Chapitre 8 Intégration .pdf


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Intégration

Chapitre 7 :
I°) Rappels sur les primitives
1°) Primitive d’une fonction

Définition : Soit 𝑓une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de 𝑓 sur I toute fonction 𝐹 définie
et dérivable sur I vérifiant 𝑭’(𝒙) = 𝒇(𝒙) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼
Exemple 1 : Considérons la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 + 2
La fonction 𝐹 définie sur ℝ par 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 7 est une primitive de 𝑓 sur ℝ car :
𝐹 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 + 2 = 𝑓(𝑥)
Exemple 2 : Montrer que fonction 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur l’intervalle ℝ ∶ 𝐹(𝑥) = 𝑥ln(𝑥) − 𝑥 ; 𝑓(𝑥) = ln(𝑥)
1

𝐹 ′ (𝑥) = 1 × ln(𝑥) + 𝑥 × 𝑥 − 1 = ln(𝑥) + 1 − 1 = ln(𝑥)
2°) Ensemble des primitives d’une fonction
Théorème : 1) Si 𝐹 est une primitive de 𝑓sur un intervalle I, alors l’ensemble des primitives de 𝑓 sur 𝐼 est
l

constitué des fonctions définies sur 𝐼 par 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 où 𝑘 est une constante réelle.
2) Pour 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels fixés, il existe une unique primitive 𝐺 de 𝑓 telle que 𝐺(𝑎) = 𝑏.
Exemple : Considérons la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
Les primitives G de f sont de la forme 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ.
La primitive F de f telle que 𝐹(2) = −3 est 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 7 car 22 − 7 = −3.
3°) Primitives des fonctions de référence
𝑓 est une fonction définie sur l’intervalle 𝐼 et 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur 𝐼.
Fonction 𝒇
𝑓(𝑥) =
𝑚 (𝑚 réel)

une primitive 𝑭 est donnée par
𝐹(𝑥) =
𝑚𝑥

𝑥

1 2
𝑥
2

1
𝑥2



𝑥𝑛

Intervalle I



1
𝑥

]0; +∞[ ou ]−∞; 0[

1
𝑥 𝑛+1
𝑛+1



ln(𝑥)

1
𝑥

]0; +∞[

𝑒𝑥

𝑒𝑥



(𝑛 ≥ 1)

Exemple : Déterminer une primitive de f.
2

1°) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 ;

1

𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 2ln(𝑥)
7

1

2°) 𝑓(𝑥) = 3𝑒 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 3 ; 𝐹(𝑥) = 3𝑒 𝑥 − 2 𝑥 2 + 4 𝑥 4

4°) Primitives des fonctions trigonométriques
Fonction 𝒇

une primitive 𝑭 est donnée par

𝑓(𝑥) =

𝐹(𝑥) =

cos(𝑥)

sin(𝑥)



sin(𝑥)

−cos(𝑥)



cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 ≠ 0

1
sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
a



sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 ≠ 0

1
− cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
a



Exemple : Déterminer une primitive de 𝑓 telle que 𝑓(𝑥) = 2 cos(3𝑥 + 4).

Intervalle I

5°) Primitives de fonctions composées
𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼. 𝑛 est un entier relatif.
Fonction 𝒇
Conditions
une primitive 𝑭 est
donnée par 𝐹(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
𝑛>0
𝑢 est strictement
positive sur 𝐼

𝑢’(𝑥)𝑢𝑛 (𝑥)

1
𝑢𝑛+1 (𝑥)
𝑛+1

𝑢′ (𝑥)
𝑢(𝑥)

𝑙𝑛(𝑢(𝑥))

𝑢′ (𝑥)𝑒 𝑢(𝑥)

𝑒 𝑢(𝑥)

𝑢 définie sur I

Exemple : Pour chacun des fonctions suivantes, déterminer une primitive 𝐹.
1°) 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥 2 + 3)4
1

𝐹(𝑥) = 5 (𝑥 2 + 3)5
𝑥2

2°) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 +6
1

𝐹(𝑥) = 3 ln(𝑥 3 + 6)
3°) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −3𝑥+2
1

𝐹(𝑥) = − 3 𝑒 −3𝑥+2

2

𝐹(𝑥) = 3 sin(3𝑥 + 4)

II°) Intégrale d’une fonction continue
1°) Notion de fonction continue
Définition : Une fonction 𝑓 définie sur un intervalle I de ℝ est dite continue sur I si on peut tracer sa courbe
représentative dans un repère « sans lever le crayon ».
Exemples :

2°) Intégrale d’une fonction continue positive
Définition : Le plan est muni d’un repère orthogonal (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽). On appelle unité d’aire et on note u.a l’aire du
rectangle OIKJ où K est le point de coordonnées (1 ;1).

