Généralités des fct (1) .pdf
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Série d’exercices
Généralités sur les fonctions
Prof: Said AMJAOUCH
Page fb: maths ε n poche
b En déduire les variations de g sur les intervalles :
Exercice 1. .
x 2 + 4x + 1
f(x) =
x2 + 1
On considère la fonction
1
1
; 0;
[2; +∞[ ; 0;
2
2
−1
−2;
; ] − ∞ : −2]
2
1 Montrer que 3 est le maximum absolu de f en 1.
2 Montrer que −1 est le minimum absolu de f.
Exercice 2. .
ch
√
f(x) = −x + 2 x + 1.
f(x) =
x+1−1
2
.
(Cg ).
2 En déduire que l’équation x 3 +
4 Déterminer graphiquement f([−1; 2]) et f([3, +∞[).
3 On considère les deux fonctions g et h définies par :
h(x) =
a Vérifier que :
x+1
Exercice 5. .
On considère les deux fonctions :
m
g(x) = −x 2 + 2x + 1
√
f(x) =
∀x ∈ [−1; 0] : 0 ≤ h(x) ≤ 1
f.
b Dresser le tableau de variations de g.
c Montrer que ∀x ∈ [−1; +∞[ : g ◦ h(x) = f(x)
P
f(x) =
8x + 4
x 2 + 2x + 1
1 Déterminer Df .
2 Montrer que f admet un maximum absolu.
3 On considère la fonction g par g(x) = 4 − x 2 .
4x − 3
x2 + 1
4
b En déduire les variation de f.
f(x) − f(y)
(2x + 1)(2 − y) + (2y + 1)(2 − x)
=
x−y
(x 2 + 1)(y 2 + 1)
2 En déduire les variations
des inter
def sur chacun
∞;
−1
.
2
Exercice 7. .
On considère f définie sur R par :
f(x) = x 3 + x 2 + x
1
3 Déterminer le maximum absolu et le minimum absolu de f.
4 Montrer que f ([2; +∞[) =]0; 1]
1 Montrer que ∀(x; y) ∈ R2 :
x 2 + x(1 + y) + y 2 + y + 1 > 0
2 En déduire que f est croissante sur R.
2 On considère la fonction g définie sur R∗ + :
√
1+x+ x
√
g(x) =
x x
4x − 3x 2
5 On considère la fonction : g(x) =
1 + x2
1
a Montrer que
∀x 6= 0 : g(x) = f
x
22 novembre 2019
a Déterminer une fonction h telle que :
(∀x ∈ Df ) : f(x) = g ◦ h(x)
1 Montrer que pour tout x 6= y de R on a :
−1
; 2 et
2
x+1
x−2
f(x) =
4 Dresser le tableau de variations de f puis en déduire
ses extremums.
On considère la fonction définie par
x + 1 et g(x) =
Exercice 6. .
On considère la fonction f définie par :
ro
Déduire la monotonie de f sur chacun des intervalles [−1; 0] et [0; +∞[.
Exercice 3. .
√
Déterminer le domaine de définition de la fonction
h = g ◦ f puis étudier ses variations.
A
∀x ∈ [0; +∞[ : h(x) ≥ 1
√
1 + x = 0 admet
−7
3
une solution α telle que
<α< .
8
4
3 Résoudre graphiquement dans [−1; +∞[ l’inéqua√
tion x 3 + 1 + x < 0
b En déduire que f est majorée par 2.
valles [2; +∞[ et
g(x) = −x 3 .
ja
√
x+1
ou
a Vérifier que pour tout x de [−1; +∞[ :
f(x) = 2 −
−1
;0
2
1 Construire dans un même repère les courbe (Cf ) et
a Déterminer Df .
b Résoudre dans [−1; +∞[ l’équation f(x) = 0
2
;
Exercice 4. .
