دراسة و تمثيل الدوال .pdf



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‫‪Page fb : maths 𝜖n poche‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪w‬ﻳ‪ T‬اﻟﻌ‪r‬ﻓ‪A‬ن اﻟ‪t‬ﺄﻫ‪Tyly‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝐵‪2‬‬

‫ﺗ‪CAm‬ﻳﻦ ﻓﻲ د‪C‬ا‪ TF‬و ﺗ‪y“m‬ﻞ اﻟ‪d‬وال‬

‫‪ (4‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪nm‬ﺤ‪ (𝐶𝑓 ) Yn‬ﻳ‪Wq‬ﻊ ﻣﺤ‪ Cw‬اﻷﻓ‪y}A‬ﻞ ﻓﻲ‬

‫‪1:‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻧ‪ TWq‬أﻓ‪wO‬ﻟ‪ 𝛼 Ah‬ﺑﺤ‪: ”y‬‬
‫‪2‬‬
‫︀√‬
‫‪1‬‬
‫‪ (5‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪lim (𝑥 − 𝑥2 − 𝑥) = :‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ب‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪yqtsm‬ﻢ اﻟ@ي ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ‪𝑦 = −𝑥+ :‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻣ‪CAq‬ب ﻣ‪A‬ﺋﻞ ﻟ‪nml‬ﺤ‪ 𝐶𝑓 Yn‬ﺑﺠ‪w‬ا‪. + ∞ C‬‬

‫‪ (1‬ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑔 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ R Yl‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬
‫‪𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 3‬‬

‫أ‪ -‬أد‪ xC‬ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫𝑔‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪ 𝑔(𝑥) = 0 T‬ﺗ‪bq‬ﻞ ﻓﻲ ‪ R‬ﺣﻼ‬
‫وﺣ‪dy‬ا 𝛼 ›ﻢ ﺣ‪d‬د ﻗ‪y‬ﻢ ﻣ‪rq‬ﺑ‪ T‬ﻟ‪l‬ﻌ‪d‬د 𝛼 ﺑ‪A‬ﻟ‪d‬ﻗ‪T‬‬

‫‪ (6‬أﻧ‪YK‬ء اﻟ‪nm‬ﺤ‪Yn‬‬

‫<𝛼<‪1‬‬

‫) 𝑓𝐶(‪.‬‬

‫‪.0, 125‬‬

‫‪ (7‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑓 −1 Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪T‬‬
‫ﻋ‪ Yl‬ﻣﺠ‪A‬ل 𝐽 ﻳﺠﺐ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه‪.‬‬

‫—‪ -‬ﺣ‪d‬د إ‪CAJ‬ة )𝑥(𝑔 ‪.‬‬

‫𝑢𝑜‬
‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪ (2‬ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑓 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬
‫‪2𝑥3 + 3‬‬

‫[∞‪ ]1; +‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬

‫‪𝑥2 − 1‬‬

‫ب‪ -‬أﻧ‪YK‬ء ) ‪ (𝐶 ′‬ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪ Tysk‬ل ‪ 𝑓 −1‬ﻓﻲ‬
‫‪−‬‬
‫‪→ −‬‬
‫→‬
‫اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ ) 𝑗 ; 𝑖 ;𝑂( ‪.‬‬

‫= )𝑥( 𝑓‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن إ‪CAJ‬ة )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻫﻲ إ‪CAJ‬ة )𝑥(𝑔 ﻋ‪Yl‬‬
‫اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل [∞‪.]1; +‬‬

