Série éude fct Fr .pdf


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Série d’exercices
Page facebook : Maths ε n poche

Exercice 1. .

5

1 Soit g la fonction définie sur R par :

g(x) = x 3 − 3x − 3
a Étudier les variations de g.
b Montrer que l’équation g(x) = 0 admet
dans R une unique solution α puis déterminer un encadrement de α d’amplitude

6 Dresser (Cf ).
7

0, 125.
c Déterminer le signe de g(x) .

2x 3 + 3
f(x) = 2
x −1

a Montrer que f admet une réciproque f −1
définie sur un intervalle J que l’on déterminera.
b Dresser (C 0 ) la courbe de f −1 dans le re-

ou

2 Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par :


1
x 2 − x) =
x→+∞
2
b Montrer que la droite d’équation : y =
1
−x + est une asymptote oblique de Cf
2
au voisinage de +∞.

ÊÏ ÊÏ

père (O; i ; j ) .

3

a Montrer que pour tout x de ]1; +∞[

2x + 3
x2 − 1

Si x ≤ 0 Alors f(x) > 0 .
Si x ≥ 0 Alors f(x) < 0 .

f.

3 Étudier la dérivabilité de f à gauche en 0 et à
droite en 2 .Donner un e interprétation géométrique .

c Dresser (Cf ) dans un repère orthonormé

ro

4 Montrer que pour tout x de Df :

Exercice 2. .

Soit f la fonction [1; +∞[ par :

f 0 (x) = √

1
f(x) = −
x


x2 − x
(Cf ) la courbe représentative dans un repère orÊÏ ÊÏ
thonormé (O; i ; j ) .

P

Dresser le tableau de variations de f .

7 Soit g la restriction de f sur I = [2; +∞[.

(∀x > 1) :
r
f(x) − f(1)
−1
x
=

x−1
x
x−1

a Montrer que :

a Montrer que g admet une fonction réciproque g −1 définie sur un intervalle J que
l’on déterminera .
b Dresser dans le même repère précédant
(Cg −1 ) la courbe de g .

a Montrer :

(∀x > 1) : f 0 (x) =

−1
2x − 1
− √
2
x
2 x2 − x

Exercice 4. .
On considère f définie telle que :

b Donner le tableau de variations de f .
4 Montrer que (Cf ) coupe l’axe des abscisses en
un point dont l’abscisse α telle que : 1 < α <
20 novembre 2019

x 2 − 2x

6 Construire (Cf ) .

b Étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et
interpréter le résultat.
3

−f(x)

5 Etudier les branches infinies de (Cf ) .

1 Calculer la limite de f au voisinage de +∞ .
2

x 2 − 2x − x + 1.

2 Montrer que :

b Étudier la branche infinie de (Cf ) au voisinage de +∞.
.



1 Déterminer Df le domaine de définition de f .

:

A

f(x) = 2x +

f(x) =

(Cf ) la courbe de f dans un repère orthonormé.

m

f(α) = 3α

c Montrer que :

ja

a montrer que le signe de f 0 (x) est le signe Exercice 3. .
On considère f tel que :
de g(x) sur l’intervalle .]1; +∞[

b Déduire les variations de f .

lim (x −

a Montrer que :

ch

Prof: Said AMJAOUCH

2.SVT et PC Biof
Représentation des fonctions

3
2
1/ 3

3x + 3
f(x) = √
2x − 1
1 Trouver Df le domaine de définition de f .

2019/2020

Série d’exercices
Page facebook : Maths ε n poche

Prof: Said AMJAOUCH

2 Etudier les branches infinies de (Cf ) la courbe
f.

e Étudier la branche infinie de (Cf ) au voisinage
de +∞ puis dresser (Cf ).

3 Montrer que :

f Déterminer selon les valeurs du paramètre
m
√ le nombre de solutions de l’équation

Puis étudier les variations de f .
4

3x − 6
3

a Montrer que pour tout x de Df :

3(5 − x)

Exercice 7. .
Considérons la fonction f définie par√:

(2x − 1) 2

5

a

b Déterminer les coordonnées de Ω le point
d’inflexion de (Cf ) .

b Calculer les limites :
x→+∞

ja

( Unité de mesure 2cm)

6 Soit g la restriction de f sur l’intervalle .I =

m

[2; +∞[

b Dresser (Cg −1 ) .

A

a Montrer que g admet une réciproque g −1
définie sur un intervalle J .

f.