Définition : Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] de ℝ et 𝐶𝑓 sa courbe représentative
dans le repère orthogonal (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽).
𝒃

On appelle intégrale de 𝒇 de 𝒂 à 𝒃et on note ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙, l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine du plan
délimité par :




l’axe des abscisses
la courbe 𝐶𝑓
les droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏.

On peut visualiser cette aire de la façon suivante :

Vocabulaire :



𝑏

𝑎 et 𝑏 sont appelées les bornes de l’intégrale ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
𝑥 est la variable d’intégration.

Exemple : La représentation graphique ci-dessous est celle d’une fonction𝑓 définie sur[−2 ; 3].
Calculer les intégrales suivantes :
1

a. ∫−2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3,5 𝑢𝑎

1

b. ∫−1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 𝑢𝑎

3

c. ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3 𝑢𝑎

3°) Intégrale et primitive
Propriété : Soit 𝑓 une fonction continue et positive sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] de ℝ et 𝐹 une primitive de 𝑓 sur
𝑏

[𝑎 ; 𝑏], alors ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
𝑏

Notation : On écrit ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
Exemples :


31

∫1 𝑥 𝑑𝑥 = [ln(𝑥)]13 = 𝑙𝑛(3) − 𝑙𝑛(1) = ln(3)

;

3

1

3

1

1

∫0 𝑥𝑑𝑥 = [2 𝑥 2 ] = (2 × 32 ) − (2 × 02 ) =
0

27
2

4°) Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
On étend la définition d’intégrale à une fonction continue de signe quelconque.
Définition :Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle 𝐼 = [𝑎 ; 𝑏] dont F est une primitive. On appelle
𝑏

intégrale de 𝑓 de 𝑎 à 𝑏 le réel défini par ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
2
Exemple : ∫1 (3𝑥 2 + 4𝑥 + 5)𝑑𝑥 = [𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 ]30 = (33 + 2 × 32 + 5 × 2) − (03 + 2 × 02 + 5 × 0) = 55

III. Propriétés de l’intégrale
1°) Linéarité
Propriété : Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle[𝑎 ; 𝑏] de ℝ et 𝜆 un réel, alors :
𝑏

𝑏

𝑏



∫𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥



∫𝑎 𝜆𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑏

2°) Positivité
Théorème : Soient 𝑓une fonction continue sur l’intervalle [𝑎; 𝑏] de ℝ, avec 𝑎 < 𝑏.
𝑏

Si pour tout 𝑥 de [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≥ 0 alors ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
Théorème : Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur l’intervalle [𝑎; 𝑏] de ℝ, avec 𝑎 < 𝑏. Si pour tout 𝑥 de [𝑎 ; 𝑏],
𝑏

𝑏

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3°) Relation de Chasles
Propriété : Soient 𝑓une fonction continue sur un intervalle[𝑎; 𝑏] de ℝ et 𝑐 un réel de [𝑎; 𝑏], alors :
𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

Interprétation graphique :

𝑎

𝑐

IV°) Calculs d’aires
Théorème : Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions continues sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] de ℝ. Si pour tout réel 𝑥 de l’intervalle
[𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors l’aire, en unités d’aire, du domaine 𝐷𝑓 du plan délimité par les courbes 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔 et les
𝑏

droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est égale à 𝒜 = ∫𝑎 (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥

𝐶𝑓

Exemple : Déterminer l’aire de la portion du plan délimitée
par les courbes représentatives des fonctions 𝑓et 𝑔 définie

𝐶𝑔

sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 et 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 + 4 et les droites
d’équation 𝑥 = −1 et 𝑥 = 2
2

2

2

2

3

2

𝒜 = ∫ (𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 2 + 2𝑥 + 4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫ −2𝑥 2 + 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 = [− 𝑥 + 𝑥2 + 4𝑥 ]
−1

−1

−1

3

−1

2
2
20
7
𝒜 = (− × 23 + 22 + 4 × 2) − (− × (−1)3 + (−1)2 + 4 × (−1)) =
− (− ) = 9 𝑢𝑎
3
3
3
3
V°) Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Définition : Soit 𝑓 une fonction continue sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] de ℝ. On appelle valeur moyenne de 𝑓 sur [𝑎; 𝑏]
1

𝑏

le nombre réel 𝑉𝑚 = 𝑏−𝑎 × ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Interprétation graphique si 𝑓 est positive sur [𝑎; 𝑏] :
Le réel 𝑉𝑚 est le réel pour lequel l’aire délimitée par la courbe représentative 𝐶 de 𝑓, l’axe des abscisses et les
droites d’équation 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏 est égale à l’aire du rectangle dont les côtés ont pour mesures 𝑏 − 𝑎 et 𝑉𝑚 .

Exemple : Calculons la valeur moyenne sur [0 ; 2] de la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥².
𝑉𝑚 =

2
2
1
1
1
1
8
× ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = [ 𝑥3 ] = × 23 − × 03 =
2−0
3
3
3
3
0
0


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