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Vecteurs et coordonnées

Bases normées, orthogonales et orthonormées
Définition 0.1 On dit que deux vecteurs ~i et ~j forment une base (= un repère) s’ils ne

sont pas colinéaires. On note cette base (O;~i; ~j).
Des bases particulières

Base orthonormée
Base orthogonale
Base normée
Les vecteurs ~i et ~j sont de
Les vecteurs ~i et ~j sont
Les vecteurs ~i et ~j sont de
même norme et
perpendiculaires
même norme
perpendiculaires
Une fois la base choisie, nous pouvons chercher à déterminer les coordonnées d’un point
ou d’un vecteur.



Exemple 0.2

Déterminer les coordonnées des points A et B dans la base
~ OJ).
~
(OI;



Coordonnées d’un vecteur
Propriété 0.3 Soit ~u un vecteur du plan. On note M le point de coordonnées (x; y) dans

~ Dans ce cas, les coordonnées du vecteur ~u sont celles du
une base (0;~i; ~j) tel que ~u = OM.
x
point M ; on note alors ~u
.
y

~ = x~i + y~j
~u = OM

2
Propriété 0.4 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété 0.5 Soient A(xA ;
yA ) et B(x B ;YB ) deux points dans le repère (O;~i; ~j). Le vecteur

~ a pour coordonnées ~AB xB − xA .
AB
yB − yA


Exemple 0.6 Soient A(2; −6) et B(−4; 5) dans le repère (O;~i; ~j). Quelles sont les

~ ?
coordonnées du vecteur AB



Somme de vecteurs
0
x
x
Propriété 0.7 Soient ~u
et ~v 0 deux vecteurs dans le repère (O;~i; ~j) et k un réel.
y
y


x + x0
• le vecteur ~u +~v a pour coordonnées
y + y0


k×x
• le vecteur k~u a pour coordonnées
k×y


3
2
Exemple 0.8 Soit ~
u
et ~v
deux vecteurs du plan.
−6
0

1) Dessiner un représentant de chaque vecteur dans le repère puis un représentant du
vecteur ~u +~v.
2) Calculer avec la formule du cours les coordonnées de ~u +~v.

3) Calculer grâce au graphique les coordonnées de ~u +~v et comparer le résultat avec la
question précédente.
4) Calculer les coordonnées de 1, 5~u.

Colinéarité de vecteurs

0
x
x
Propriété 0.9 Soient ~u
et~v 0 deux vecteurs dans le repère (O;~i; ~j). Les vecteurs ~u
y
y
et ~v sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles, c’est-à-dire
s’il existe un réel k tel que x0 = kx et y0 = ky.


3
6
Exemple 0.10 Les vecteurs ~
u
et ~v
sont-ils colinéaires ?
2
4


−2
−5
Qu’en est-il des vecteurs ~u
et ~v
?

10
20
Norme d’un vecteur

p
x
Propriété 0.11 La norme d’un vecteur~u
, notée ||~u ||, est donnée par la formule : x2 + y2
y

3
Exemple 0.12 Quelle est la norme du vecteur ~
u
?

−4


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