‫𝛼‪𝑓 (𝛼) = 3‬‬

‫—‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫‪2𝑥 + 3‬‬
‫‪𝑥2 − 1‬‬

‫[∞‪]1; +‬‬

‫‪:‬‬

‫ب‪ -‬أد‪ xC‬اﻟ‪rf‬ع اﻻﻧ‪Ah‬ﺋﻲ ل ) 𝑓𝐶( ﺑﺠ‪w‬ا‪C‬‬

‫∞‪.+‬‬

‫إ‪Ð‬ا ﻛ‪A‬ن ‪ 𝑥 ≥ 0‬ﻓﺈن ‪. 𝑓 (𝑥) < 0‬‬

‫‪.‬‬
‫‪2:‬‬

‫‪:‬‬

‫𝑥‬

‫‪ (4‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ 𝑓𝐷 ‪:‬‬

‫= )𝑥( 𝑓‬
‫‪−‬‬
‫‪→ −‬‬
‫→‬
‫) 𝑗 ; 𝑖 ;𝑂(‬

‫)𝑥( 𝑓‪−‬‬
‫√ = )𝑥( ‪𝑓 ′‬‬
‫𝑥‪𝑥2 − 2‬‬

‫‪.‬‬

‫𝑃‬

‫) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪An‬ﻫ‪ A‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‬

‫‪ (3‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬ا‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ‪ 0‬ﻣﻦ ﺟ‪ Th‬اﻟ‪CAsy‬‬
‫و ﻓﻲ ‪ 2‬ﻣﻦ ﺟ‪ Th‬اﻟ‪ymy‬ﻦ‪ .‬إﻋ‪ X‬ﺗﺄوﻳﻼ ﻫ‪AyFdn‬‬
‫ﻟ‪Atnl‬ﺋ– اﻟ‪m‬ﺤ‪O‬ﻞ ﻋ‪.Ahyl‬‬

‫𝑜𝑟‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑓 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ [1; +∞[ Yl‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ‬
‫︀√‬
‫𝑥 ‪𝑥2 −‬‬

‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د 𝑓𝐷 ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ 𝑓 ‪.‬‬

‫إ‪Ð‬ا ﻛ‪A‬ن ‪ 𝑥 ≤ 0‬ﻓﺈن ‪. 𝑓 (𝑥) > 0‬‬

‫—‪ -‬أ‪FC‬ﻢ ) 𝑓𝐶( ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‬

‫‪−‬‬

‫) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ 𝑓 Yn‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬

‫‪ (2‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬

‫‪𝑓 (𝑥) = 2𝑥 +‬‬

‫‪1‬‬

‫︀√‬
‫‪𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥 + 1.‬‬

‫إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫‪ (1‬أﺣ‪s‬ﺐ ﻧ‪Ah‬ﻳ‪ 𝑓 T‬ﺑﺠ‪w‬ا‪. +∞ C‬‬
‫‪ (2‬أ‪-‬‬

‫‪ (5‬أد‪ xC‬اﻟ‪rf‬وع اﻟﻼﻧ‪Ah‬ﺋ‪ Ty‬ل ) 𝑓𝐶( ‪.‬‬

‫‪(∀𝑥 > 1) :‬‬
‫ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫︂√‬
‫)‪𝑓 (𝑥) − 𝑓 (1‬‬
‫‪−1‬‬
‫𝑥‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫‪ (6‬أﻧ‪K‬ﺊ اﻟ‪nm‬ﺤ‪. (𝐶𝑓 ) Yn‬‬

‫ب‪ -‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬إ‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ‪ 1‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ‬
‫›ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬

‫‪ (7‬ﻟ‪ky‬ﻦ 𝑔 ﻗ‪ CwO‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫‪2𝑥 − 1‬‬
‫√ ‪−‬‬
‫𝑥 ‪2 𝑥2 −‬‬

‫‪−1‬‬
‫‪𝑥2‬‬

‫= )𝑥( ‪(∀𝑥 > 1) : 𝑓 ′‬‬

‫𝑓 ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل [∞‪.𝐼 = [2; +‬‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑔 ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑔−1 Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪Yl‬‬
‫ﻣﺠ‪A‬ل 𝐽 ﻳ‪t‬ﻢ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه ‪.‬‬
‫ب‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ ﻓﻲ ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ اﻟ‪As‬ﺑﻖ ) ‪ (𝐶𝑔−1‬ﻣ‪n‬ﺤ‪Yn‬‬
‫اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑔 T‬‬

