Chapitre 3 GP 2020 converted .pdf



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Chapitre 3:
GAZ PARFAIT
III.1. Introduction
Un gaz est constitué d’un grand nombre d’atomes ou de
molécules, qui interagissent les uns avec les autres, et avec les
parois du récipient qui les renferme. Le nombre de ces atomes
ou molécules est très grand (1cm3 d’air contient 3.1019
molécules). On ne peut faire donc, que des calculs statistiques.
La théorie cinétique des gaz, qui est une partie de la
thermodynamique statistique, permet de faire cette étude.
III.2.Hypothèse d’un gaz parfait
On appelle gaz parfait, un gaz qui vérifie les hypothèses
suivantes:
→ Les atomes de masse m, sont considérés être
ponctuels,
→ Les forces d’interactions sont négligeables devant les
forces de chocs,
→ Toutes les directions sont également probables à
l’équilibre du gaz,
N
→ La densité des particules ( V ) est constante à
l’équilibre du gaz.
Ces hypothèses constituent le modèle du gaz parfait.
On note que tous les gaz (gaz réels) tendent vers le
comportement du gaz parfait, quand la pression devient faible.
III.3. Pression cinétique du gaz parfait
a. Définition de la pression
1

Soit un gaz de pression P, contenu dans un récipient de
F
section S. La pression du gaz est donnée par la relation P = S
avec F, la force exercée par les atomes ou molécules du gaz
sur la section S du récipient.
b. Pression cinétique
La pression cinétique est la pression d’un système
thermodynamique dont les constituants sont sans interactions
entre eux (énergie potentielle nulle). En appliquant la théorie
cinétique à un gaz parfait, on trouve:
P= 1 N m V 2
3V
 N = Nombre d'atomes ou de molécules du gaz.

 V = Volume occupé par le gaz
avec:  m = Masse d'un atome ou d'une molécule.

 V 2 = Moyenne du carré de la vitesse des atomes

 ou des molécules du gaz.
( V 2 =V* = Vitesse quadratique moyenne ou vitesse
efficace).
La moyenne du carré de la vitesse des atomes ou des
molécules du gaz est donnée par:
N
2 +V 2 +...+V 2 +...+V 2
V
i
N
1
2
1
= Vi 2
V2 =
N
N i =1
avec Vi = vitesse de l’atome i.
III.4. Température du gaz parfait
La température du gaz parfait est définie comme étant
proportionnelle à son énergie cinétique moyenne:
1m V 2
V 2 = 0.
=
aT
(a
=
constante),
à
T
=
0°K
2
Au zéro absolu, il n’y a plus d’agitation moléculaire.
2

III.5. Propriétés du gaz parfait
Le gaz parfait vérifie un certain nombre de lois qui ont été
vérifiés par l’expérience. Nous essayons ici, de montrer leurs
validités en utilisant les relations:
P= 1 N mV *2
3V
1m V 2
=aT
2

a. Loi de Mariotte
Le produit PV est une constante à température constante.
P= 1 N mV *2
3V

On a:

(1)

1
2 mV*²= aT  mV*² = 2aT

(2) dans (1)

On pose

(2)

1
 PV = 3 N(2aT)
2
 PV = 3 NaT
2
k= 3 a = constante de Boltzmann:
k= 1,38054.10-23Jouke/°K.
 PV = N kT

À T = constante  PV = constante.
 La loi de Mariotte est vérifiée.
b. Loi de Guy Lussac
Un gaz obéit à la loi de Guy Lussac si à pression
constante, son volume est proportionnel à la température
absolue T.
3

Considérons un gaz qui évolue d’un état initial (Po, Vo, To)
vers un état (P=Po, V, T). La transformation étant isobare.
On a:

PV = N kT

Etat (Po, Vo, To) → PoVo = N kTo
Etat (P = Po, V, T) → PoV = N kT

(1)
(2)

V
(2)
T
V

=  V = ( o )T
(1) V
T0
To
o
La variation du volume est donc linéaire en fonction de T.

c. Loi de Charles
Un gaz obéit à la loi de Charles, si à volume constant, la
pression est proportionnelle à la température T.
Considérons un gaz qui évolue à volume constant d’un
état initial (Po, Vo, To) vers un état (P, V= Vo, T). On peut
alors écrire:
Etat (Po, VO, To) → PoVo = N kTo
Etat (P, V=VO, To) → PVo = N kT