On considère
les deux fonctions :
√
Soit f la fonction définie par :
1
1Bac.sc.maths1 Biof
Lycée Al IRFAN qualifiant
∗
a Montrer que ∀x ∈ R + : g(x) = f
1/ 2
1
√
x
.
2019/2020
Série d’exercices
Généralités sur les fonctions
Prof: Said AMJAOUCH
Page fb: maths ε n poche
b En déduire les variations de g sur R∗ + .
1 Déterminer f −1
2 On considère les deux fonctions :
u(x) = x 2 − 2x
q
p
f(x) = x + x 2 + 1
v(x) =
√
x − 1.
a montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[ on a :
1 Déterminer Df .
ch
f(x) = (u ◦ v)(x).
2 Montrer que pour tout x de Df : f(−x) =
b étudier les variations de f.
1
.
x
c en déduire que f n’est pas surjective de [1; +∞[
vers R.
ou
3 Étudier les variations de f sur R − .
4 Soit g la restriction de f sur R + .
3 Déterminer le maximum absolu de la fonction f sur
Montrer que g est une bijection et déterminer sa
bijection réciproque.
m
f(x) =
2 Soit g : x 7Ï g(x) = (f(x))2 .
A
b Étudier les variations de f.
Exercice 10. .
On considère la fonction f définie sur ]0; 1[ :
c
f.
1 Montrer que (∀x ∈]0; 1[) : f(x) = 1 −
x2
2 montrer que −1 est le minimum absolu de f et
que f n’admet pas de maximum absolu.
3 Montrer que f est une bijection de R+ ver
[−1; 1[ puis déterminer sa bijection réciproque.
2
.
−x
2 Étudier
de f sur chacun des inter les variations
P
1
1
et
;1 .
2
2
Exercice 14. .
On considère
la fonction définie sur R+ par :
√
1+ x √
f(x) √
+ 1 + x.
1+x
3 Qu’elle est la valeur maximale que prend le nombre
1
1
A = 1+
1+
lorsque a et b varient dans
a
b
R∗ + et vérifient a + b = 1.
1 Montrer que−1 est le minimum absolu de f.
2 Monter que la fonction f n’est pas majorée.
Exercice 15. .
On considère les deux fonctions √
définies par
Exercice 11. .
On considère
la fonction définie sur par :
√
f(x) = x 2 − 2x + 2
1 + x2 − 1
x 6= 0 et f(0) = 0
x
g(x) =
x − 1 + 1.
1 Étudier les variations des deux fonctions f et g.
2 Soit h la restriction de f sur [1; +∞[.
1 Montrer que :
∀x ∈ R : −1 < f(x) < 1
1 Montrer que f ◦ h et h ◦ g sont définies sur
2 Montrer que 1 et −1 ne sont pas des extremums de
fonction f.
[1; +∞[.
2 montrer que g ◦ h = h ◦ g = Id[1;+∞[
3 En déduire que g et h sont des bijections de
[1; +∞[ vers [1; +∞[ et déterminer leurs bijections réciproques.
Exercice 12. .
On considère√
la fonction f définie sur [1; +∞[ par :
f(x) = x − 12 −1
22 novembre 2019
1 montrer que pour tout x ∈ R on a :
−1 ≤ f(x) < 1
1
1
1+
1+
x
1−x
ro
f(x) =
p
|x| − 2
f(x) p
|x| + 2
a Déterminer le domaine de définition de f et étudier
sa parité.
Donner le tableau de variations de g puis celui de f.
2 1
.
;
5 2
ja
1 p 2
x − 1.
x+1
1 Déterminer Df .
l’intervalle
Exercice 13. .
On considère la fonction f telle que :
Exercice 9. .
On considère la fonction définie par :
f(x) =
1
−
et déduire que
2
n’est pas injective.
Exercice 8. .
Soit la fonction f définie par
valles 0;
1Bac.sc.maths1 Biof
Lycée Al IRFAN qualifiant
2/ 2
2019/2020

