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GS Almoustakbal II - Fès1ère BIOF. SM

Mathématiques
Contrôle no 3
Durée: 1h 50min

Prof. A. Lamrani
le Vendredi 27/12/2019
Calculatrice non autorisée

La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation.

Exercice 1

On considère l’application f : R → R définie par f (x) = x2 − x.

4 pts

1 a) - Montrer que (∀x ∈ R) : f (1 − x) = f (x). L’application f est-t-elle injective ?


1
b) - Montrer que f (R) = − , +∞ . L’application f est-t-elle surjective ?
4
−1

c) - Déterminer f (R ).




1
1
2 - On considère la fonction g : −∞,
→ − , +∞ définie par g(x) = f (x).
2
4
a) - Vérifier que g est une application.
b) - Montrer que g est une bijection et déterminer sa bijection réciproque g −1 .

0,75 pt
1 pt
0,75 pt

0,5 pt
1 pt

Exercice 2

9 pts

On considère les suites (an ), (bn ) et (cn ) définies par :

 a0 = a1 = 1
1
1
2
, bn = an+1 − an et cn = 3n an , pour n ∈ N.
 an+2 = an+1 − an , n ∈ N.
3
3
9

1 - Montrer que (bn ) est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme puis déterminer
son terme générale.
2 pts
2 - Montrer que (cn ) est une suite arithmétique en précisant sa raison et son premier terme puis déduire
son terme générale.
2 pts
3 - Écrire an en fonction de n pour n ∈ N.
0,5 pt
2
4 - Montrer que : (∀n ∈ N∗ ) : 0 < an+1 6 an .
1,5 pt
3
n
2
5 - Déduire que : (∀n ∈ N∗ ) : 0 < an+1 6
.
1,5 pt
3
!
n−1
4
2
6 - Déduire que (∀n ∈ N∗ \{1}) : a2 + a3 + ... + an 6
1−
1,5 pt
3
3

Exercice 3



On considère les points A(3, 3), B(5, 3) et C(6,0).
Et (C) l’ensemble des points M (x,y) tels que : x2 + y 2 − 8x + 12 = 0.

5 pts

1 - Montrer que (C) est un cercle en précisant son centre et son rayon.

0,75 pt

2 - Vérifier que A ∈ (C) et déterminer l’équation de la droite (D) tangente à (C) en A.

0,75 pt

3 - Déterminer l’équation de la droite (∆) perpendiculaire à (D) et passant par le point B et monter que
(∆) coupe (C) en B et C.
1 pt
−→ −→
−→ −→
−→
−→
\
4 - Calculer cos(AB,AC) et sin(AB,AC) et déduire la mesure principal de l’angle (AB,AC). 1,5 pt

2
2
x
√ + y√− 8x + 12 <
√0
5 - Résoudre graphiquement le système :
1 pt
(x − 3y)( 3x + y − 6 3) < 0

Exercice 4

Soient E et F deux ensembles non vides et f : E −→ F.
Montrer que : f est une bijection ⇐⇒ (∀A ∈ P(E)) : f (A) = f (A).

2 pts

NB : Vous pouvez scanner ce code QR Dimanche matin pour la correction de ce contrôle.

Bonne chance

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