(1)
(2)

(2)
P
T
P

=
 P = ( o )T
(1)
Po To
To
 P varie linéairement avec T.
Remarque:
4

Un gaz qui obéit aux lois de Gay-Lussac et de Charles est
un gaz parfait (obéit à la loi de Boyle-Mariotte).
Démonstration :
Loi de Gay-Lussac : à P=Cte, V/T=Cte. Si on change la
valeur de P, la valeur de la constante change et donc c’est une
fonction de P  V/T =  (P).
Loi de Charles : à V=Cte, P/T=Cte. Si on change la
valeur de V, la valeur de la constante change et donc c’est une
fonction de V  P/T =  (V) . En réunissant ces deux
résultats, on obtient :
V
P
=
T=  ( P)  (V ) . Soit V  (V)=P  (P) = Cte = C, puisque la
relation doit être vraie quels que soient V et P. On en déduit
que  (V)=C/V soit encore PV = CT.
d. Loi d’Avogadro
Des volumes égaux, de tous les gaz, pris dans les mêmes
conditions de température et de pression, renferment le même
nombre d’atomes ou de molécules.
En effet : Soient deux gaz G1 et G2 qui contiennent
respectivement N1 et N2 molécules ou atomes. Alors, on peut
écrire:
G1 → P1V1 = N1 kT1
G2 → P2 V2 = N2 kT2
P1=P2
V1=V2
T1=T2



  N1=N2



On pose N = nN avec :
N = nombre d’Avogadro,
n = nombre de moles,
5

N = Nombre d’atomes ou de molécules,
N = 6,02252.1023 atomes ou molécules.
Remarque : n = 1  N = N. Une mole de n’importe quel gaz
contient 6,02252 .1023 atomes ou molécules.
e. Loi de Dalton
La pression d’un mélange idéal de gaz parfait est égale à
la somme des pressions partielles des différents constituants
du mélange.
On appelle pression partielle de l’un des constituants du
mélange, la pression qu’il exerçait s’il occupait seul le volume
du mélange.
j

Soit

N= N1 + N2 + …+Ni + …Nj =  Ni
i =1

Avec Ni = Nombre d’atomes ou de molécules du mélange du
gaz i
N = Nombre d’atomes ou de molécules du mélange
supposé être gaz parfait.
On a :
PV = NkT = (N1 + N2 + …+Ni + …Nj) kT
 PV = N1kT + N2 kT ... +Ni kT +…+NjkT
 PV= P1V + P2V+ …+PiV + …+PjV
i

P

 P = P1 + P2 + P3+ Pi + …Pj =

i =1

i

donc:

i

P=

P

i

i =1

Avec Pi = Pression partielle du gaz i.
f. Forme courante de l’équation d’état d’un gaz parfait
6

On a : PV = NkT et N = nN  PV = nNkT.
On pose : Nk = R = 8,314 Joule/moles°K = Constante des
gaz parfaits.
L’équation d’état du gaz parfait s’écrit alors:
PV = nRT
Avec : P= Pression du gaz qui s’exprime dans le système
international en Pascal (Pa) : 1Pa=1N/m²,
V= Volume du gaz,
T= Température du gaz, s’exprime en Kelvin (°K),
N= Nombre de moles contenues dans le volume V.
Si m est la masse du gaz et M sa masse molaire, alors le
nombre de moles est donné par n=m/M.
III.6. VOLUME MOLAIRE DANS LES CONDITIONS
NORMALES DE TEMPERATURE ET DEPRESSION
ET MASSE VOLUMIQUE D’UN GAZ PARFAIT
a. Volume molaire d’un gaz parfait dans les conditions
normales de température et de pression
Les conditions normales de température et de pression
sont telles que:
Po = 1 atm = 105Pa.
To = 273,15°K → to =0°C.
Le volume molaire dans les conditions normales de
température et de pression est le volume occupé par une mole.
P0 V0 = RT0 V0 =
V0 =

RT0
P0

8,314.273,15
=22,414.10−3m3 =22,414
5
10

7

m

b. Masse volumique  =
V , d’un gaz parfait.

m
m
RT

MP
=
RT =  RT
On a : PV = nRT = M
V



=

MP
RT

Les unités de  dans le système SI sont (Kg/m3).
On note que dans le cas de l’air, on a l = l(z), P = P(z) et T = T(z),
avec z = altitude.

8


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