‫ب‪ -‬إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬
‫‪Prof :Said AMJAOUCH‬‬

‫= )𝑥( 𝑓‬

‫‪𝑓.‬‬
‫𝐴‬
‫𝑚‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﺑﺤ‪: ”y‬‬

‫𝑎𝑗‬

‫ب‪ -‬إ‪ –tntF‬ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫‪3:‬‬

‫اﻟ‪fO‬ﺤ‪ 1 T‬ﻣﻦ‬

‫‪3‬‬

‫‪2020/2019‬‬

‫‪Page fb : maths 𝜖n poche‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪w‬ﻳ‪ T‬اﻟﻌ‪r‬ﻓ‪A‬ن اﻟ‪t‬ﺄﻫ‪Tyly‬‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝐵‪2‬‬

‫ﺗ‪CAm‬ﻳﻦ ﻓﻲ د‪C‬ا‪ TF‬و ﺗ‪y“m‬ﻞ اﻟ‪d‬وال‬

‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د 𝑓𝐷 ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬
‫‪4:‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑓 T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻛ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬

‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د 𝑓𝐷 ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ‬

‫‪ (2‬اد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬ا‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ‪ 1‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ ‪.‬‬
‫‪ (3‬إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬

‫‪3𝑥 + 3‬‬
‫√ = )𝑥( 𝑓‬
‫‪2𝑥 − 1‬‬
‫اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫[∞‪.𝐼 = [1; +‬‬

‫‪ (4‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ) 𝑓𝐶( ﻳ‪bq‬ﻞ ﻧ‪ TWq‬إﻧﻌ‪AW‬ف 𝐴 أﻓ‪wO‬ﻟ‪Ah‬‬
‫ﻣ‪w‬ﺟﺐ‪.‬‬

‫‪ (2‬أد‪ xC‬اﻟ‪rf‬وع اﻟﻼﻧ‪Ah‬ﺋ‪ Ty‬ل ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬
‫‪ (3‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫‪3𝑥 − 6‬‬
‫‪3‬‬

‫= )𝑥( ‪› (∀𝑥 ∈) : 𝑓 ′‬ﻢ أد‪xC‬‬

‫‪ (6‬ﻧ‪A‬ﻗ‪ L‬ﺣ‪s‬ﺐ ﻗ‪y‬ﻢ اﻟ‪CAb‬اﻣ‪ 𝑚 rt‬ﻋ‪d‬د ﺣ‪wl‬ل اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪T‬‬

‫𝑢𝑜‬
‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪(2𝑥 − 1) 2‬‬
‫ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫‪ (5‬أد‪ xC‬اﻟ‪rf‬ع اﻻﻧ‪Ah‬ﺋﻲ ل ) 𝑓𝐶( ﺑﺠ‪w‬ا‪› +∞ C‬ﻢ‬
‫أﻧ‪YK‬ء ) 𝑓𝐶(‪.‬‬
‫︀√‬
‫‪𝑥4 − 𝑥2 − 𝑚 = 0‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ 𝑓𝐷 ‪:‬‬

‫)𝑥 ‪3(5 −‬‬

‫‪5‬‬

‫‪(2𝑥 − 1) 2‬‬

‫𝐼‪.‬‬

‫‪ (7‬ﺣ‪d‬د داﻟ‪ T‬أ}‪ Tyl‬ﻟ‪dl‬اﻟ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬
‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ ‪7:‬‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑓 T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬

‫= )𝑥( ‪𝑓 ′′‬‬

‫ب‪ -‬ﺣ‪d‬د إﺣ‪d‬ا›‪ty‬ﻲ ‪ Ω‬ﻧ‪ TWq‬اﻧﻌ‪AW‬ف ) 𝑓𝐶( ‪.‬‬

‫︀√‬
‫‪𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑥2 + 1 − 𝑥2‬‬

‫‪ (5‬أﻧ‪K‬ﺊ ) 𝑓𝐶( ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪w.‬ﺣ‪d‬ة اﻟ‪xAyq‬‬

