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2 PC et SVT
Étude des fonctions

Exercice corrigé
Page facebook: Maths n poche

Prof: Said AMJAOUCH

EXERCICE
r
Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par :

f (x) = −x +

x
x−1

(Cf ) la courbe de f dans un repère orthonormé.
1 Déterminer Df le domaine de définition de f.

po
ch
e

2 Calculer la limite de f à droite en 1 puis interpréter le résultat géométriquement .
3 Calculer les deux limites lim f (x) et lim f (x) .
x→+∞

x→−∞

4 Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et donner une interprétation géométrique.
a Calculer f 0 (x) la dérivée de f.

(∀x ∈ Df − {0}) f 0 (x) < 0

at
hs

b Vérifier que :

n

5

c Dresser le tableau de variations de f .
a Montrer que (Cf ) admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ et −∞

M

6

d’équation y = −x + 1.
b Dresser (Cf ). (On donne f (1, 6 ≈ 0))

10 novembre 2019

1/ 5

2019/2020

2 PC et SVT
Étude des fonctions

Exercice corrigé
Page facebook: Maths n poche

Prof: Said AMJAOUCH

Correction proposée
r
f (x) = −x +

Soit f la fonction numérique définie par :

x
x−1

(Cf ) la courbe de f dans un repère orthonormé.
1 Déterminons le domaine de définition de f. .

x

Tableau de signe de

x−1

−∞

:

1

x



0

+

x−1





n

0

po
ch
e

Df = {x ∈ R/

at
hs

x

+

x−1

x−1

≥ 0 et x − 1 6= 0}

+∞

+

+

0



+

Df =] − ∞; 0]∪]1; +∞[

M

D’où :

0

x

2 Calculons la limite de f à droite en 1 et interprétons le résultat géométriquement.

r
lim f (x) = lim −x +

x→1+

x
x−1

x→1+

= +∞

(car lim

x→1+

x
x−1

= +∞)

Puisque lim f (x) = +∞ donc (Cf ) possède une asymptote

Interprétation géométrique :

x→1+

verticale d’équation x = 1 .
3 Calculons les deux limites lim f (x) et lim f (x) .
x→+∞

r
lim f (x) = lim −x +

x→−∞

x−1

x→−∞

r
lim f (x) = lim −x +

x→+∞

x→+∞

10 novembre 2019

x
x
x−1

x→−∞

s
= lim −x +

1−

x→−∞

s
= lim −x +
x→+∞

2/ 5

1
1
x

1
1−

1
x

= +∞
= −∞

2019/2020

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Étude des fonctions

Exercice corrigé
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Prof: Said AMJAOUCH

4 Étudions la dérivabilité de f à gauche au en 0 puis interprétons le résultat géométriquement.

lim

f (x) − f (0)
x − 0q

x→0−

= lim −1 +

−x +
= lim

x
x−1

x
r
= lim −1 −

−0

−x +
= lim

x→0−

x
x−1



− x2

x→0−

q

x→0−

q

x
x−1

− 1)

x

x→0−

s

x

−x

= lim

x

x→0−

x2 (x

q

= lim −1 −
x→0−

1
x2

−x

+

x
x−1

x

= −∞
( lim x2 − x = 0+ )
x→0−

(Remarque : si x < 0 alors x = −



x2 )

po
ch
e

Par suite f n’est pas dérivable à gauche en 0 et (Cf ) admet une demi-tangente verticale dirigée
vers le haut.
a Calculons f 0 (x).

n

5

Soit x un élément de ] − ∞; 0[∪]1; +∞[:



x
x−1

0

−1
(x−1)2

−1
q
f (x) = −1 + q
= −1 + q
= −1 +
.
x
x
x
2 x−1
2 x−1
2(x − 1)2 . x−1

at
hs

0

M

2(x − 1)2 .

q

x
x−1

f 0 (x) < 0

(∀x ∈ Df − {0}) :

b Vérifions que :

−1

f 0 (x) = −1 +

∀x ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[ :

Donc :

f 0 (x) = −1 +

Pour tout x de ] − ∞; 0[∪]1; +∞[ On a :

−1
2(x − 1)2 .

2

2(x − 1) .

r

x
x−1

−1

> 0 alors

2(x − 1)2 .

q

x
x−1

q

x
x−1

< 0 d’autre part −1 < 0 finalement :
−1

f 0 (x) = −1 +

2(x − 1)2 .

q

x
x−1

<0

c Tableau de variations de .f
Puisque :

(∀x ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[) :

f 0 (x) < 0 alors f est strictement décroissante

sur ] − ∞; 0[ et ]1; +∞[ .

x

−∞

0

+∞

+∞

1
+∞

V ar.
de f
0

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−∞

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6

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a Montrons que f admet une asymptote oblique d’équation y = −x + 1 au voisinage de +∞ et

−∞.
On a montrer précédemment que lim f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞ .
x→+∞

x→−∞

lim f (x) − (−x + 1) = 0


f (x)

 lim
= −1
x→∞
x


 lim f (x) − (−x) = 1

Il suffit de montrer que :

x→∞

Ou bien (2 ème méthode) :

po
ch
e

x→∞

M

Au voisinage de +∞ :

r

? lim f (x) − (−x + 1) = lim −x +
x→+∞
x→+∞
s
1
−1=1−1=0
= lim
x→+∞
1 − x1

x

+ x − 1 = lim

x→+∞

x
x−1

−1

n

x−1

r

at
hs

Donc

(Cf ) admet une asymptote oblique au voisinage de +∞ d’équation y = −x + 1.
Au voisinage de −∞ : (On propose la 2 ème méthode )

? lim

x→−∞

M

M

f (x)
x

−x +

= lim

x→−∞

q

x

x
x−1

q
= lim −1 +
x→−∞

x
x−1



− x2

= lim −1 −
x→−∞

= lim −1 −

x2 (x − 1)
s
1

x→−∞

r
? lim f (x) − (−1)x = lim −x +
x→−∞

x→−∞

x
x−1

r
+ x = lim

x→−∞

x
x−1

x

r

= lim

x(x − 1)
s
1

x→−∞

1−

1
x

= −1
=1

Donc (Cf ) admet une asymptote oblique au voisinage de −∞ d’équation y = −x + 1.

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2019/2020

Prof: Said AMJAOUCH

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Étude des fonctions

M

at
hs

n

po
ch
e

b Construction de (Cf ). On donne f (1, 6) ≈ 0))

10 novembre 2019

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2019/2020


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