Généralités des fct (1) .pdf

Série d’exercices
Généralités sur les fonctions

Prof: Said AMJAOUCH
Page fb: maths ε n poche

b En déduire les variations de g sur les intervalles :




Exercice 1. .

x 2 + 4x + 1
f(x) =
x2 + 1

On considère la fonction

1
1
; 0;
[2; +∞[ ; 0;
2
2


−1
−2;
; ] − ∞ : −2]
2

1 Montrer que 3 est le maximum absolu de f en 1.
2 Montrer que −1 est le minimum absolu de f.
Exercice 2. .

ch

√
f(x) = −x + 2 x + 1.

f(x) =

x+1−1

2

.

(Cg ).

2 En déduire que l’équation x 3 +

4 Déterminer graphiquement f([−1; 2]) et f([3, +∞[).

3 On considère les deux fonctions g et h définies par :

h(x) =

a Vérifier que :

x+1

Exercice 5. .
On considère les deux fonctions :

m

g(x) = −x 2 + 2x + 1

√

f(x) =

∀x ∈ [−1; 0] : 0 ≤ h(x) ≤ 1

f.

b Dresser le tableau de variations de g.
c Montrer que ∀x ∈ [−1; +∞[ : g ◦ h(x) = f(x)

P

f(x) =

8x + 4
x 2 + 2x + 1
1 Déterminer Df .
2 Montrer que f admet un maximum absolu.
3 On considère la fonction g par g(x) = 4 − x 2 .

4x − 3
x2 + 1

4

b En déduire les variation de f.

f(x) − f(y)
(2x + 1)(2 − y) + (2y + 1)(2 − x)
=
x−y
(x 2 + 1)(y 2 + 1)
2 En déduire les variations
des inter
de f sur chacun

∞;

−1
.
2

Exercice 7. .
On considère f définie sur R par :

f(x) = x 3 + x 2 + x
1

3 Déterminer le maximum absolu et le minimum absolu de f.
4 Montrer que f ([2; +∞[) =]0; 1]

1 Montrer que ∀(x; y) ∈ R2 :

x 2 + x(1 + y) + y 2 + y + 1 > 0
2 En déduire que f est croissante sur R.
2 On considère la fonction g définie sur R∗ + :

√
1+x+ x
√
g(x) =
x x

4x − 3x 2
5 On considère la fonction : g(x) =
1 + x2

1
a Montrer que
∀x 6= 0 : g(x) = f
x
22 novembre 2019

a Déterminer une fonction h telle que :

(∀x ∈ Df ) : f(x) = g ◦ h(x)

1 Montrer que pour tout x 6= y de R on a :

−1
; 2 et
2

x+1
x−2

f(x) =

4 Dresser le tableau de variations de f puis en déduire
ses extremums.

On considère la fonction définie par

x + 1 et g(x) =

Exercice 6. .
On considère la fonction f définie par :

ro

Déduire la monotonie de f sur chacun des intervalles [−1; 0] et [0; +∞[.

Exercice 3. .

√

Déterminer le domaine de définition de la fonction
h = g ◦ f puis étudier ses variations.

A

∀x ∈ [0; +∞[ : h(x) ≥ 1

√

1 + x = 0 admet
−7
3
une solution α telle que
<α< .
8
4
3 Résoudre graphiquement dans [−1; +∞[ l’inéqua√
tion x 3 + 1 + x < 0

b En déduire que f est majorée par 2.

valles [2; +∞[ et

g(x) = −x 3 .

ja

√

x+1

ou

a Vérifier que pour tout x de [−1; +∞[ :

f(x) = 2 −

−1
;0
2

1 Construire dans un même repère les courbe (Cf ) et

a Déterminer Df .
b Résoudre dans [−1; +∞[ l’équation f(x) = 0

2

;

Exercice 4. .
On considère
les deux fonctions :
√

Soit f la fonction définie par :

1

1Bac.sc.maths1 Biof
Lycée Al IRFAN qualifiant

∗

a Montrer que ∀x ∈ R + : g(x) = f
1/ 2




1
√
x

.

2019/2020

Série d’exercices
Généralités sur les fonctions

Prof: Said AMJAOUCH
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b En déduire les variations de g sur R∗ + .

1 Déterminer f −1

2 On considère les deux fonctions :

u(x) = x 2 − 2x

q
p
f(x) = x + x 2 + 1

v(x) =

√
x − 1.

a montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[ on a :

1 Déterminer Df .

ch

f(x) = (u ◦ v)(x).

2 Montrer que pour tout x de Df : f(−x) =

b étudier les variations de f.

1
.
x

c en déduire que f n’est pas surjective de [1; +∞[
vers R.

ou

3 Étudier les variations de f sur R − .
4 Soit g la restriction de f sur R + .

3 Déterminer le maximum absolu de la fonction f sur

Montrer que g est une bijection et déterminer sa
bijection réciproque.

m

f(x) =

2 Soit g : x 7Ï g(x) = (f(x))2 .

A

b Étudier les variations de f.

Exercice 10. .
On considère la fonction f définie sur ]0; 1[ :

c

f.

1 Montrer que (∀x ∈]0; 1[) : f(x) = 1 −

x2

2 montrer que −1 est le minimum absolu de f et
que f n’admet pas de maximum absolu.
3 Montrer que f est une bijection de R+ ver
[−1; 1[ puis déterminer sa bijection réciproque.

2
.
−x

2 Étudier

de f sur chacun des inter les variations

P

1
1
et
;1 .
2
2

Exercice 14. .
On considère
la fonction définie sur R+ par :
√

1+ x √
f(x) √
+ 1 + x.
1+x

3 Qu’elle est la valeur maximale que prend le nombre




1
1
A = 1+
1+
lorsque a et b varient dans
a
b
R∗ + et vérifient a + b = 1.

1 Montrer que−1 est le minimum absolu de f.
2 Monter que la fonction f n’est pas majorée.
Exercice 15. .
On considère les deux fonctions √
définies par

Exercice 11. .
On considère
la fonction définie sur par :
√

f(x) = x 2 − 2x + 2

1 + x2 − 1
x 6= 0 et f(0) = 0
x

g(x) =

x − 1 + 1.

1 Étudier les variations des deux fonctions f et g.
2 Soit h la restriction de f sur [1; +∞[.

1 Montrer que :

∀x ∈ R : −1 < f(x) < 1

1 Montrer que f ◦ h et h ◦ g sont définies sur

2 Montrer que 1 et −1 ne sont pas des extremums de
fonction f.

[1; +∞[.
2 montrer que g ◦ h = h ◦ g = Id[1;+∞[
3 En déduire que g et h sont des bijections de
[1; +∞[ vers [1; +∞[ et déterminer leurs bijections réciproques.

Exercice 12. .
On considère√
la fonction f définie sur [1; +∞[ par :

f(x) = x − 12 −1

22 novembre 2019

1 montrer que pour tout x ∈ R on a :

−1 ≤ f(x) < 1



1
1
1+
1+
x
1−x

ro

f(x) =

p
|x| − 2
f(x) p
|x| + 2

a Déterminer le domaine de définition de f et étudier
sa parité.

Donner le tableau de variations de g puis celui de f.




2 1
.
;
5 2

ja

1 p 2
x − 1.
x+1
1 Déterminer Df .



l’intervalle

Exercice 13. .
On considère la fonction f telle que :

Exercice 9. .
On considère la fonction définie par :

f(x) =



1
−
et déduire que
2

n’est pas injective.

Exercice 8. .
Soit la fonction f définie par

valles 0;

1Bac.sc.maths1 Biof
Lycée Al IRFAN qualifiant

2/ 2

2019/2020