Exercice 5. .
√ Soit la fonction g Définie par :

g(x) =

Interpréter le résultat géométriquement.

c Dresser le tableau de variations de f.
d

a Montrer que ∀x ∈ R; f(x) ≤ x et Interpréter le résultat géométriquement.
b Construire (Cf ) la courbe de f dans un re-

ÊÏ ÊÏ

père orthonormé (O; i ; j ) .

b Etudier la dérivabilité de g à droite en −2.

a Montrer que : f admet une fonction réciproque f −1 définie sur un intervalle J que
l’on déterminera.

c Étudier les variations de g.

b Montrer que f −1 (x) = √

e

P
3

f(x)
x→−∞ x
lim


2
x2 + 1 − x

∀x ∈ R; f 0 (x) =
x2 + 1

a Calculer les limites de g aux bornes de Dg .
b Étudier les branches infinies de g.

lim f(x)

x→−∞

b Montrer que :

x 3 − 3x + 2 = (x + 2)(x − 1)2

ro

1 Vérifier que :
2

a Déterminer Df le domaine de définition de
f.

lim f(x)

5 Dresser (Cf ).

x 3 − 3x + 2

f(x) = x x 2 + 1 − x 2

ou

f 00 (x) =

x4 − x2 − m = 0

(2x − 1) 2

ch

(∀x ∈) : f 0 (x) =

3

2.SVT et PC Biof
Représentation des fonctions

a Étudier la dérivabilité de g en a = 1.

4 Construire (Cg ) dans un repère orthonormé.

x
.
1 − 2x

c Construire (Cf −1 ) dans le même repère.

Exercice 8. .
Exercice 6. .

Considérons la fonction g définie sur [0; +∞[
Soit la fonction numérique :
f :xÏ
7 x x2 − 1
2
f(x) = 6x 3 − 4x et (Cf ) sa courbe dans
et (Cf ) sa courbe dans un repère orthonormé par :
ÊÏ ÊÏ
ÊÏ
un repère orthonormé.
(O; i ; j ) telle que || i || = 3cm .
a Déterminer Df le domaine de définition de f .

1 Calculer

b Étudier la dérivabilité de f à droite en 1 .

lim+

x→0

f(x)
x

Puis interpréter le résultat géométriquement.

c Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle I = [1; +∞[.

2 Déterminer la branche infinie de (Cf ) au voisinage de +∞.

d Montrer que (Cf ) admet un point d’inflexion A
dont l’abscisse est positif.

3 Calculer f 0 (x) pour tout x de [0; +∞[ puis dresser le tableau de variations de f.

20 novembre 2019

2/ 3

2019/2020

Série d’exercices
Page facebook : Maths ε n poche

Prof: Said AMJAOUCH

a Déterminer les deux points d’intersection
de (Cf ) avec l’axe des abscisses.

2 Calculer la limite de f à droite en 1 puis interpréter le résultat géométriquement .

b Déterminer une équation de la tangente

3 Calculer les deux limites lim f(x) et lim f(x)
x→+∞
x→−∞
.

27
(∆) de (Cf ) au point d’abscisse
.
8
c Construire (∆) et (Cf )

4 Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et donner une interprétation géométrique.

5 Soit g la restriction de f sur [1; +∞[.

5

Montrer que g admet une réciproque.

(∀x ∈ Df − {0}) f 0 (x) <

ou

0

c Dresser le tableau de variations de f .

Exercice 9. .
Soit f à variable réelle x définie par :

6

x

ja

x2 + 1
1 Trouver Df .
2 Vérifier que f est impaire.
a Calculer lim f(x).

a Montrer que (Cf ) admet une asymptote
oblique au voisinage de +∞ et −∞
d’équation y = −x + 1.

b Dresser (Cf ). (On donne f(1, 6 ≈ 0))

m

3

a Calculer f 0 (x) la dérivée de f.
b Vérifier que :

Calculer .(g −1 )0 (0)

f(x) = √
3

ch

4

2.SVT et PC Biof
Représentation des fonctions

x→+∞

4

A

b Déterminer la nature de la branche infinie
de (Cf ) au voisinage de +∞.
a Montrer que pour tout x de R+ :

f.

f 0 (x) =

x2 + 3

.
3

3(x 2 + 1) 4

ro

b Dresser le tableau de variations de f sur

[0; +∞[.

5 Construire (Cf ) la courbe de f dans un repère
orthonormé.

P

6 Soit g la restriction de f sur

I = [0; +∞[.
a Montrer que g admet une réciproque g −1
définie sur J que l’on déterminera
b Dresser dans le même repère (Cg −1 ) la
courbe de g −1 .
c Résoudre ! dans
r

g −1

3

x2
2

R+

l’équation

:

= x.

Exercice 10. .
Soit f la fonction numériquer
à variable réelle x
définie par :

f(x) = −x +

x
x−1

(Cf ) la courbe de f dans un repère orthonormé.
1 Déterminer Df le domaine de définition de f.

20 novembre 2019

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