‫𝑎𝑗‬

‫𝑚𝑐‪.2‬‬

‫‪ (6‬ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑔 ﻗ‪ CwO‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫‪ (1‬أ‪ -‬ﺣ‪d‬د 𝑓𝐷 ﺣ‪ zy‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ اﻟ‪d‬اﻟ‪. 𝑓 T‬‬

‫𝑓 ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل [∞‪.𝐼 = [2; +‬‬

‫ب‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ اﻟ‪Ahn‬ﻳ‪ ‹A‬اﻟ‪At‬ﻟ‪: Ty‬‬

‫)𝑥( 𝑓 ‪lim‬‬

‫‪𝑓.‬‬
‫𝐴‬
‫𝑚‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑔 ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ 𝑔−1 Tbsk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪Yl‬‬
‫ﻣﺠ‪A‬ل 𝐽 ﻳﺠﺐ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه‪.‬‬

‫)𝑥( 𝑓 ‪lim‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫∞‪𝑥→−‬‬

‫)𝑥( 𝑓‬
‫𝑥‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪𝑥→−‬‬

‫إﻋ‪ X‬ﺗﺄوﻳﻼ ﻫ‪ AyFdn‬ﻟ‪Atnl‬ﺋ–‪.‬‬

‫ب‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ ﻓﻲ ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ ) ‪. (𝐶𝑔−1‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑ‪r‬ﻫﻦ أن ‪:‬‬

‫‪5:‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑔 T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﺗﺤ‪q‬ﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪𝑥3 −3𝑥+2 = (𝑥+2)(𝑥−1)2‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ ﻧ‪Ah‬ﻳ‪ ‹A‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑔 T‬ﻋ‪ dn‬ﻣﺤ‪d‬ا‹‬

‫𝑔𝐷‪.‬‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬إ‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑔 T‬ﻓﻲ‬

‫ب‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪d‬‬
‫‪−‬‬
‫‪→ −‬‬
‫→‬
‫ﻣ‪\nm‬ﻢ ) 𝑗 ; 𝑖 ;𝑂( ‪.‬‬

‫𝑔‪.‬‬

‫‪.𝑎 = 1‬‬

‫ب‪ -‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬ا‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬ﻓﻲ ‪ −2‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ‪.‬‬
‫—‪ -‬أد‪ xC‬ﺗﻐ‪ ‹ry‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑥 ≤ )𝑥( 𝑓 ;‪› ∀𝑥 ∈ R‬ﻢ اﻋ‪ X‬ﺗﺄوﻳﻼ‬
‫ﻫ‪ AyFdn‬ﻟ‪ytnl‬ﺠ‪.T‬‬

‫𝑃‬

‫ب‪ -‬أد‪ xC‬اﻟ‪rf‬ع اﻻﻧ‪Ah‬ﺋﻲ ﻟ‪nm‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪ 𝑓 :‬ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪ Tysk‬ﻣﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬ﻣﺠ‪A‬ل‬
‫𝐽 ﻳ‪t‬ﻢ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه‪.‬‬
‫𝑥‬

‫𝑔‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن‬

‫‪ (4‬أ‪FC‬ﻢ ) 𝑔𝐶( ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬

‫—‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ ‪6:‬‬
‫︀√‬
‫ﻟ‪kt‬ﻦ اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑓 : 𝑥 ↦→ 𝑥 𝑥2 − 1 T‬و ) 𝑓𝐶(‬
‫‪−‬‬
‫‪→ −‬‬
‫→‬
‫ﻣ‪n‬ﺤ‪An‬ﻫ‪ A‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ ) 𝑗 ; 𝑖 ;𝑂( ﺑﺤ‪”y‬‬
‫‪−‬‬
‫→‬
‫𝑚𝑐‪. || 𝑖 || = 3‬‬
‫‪Prof :Said AMJAOUCH‬‬

