Exo corrigé etude fct .pdf


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Exercice corrigé
Page facebook: Maths n poche

Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT
Étude des fonctions

Exercice corrigé
.
Soit f la fonction [1; +∞[ par :

f (x) =

1
x



p
x2 − x

ou
c

h


→ −

(Cf ) la courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i ; j ) .
1 Calculer la limite de f au voisinage de +∞ .

(∀x > 1) :
r
f (x) − f (1)
−1
x
=

x−1
x
x−1

a Montrer que :

ja

2

3

a Montrer :

2x − 1


x2
2 x2 − x

−1

ro
f.

(∀x > 1) : f 0 (x) =

A
m

b Étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter le résultat.

b Donner le tableau de variations de f .

3
2
5

P

4 Montrer que (Cf ) coupe l’axe des abscisses en un seul point dont l’abscisse α telle que : 1 < α <

a Montrer que :

lim (x −

x→+∞

p
1
x2 − x) =
2

b Montrer que la droite d’équation :

y = −x+

1
2

est une asymptote oblique de Cf au voisinage

de +∞.
6 Dresser (Cf ).
7

a Montrer que f admet une réciproque f −1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera.


→ −


b Dresser (C 0 ) la courbe de f −1 dans le repère (O; i ; j ) .

25 novembre 2019

1/ 4

2019/2020

2 PC et SVT
Étude des fonctions

Exercice corrigé
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Prof: Said AMJAOUCH

Correction proposée
Soit f la fonction [1; +∞[ par :

f (x) =

1
x



p
x2 − x


→ −

(Cf ) la courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i ; j ) .
1 Calculons la limite de f au voisinage de +∞ .

x

car lim

1

= 0 et lim

x→+∞

x

x→+∞

p
x2 − x = +∞

(∀x > 1) :
r
f (x) − f (1)
−1
x
=

x−1
x
x−1


1
1
− x2 − x − 1
− 1 − x2 − x
f (x) − f (1)
x
x
Soit x > 1 :
=
=
x−1
x−1
xs− 1
√ 2
√ 2
r
1−x
x −x
1−x
1
x −x
−1
x(x − 1)
−1
x
x

=
.
−p
=

=

=
x−1
x−1
x
x−1
x
(x − 1)2
x
x−1
(x − 1)2

a Montrer que :

A
m

ja

2

x→+∞

p
x2 − x = −∞

ou
c

x→+∞



h

1

lim f (x) = lim

b Étudions la dérivabilité de f à droite en 1 et interprétons le résultat.

x→1+

= lim

ro
f.

lim

f (x) − f (1)
x−1

x→1+

−1
x

r



x
x−1

r
= −∞

car : lim

x→1+

x
x−1

= +∞

Donc f n’est pas dérivable à droite en 1 et par suite (Cf ) possède une tangente verticale

3

P

dirigée vers le bas au point (1; f (1)).

2x − 1
−1
(∀x > 1) : f 0 (x) = 2 − √
x
2 x2 − x
0 p

0
1
(x2 − x)0
−1
2x − 1
−1
f 0 (x) =

x2 − x = 2 − √
= 2 − 2
x
x
x
x −x
2 x2 − x

a Montrons que :
Soit x > 1 :

b Donner le tableau de variations de f .
Étudions d’abord le signe de f 0 (x).

2x − 1
−1
∀x > 1 On a 2x − 1 > 1 donc 2x − 1 > 0 par suite − √
< 0 et comme 2 < 0 Alors
x
2 x2 − x
f 0 (x) < 0.
D’où f est strictement décroissante sur [1; +∞[.

x

1

V ar.

1

+∞

de f

25 novembre 2019

−∞
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2 PC et SVT
Étude des fonctions

4 Montrer que (Cf ) coupe l’axe des abscisses en seul un point dont l’abscisse α telle que : 1 < α <

3
2

.

Montrons que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α et que 1 < α <

3
2

.

? f est continue sur [1; +∞[ comme somme et composée de fonctions continues x 7→
x.

x

h

et x 7→ x2 − x et x 7→



1

ou
c

? f est strictement monotone (décroissante) sur [1; +∞[ (Question précédente).
? f ([1; +∞[) =] − ∞; 1] Donc 0 ∈ f ([1; +∞[).

2

=

2
3





3

2

< 0 alors 1 < α <

A
m

f


3

ja

D’où l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans [1; +∞[ et puisque f (1) = 1 > 0 et

3

2

.

D’où(Cf ) coupe l’axe des abscisses en un seul point dont l’abscisse α telle que : 1 < α <

2

.

1
x2 − x =
x→+∞
2
√ 2
√ 2
√ 2
2
2
p
x

x)(x
+
x

x)
x −x
(x

x

2
lim x − x − x = lim
= lim

√ 2
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x +
x + x2 − x
x −x
2
2
x
x
x −x +x
q
= lim
= lim
= lim
√ 2
√ 2
x→+∞ x +
x→+∞
x→+∞ x +
x −x
x −x
x + x2 (1 − x1 )
x
x
x
q
q
q
= lim
= lim
= lim


x→+∞
x→+∞
x→+∞
1
1
1
2
x + x (1 − x )
x + x. 1 − x
x 1− 1− x

a Montrons que :

lim x −

p

P

ro
f.

5

3

1
q
x→+∞
1− 1−

= lim

=
1
x

1
2
y = −x +

b Montrons que la droite d’équation :

1
2

est une asymptote oblique de Cf au

voisinage de +∞.
Montrons que lim f (x) − (−x +
x→+∞

) = lim

1

2

)=0

p
1
x2 − x + x −
x→+∞
x→+∞ x
2
2
p
1
1
1
1
= lim
+ x − x2 − x − = 0 + − = 0
x→+∞ x
2
2
2
1
Donc la droite d’équation : y = −x +
est une asymptote oblique de Cf au voisinage de
2
lim f (x) − (−x +

1

1



+∞.

25 novembre 2019

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2019/2020

Prof: Said AMJAOUCH
6 Dresser (Cf ).
7

2 PC et SVT
Étude des fonctions

Exercice corrigé
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a Montrer que f admet une réciproque f −1 définie sur un intervalle J que l’on déterminera.

f est continue (Q.4) est strictement monotone (Q.3-b)(Décroissante strictement ) sur [1; +∞[

J = f ([1; +∞[) =] lim f (x); f (1)] =] − ∞; 1]
x→+∞

h

Donc f admet une fonction réciproque f −1 définie sur l’intervalle J tel que :

ou
c


→ −


b Dresser (C 0 ) la courbe de f −1 dans le repère (O; i ; j ) .

(Cf ) et (C 0 ) sont symétrique par rapport à la droite d’équation y = x.

ja

6
5

ro
f.

A
m

Asymptote

−6

−5

−4

−3

P

−7

4
3
2
α0

1
α

−2

−1

0

1

2f

3

4

5

6

7

8

−1
−2
−3
axe

−4
−5

25 novembre 2019

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2019/2020


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