EF+Corrigé Maths1 ST 2019 2020 .pdf


Nom original: EF+Corrigé Maths1 ST 2019-2020.pdfAuteur: Samsung

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*********************************************

Questions du cours: (4,5 points):

20
20

(U
AB
T)
20
19
~

Université Aboubekr Belkaid-Tlemcen
Module: Mathématiques 1 EPREUVE FINALE.
1ère Année Sciences et technologies 2019-2020. (Durée: 1H30 mn).

(I) Les a¢ rmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justi…er votre réponse.
a) (1 point) Si f est continue sur un intervalle I alors f est dérivable sur I.
b) (1 point) La fonction f (x) = cos x est de classe C 1 (R) :

ce
s

f
:
............... ! :::::::::::
x
7!
f (x) = arccos x:
0
On a: 8x 2 :::::::::::; (arccos x) = :::::::::

cie
n

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(II) (1,5 point) Compléter:

de
sS

(III) (1 point) Donner le développement limité à l’ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction: ln (1 + x) :

Exercice 01: (3 points)

k (k + 1) (k + 2) =

lté

n
X

k=1

Exercice 02: (6 points)

1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
4

Fa
cu

8n 2 N ;

Montrer par récurrence que:

Soit < une relation dé…nie sur N par:

1)
~

x<y , 9n 2 N tel que : xn = y.

(1) (2 points) Montrer que < est une relation d’ordre.

(S

(2) (1 point) Cet ordre est-il total ?

/S
T

(3) (3 points) Soit l’ensemble A = f1; 4; 16g : Déterminer s’ils existent, deux majorants, deux minorants, max A et
min A pour l’ordre <:

SM

Exercice 03: (6,5 points)

Soit la fonction f dé…nie par:
f (x) = x ln x

x; x > 1:

MD

(1) (1 point) f est-elle continue sur ]1; +1[ :
(2) (1 point) f est-elle dérivable sur ]1; +1[ et calculer f 0 :

eL

(3) (1,5 point) Dresser le tableau des variations de f:

ièr

(4) (1,5 point) Montrer que f : ]1; +1[ ! ] 1; +1[ est une bijection.

em

(5) (0,5 point) Résoudre dans ]1; +1[ ;l’équation: f (x) = 0:

Pr

(6) (1 point) Déterminer: f

1

0

(0) :

Bon courage.

Corrigé de l’examen final- Math1

20
20

Questions de cours : (04.5 pts)
I.

Les fonctions

sont continues et dérivables sur , et
(

II.
[

]
[

III.

Raisonnement par récurrence :

(S

Pour n=1 : On a ∑
et



. La propriété est vérifiée pour n=1.(01 pt)

Supposons que la propriété est vraie jusqu’au rang n, c-à-d :
(01 pt)

SM




]



/S
T



[

1)
~

Exercice 01 : (03 pts) Montrons que

. (0.5 pt)

Fa
cu

lté

]

ce
s

est de classe

)

cie
n

Ce qui signifie que la fonction

de
sS

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

{



| | est continue en 0

(U
AB
T)
20
19
~

a) L’affirmation est fausse (0.5 pt), contre-exemple : La fonction
mais n’est pas dérivable en ce point (0.5 pt).
b) L’affirmation est vraie (0.5 pt). En effet :

Montrons que la propriété est vraie jusqu’au rang (n+1), c-à-d :
Montrons que ∑

MD

.





Pr

em

ièr

eL

En effet :

Conclusion :



(01 pt)

Exercice 02 : (06 pts) Soit

par :

20
20

est une relation d’ordre :

. D’où la réflexivité de la relation.(0.5 pt)

(U
AB
T)
20
19
~

1) Montrons que
 On a :
 Soit

la relation définie sur

}
Puisque
sont des entiers naturels, donc
Ce qui implique que
La relation est antisymétrique. (0.75 pt)
Soit

ce
s

}
, et donc la relation est transitive. (0.5 pt)

cie
n

Ce qui signifie que

de
sS

Conclusion :
est réflexive, antisymétrique et transitive, donc

est une relation d’ordre dans

. (0.25 pt)

(S

1)
~

Fa
cu

lté

2) L’ordre n’est pas total (0.5 pt), puisque 5 n’est pas en relation avec 3 et 3 n’est pas en relation
avec 5 (0.5 pt). est un ordre partiel dans .
{
}
3) Soit
a)
est un majorant de
(0.5 pt)
c-à-d :
ou encore :

}

(0.5 pt)

/S
T

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Pr

em

ièr

eL

MD

SM

est l’unique majorant de l’ensemble, puisqu’il n’existe aucun entier naturel non nul
vérifiant
.
En plus, on a
donc
(0.5 pt).
b)
est un minorant de
(0.5 pt)
c-à-d :
ou encore :

On a

Autre réponse : On a

}

{

(0.5 pt)
. (0.5 pt)

Exercice 03 : (06.5 pts) Soit la fonction

]
]

]

[

[
[ d’après les théorèmes généraux de la

]
[
[, ce qui signifie que est strictement croissante. (0.5 pt)

1

ce
s

x

[

cie
n

+

lté

(01 pt)

Pr

em

ièr

eL

MD

SM

/S
T

(S

1)
~

Fa
cu

[
]
[ (0.5 pt).
4. D’après la table de variation, on a ]
[ (0.5 pt), donc
En plus la fonction est continue (0.5 pt)et strictement croissante sur ]
]
[ ]
[ est une bijection (d’après le théorème de la bijection).
5.
]
[ (0.5 pt)
D’où :
6. On a
.(0.5 pt)
Comme
(

)
(

)

[

[
[ d’après les théorèmes

(U
AB
T)
20
19
~

]

]

de
sS

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]
]

]

3. On a

[

20
20

]

1. (01 pt) La fonction
Et
Donc la fonction
généraux de la continuité.
2. (01 pt) La fonction
Et
Donc la fonction
dérivabilité.

(0.5 pt)


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