‫𝑜𝑟‬

‫︀√‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑥3 − 3𝑥 + 2‬‬

‫= )𝑥(𝑔‬

‫√︁(‬
‫‪)︁2‬‬
‫𝑥 ‪𝑥2 + 1 −‬‬
‫= )𝑥( ‪∀𝑥 ∈ R; 𝑓 ′‬‬
‫√‬
‫‪𝑥2 + 1‬‬
‫إﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ 𝑓‪.‬‬

‫√ = )𝑥( ‪. 𝑓 −1‬‬

‫𝑥‪1 − 2‬‬
‫) ‪ (𝐶𝑓 −1‬ﻓﻲ‬

‫ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ‪.‬‬

‫‪8:‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑔 T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل [∞‪[0; +‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪ 𝑓 (𝑥) = 6𝑥 3 − 4𝑥 :‬و ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪An‬ﻫ‪ A‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ‬
‫ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬

‫اﻟ‪fO‬ﺤ‪ 2 T‬ﻣﻦ‬

‫‪3‬‬

‫‪2020/2019‬‬

‫‪Page fb : maths 𝜖n poche‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪w‬ﻳ‪ T‬اﻟﻌ‪r‬ﻓ‪A‬ن اﻟ‪t‬ﺄﻫ‪Tyly‬‬

‫ﺗ‪CAm‬ﻳﻦ ﻓﻲ د‪C‬ا‪ TF‬و ﺗ‪y“m‬ﻞ اﻟ‪d‬وال‬

‫)𝑥( 𝑓‬

‫‪ (1‬أﺣ‪s‬ﺐ ‪:‬‬
‫ﻫ‪.AyFdn‬‬

‫𝑥‬

‫‪ (2‬ﺣ‪d‬د اﻟ‪rf‬ع اﻟ‪Ahnl‬ﺋﻲ ل‬

‫‪› . lim+‬ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪T‬‬

‫‪10:‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑓 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬ﻟ‪tml‬ﻐ‪ ry‬اﻟﺤ‪qyq‬ﻲ 𝑥 اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪T‬‬
‫ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬
‫︂√‬

‫‪𝑥→0‬‬

‫) 𝑓𝐶(‪.‬‬

‫𝑥‬

‫‪ (3‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ [∞‪› .[0; +‬ﻢ اﻋ‪ X‬ﺟ‪d‬ول‬
‫ﺗﻐ‪ry‬ا‹ 𝑓‪.‬‬

‫وﻟ‪ky‬ﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬
‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫‪Ð‬ا‹ اﻷﻓ‪wO‬ل‬

‫‪.‬‬

‫𝑢𝑜‬
‫‪𝑐ℎ‬‬

‫—‪ -‬أﻧ‪YK‬ء ) 𝑓𝐶( و‬

‫‪ (3‬اﺣ‪s‬ﺐ اﻟ‪Ahn‬ﻳ‪yt‬ﻦ )𝑥( 𝑓 ‪ lim‬و )𝑥( 𝑓 ‪. lim‬‬

‫)‪.(Δ‬‬

‫‪ (5‬ﻟ‪ky‬ﻦ 𝑔 ﻗ‪ CwO‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫[∞‪.[1; +‬‬

‫‪ (5‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻣ‪ TqtK‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫)‪.(𝑔 −1 )′ (0‬‬

‫‪9:‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬
‫ﻧﻌ‪ rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ 𝑓 T‬ﻟ‪tml‬ﻐ‪ ry‬اﻟﺤ‪qyq‬ﻲ 𝑥 اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪T‬‬
‫ب‪:‬‬

‫‪ (2‬ﺗﺤ‪q‬ﻖ ﻣﻦ أن 𝑓 ﻓ‪r‬دﻳ‪.T‬‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ‬

‫ب‪ -‬ﺗﺤ‪q‬ﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬

‫𝑎𝑗‬

‫𝑥‬
‫√ = )𝑥( 𝑓‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑥 +1‬‬
‫𝑓‪.‬‬

