ﻧﺤ‪ w‬اﻷ‪fF‬ﻞ ( ﻷن ‪lim 𝑓 (𝑥) = −∞ :‬‬
‫)𝑥(‪2ℎ‬‬

‫‪(∀𝑥 ∈ R* +) :‬‬

‫√ = )𝑥( ‪ (∀𝑥 ∈ R* +) ; 𝑓 ′‬إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫‪ (4‬ﺑ‪y‬ﻦ أن‪:‬‬
‫𝑥‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‪𝑓 ′ (𝑥) = (4𝑥−1)′ . 𝑥+(4𝑥−1).( 𝑥)′ −8𝑥 = 4. 𝑥+(4𝑥−1). √ −8𝑥 = 4 𝑥+(4𝑥−1). √2 −8‬‬
‫𝑥 ‪2‬‬
‫𝑥‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥 𝑥‪4𝑥 + 2𝑥 − 2 − 8‬‬
‫‪6𝑥 − 8𝑥 𝑥 − 2‬‬
‫) ‪2(3𝑥 − 4𝑥 𝑥 − 4‬‬
‫)𝑥(‪2ℎ‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫√ =‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫إﻧ‪AK‬ء ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪: 𝑓 T‬‬
‫)𝑥(‪2ℎ‬‬
‫√ = )𝑥( ‪(∀𝑥 ∈]0; +∞[) ; 𝑓 ′‬‬
‫وﺟ‪d‬ﻧ‪ A‬أن ‪:‬‬
‫𝑥‬
‫√‬
‫ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ [∞‪ ]0; +‬ﻟ‪d‬ﻳ‪ 𝑥 > 0 An‬إ‪Ð‬ن إ‪CAJ‬ة )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻫﻲ إ‪CAJ‬ة )𝑥(‪( ℎ‬و ﺣ‪s‬ﺐ اﻟ‪s‬ﺆال ‪-1‬ﺐ‬
‫‪ . ) ∀𝑥 ∈]0; +∞[: ℎ(𝑥) < 0‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪: 𝑓 T‬‬
‫∞‪+‬‬

‫𝑥‬

‫‪0‬‬

‫)𝑥( ‪𝑓 ′‬‬

‫‪−‬‬

‫𝑓‬

‫‪2‬‬

‫𝐴‬
‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬
‫𝑢𝑜‬

‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪1‬‬

‫∞‪−‬‬

‫︂[‬

‫‪ (5‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪ 𝑓 (𝑥) = 0 :T‬ﺗ‪bq‬ﻞ ﺣﻼ وﺣ‪dy‬ا 𝛼 ﻳ‪mtn‬ﻲ ﻟ‪ml‬ﺠ‪A‬ل‬

‫︂]‬

‫‪1 3‬‬
‫; ‪.‬‬
‫‪2 4‬‬

‫𝑜𝑟‬

‫‪𝑓.‬‬

‫︂]‬
‫︂[‬
‫√‬
‫‪1 3‬‬
‫⋆ اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻣ‪ TlOt‬ﻋ‪ R+ Yl‬وﺑ‪A‬ﻟﺨ‪ QwO‬ﻋ‪ ; Yl‬ﻻن 𝑥 )‪ 𝑥 ↦→ (4𝑥 − 1‬ﺟ‪d‬اء داﻟ‪yt‬ﻦ ﻣ‪ytlOt‬ﻦ‬
‫‪2 4‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻋ‪ R+ Yl‬و ‪ 𝑥 ↦→ −4𝑥2 +‬داﻟ‪ T‬ﺣ‪d‬ودﻳ‪.T‬‬
‫‪2‬‬
‫︂[‬
‫︂]‬
‫︂[‬
‫︂]‬
‫‪1 3‬‬
‫‪1‬‬
‫⋆ اﻟ‪d‬اﻟ‪C 𝑓 T‬ﺗ‪ Tby‬ﻗ‪W‬ﻌ‪( A‬ﺗ‪z‬اﻳ‪d‬ﻳ‪ T‬ﻗ‪W‬ﻌ‪ )A‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل ∞‪ ; +‬و ﺑ‪A‬ﻟﺨ‪ QwO‬ﻋ‪. ; Yl‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4‬‬
‫︂√‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑓( ) = 3 − < 0‬‬
‫‪,‬‬
‫= ) (𝑓‬
‫⋆‪− >0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫︂]‬
‫︂[‬
‫‪1 3‬‬
‫; ﺣ‪s‬ﺐ ﻣ‪rb‬ﻫ‪ Tn‬اﻟ‪yq‬ﻢ‬
‫و ﺑ‪A‬ﻟ‪At‬ﻟﻲ ﻓﺈن اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪ 𝑓 (𝑥) = 0 T‬ﺗ‪bq‬ﻞ ﺣﻼ وﺣ‪dy‬ا 𝛼 ﻓﻲ اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬
‫‪2 4‬‬

‫𝑃‬

‫اﻟ‪.TyWyFw‬‬
‫‪ (6‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑓 ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑓 −1 Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬ﻣﺠ‪A‬ل ﻳ‪bn‬ﻐﻲ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه ‪.‬‬
‫اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻣ‪ TlOt‬و ﺗ‪An‬ﻗ‪ TyO‬ﻗ‪W‬ﻌ‪ A‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل [∞‪ [0; +‬وﺑ‪A‬ﻟ‪At‬ﻟﻲ ﻓﺈﻧ‪ Ah‬ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑓 −1 Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪T‬‬
‫‪1‬‬

‫∞‪. 𝑓 ([0; +∞[) =] 𝑥→+‬‬
‫ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل ] ;∞ ‪lim 𝑓 (𝑥); 𝑓 (0)] =] −‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (7‬أﻧ‪K‬ﺊ ﻓﻲ ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ اﻟ‪tm‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬واﻟ‪\nmm‬ﻢ ﻣ‪n‬ﺤ‪yn‬ﻲ اﻟ‪d‬اﻟ‪yt‬ﻦ 𝑓 و‬

‫‪−1‬‬

‫𝑓‪.‬‬
‫‪1 1‬‬

‫ﻧﻌ‪ 2𝑐𝑚 rbt‬ﻓﻲ اﻟ‪w‬ﺣ‪d‬ة وﻧ‪bq‬ﻞ أن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻧ‪ TWq‬اﻧﻌ‪AW‬ف وﺣ‪dy‬ة ) ; ( ‪.‬‬
‫‪4 4‬‬

‫) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 −1 T‬ﻣ‪›Amt‬ﻞ ﺑ‪A‬ﻟ‪ Tbsn‬ﻟ‪Onml‬ﻒ اﻷول ﻟ‪ml‬ﻌ‪l‬ﻢ ( أي اﻟ‪yqtsm‬ﻢ اﻟ@ي ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ‬
‫𝑥 = 𝑦)‬
‫) 𝑓𝐶( اﻟ‪nm‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪“mm‬ﻞ ﺑ‪A‬ﻟ‪wl‬ن اﻷﺣ‪.rm‬‬
‫‪−1‬‬

‫‪−1‬‬

4

𝐷
𝐴′

2
𝐵′
𝐵

−6

−4

−2

0

2

𝐴

−2

−4

𝑓.

𝐴
𝑚
𝑗𝑎
𝑜𝑢

−6

𝑐ℎ

𝐶

𝑟𝑜

−8

𝑃

−10

4

6

8


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