‫𝑓‪.‬‬

‫‪(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′ (𝑥) < 0‬‬

‫—‪R -‬ﻊ ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫𝑓‪.‬‬

‫‪𝑓.‬‬
‫𝐴‬
‫𝑚‬

‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د 𝑓𝐷 ﺣ‪ zy‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫‪ (4‬اد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬اﻻ‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ CAsy‬ﻓﻲ‬
‫اﻟ‪› 0 TWqn‬ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬

‫ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑔 ﺗ‪bq‬ﻞ داﻟ‪ T‬ﻋ‪.Tysk‬‬
‫أﺣ‪s‬ﺐ‬

‫𝑓𝐷‪.‬‬

‫‪ (2‬اﺣ‪s‬ﺐ ﻧ‪Ah‬ﻳ‪ T‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ ﻓﻲ اﻟ‪› 1 TWqn‬ﻢ‬
‫أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬

‫ب‪ -‬ﺣ‪d‬د ﻣﻌ‪d‬ﻟ‪ T‬اﻟ‪ (Δ) xAmm‬ل ) 𝑓𝐶( ﻓﻲ اﻟ‪TWqn‬‬
‫‪8‬‬

‫‪𝑓 (𝑥) = −𝑥 +‬‬

‫‪𝑥−1‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺣ‪d‬د ﻧ‪tWq‬ﻲ ﺗ‪VAq‬ﻊ ) 𝑓𝐶( ﻣﻊ ﻣﺤ‪ Cw‬ﻷﻓ‪y}A‬ﻞ‪.‬‬
‫‪27‬‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝐵‪2‬‬

‫‪ (6‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻣ‪CAq‬ﺑ‪ A‬ﻣ‪A‬ﺋﻼ‬
‫ﺑﺠ‪w‬ا‪ +∞ C‬و ∞‪ −‬ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ ‪.𝑦 = −𝑥 + 1‬‬
‫ب‪ -‬اﻧ‪YK‬ء ) 𝑓𝐶(‪( .‬ﻧﺄﺧ@ )‪)𝑓 (1, 6 ≈ 0‬‬

‫)𝑥( 𝑓 ‪. lim‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬

‫وﻓ‪kq‬ﻢ اﻟ‪l‬ﻪ‬

‫ب‪ -‬ﺣ‪d‬د ‪ybV‬ﻌ‪ T‬اﻟ‪rf‬ع اﻟﻼﻧ‪Ah‬ﺋﻲ ل ) 𝑓𝐶( ﺑﺠ‪w‬ا‪C‬‬

‫𝑜𝑟‬

‫∞‪.+‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ ‪: R+‬‬
‫‪+3‬‬

‫‪𝑥2‬‬

‫‪3‬‬

‫ب‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪Yl‬‬

‫𝑃‬

‫‪3(𝑥2 + 1) 4‬‬

‫= )𝑥( ‪.𝑓 ′‬‬

‫[∞‪.[0; +‬‬

‫‪ (5‬أﻧ‪K‬ﺊ ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ 𝑓 Yn‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬
‫‪ (6‬ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑔 ﻗ‪ CwO‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ل‬
‫[∞‪.𝐼 = [0; +‬‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن 𝑔 ﺗ‪Aq‬ﺑﻞ ﻣﻦ 𝐼 ﻧﺤ‪ w‬ﻣﺠ‪A‬ل 𝐽 ﻳ‪t‬ﻢ ﺗﺤ‪d‬ﻳ‪d‬ه‪.‬‬
‫ب‪ -‬أﻧ‪K‬ﺊ ﻓﻲ ﻧ‪ Hf‬اﻟ‪m‬ﻌ‪l‬ﻢ ) ‪ (𝐶𝑔−1‬ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪.T‬‬
‫⎞‬

‫—‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ R+‬اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪: T‬‬
‫‪Prof :Said AMJAOUCH‬‬

‫𝑥=⎠‬

‫‪𝑥2‬‬
‫‪2‬‬

‫︃√ ⎛‬
‫‪3‬‬

‫⎝ ‪.𝑔 −1‬‬

‫اﻟ‪fO‬ﺤ‪ 3 T‬ﻣﻦ‬

‫‪3‬‬

‫‪2020/2019‬‬


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