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Corrigé de la série 2
Départ. de Maths et Informatique
Algèbre 3-SMAI (5ème séance ) Année universitaire: 2019-2020

Université Hassan II
Faculté des Sciences Ben M’Sick

Équipe pédagogique :
Pr. Abderrahim ELADRAOUI

Pr. Mohamed AZOUAZI

Pr. Abdelouahab CHKIRIBA

Pr. Mustapha RACHIK
(Coordonnateur du module)

Exercice.1






−1 2 4 



A=
 1 5 1 



2

et

 0

B=
 1




−1 3 0 

2 4 1 


1
0

0 −2

3 5

3

0 1



(i) A + B est impossible car A ∈ M3 (R) et B ∈ M3×5 (R).
(ii) A est de type (3, 3) et B est de type (3, 5). Alors le produit de A × B est possible car le nombre
de colonnes
 de type (3, 5).
 nombre de lignes deB etA × B est une matrice
 au
 de A est égal
−1 2 4   0 1 −1 3 0   2 −9 17 9 6 












5 1 
× 1

A×B =
 1
2

3 5

0

0 −2











2



4 1 
 =  5 −1 12 23 6 

3

0 1

3 −8 19 18 8



(iii) B × A est impossible car B est de type (3, 5) et A est de type (3, 3).




 0

1

0 


 1 0



t
(iv) B =  −1 2


 3 4



0



−1 




est de type (5, 3), donc t B × A est possible et
3 



0 


1

1







 0 1

 1 0


tB × A = 
 −1 2


 3 4



0

1



1
5
1 
 
 




−1 
 −1 2 4   −5 −4 −6 
 


 

 
× 1 5 1 
=  9 17 13 
3 

 


 




26 16 
0 
2 3 5
 1




0 

3

1

8

6

————————————————————————————————————————————
Exercice.2




−6

A=


−7 

3



6


 ,







 −2 3 

 et C = 

B=


2



3



−6 −7  −6 −7  1 0 
(i) A2 = 
×
=
 = I2
3
6
3
6
0 1

A3 = A2 × A = I2 × A = A et A4 = A3 × A = A × A = A2 = I2 .
1



2

1 

−4 −2



Université Hassan II
Faculté des Sciences Ben M’Sick

Corrigé de la série 2
Départ. de Maths et Informatique
Algèbre 3-SMAI (5ème séance ) Année universitaire: 2019-2020

— Si n est pair, i.e., n = 2p avec p ∈ N, alors An = I2 .
— Si nest impair,
 p ∈ N,
 i.e.,
 n = 2p +1 avec
 −2 3   −2 3   −2 3
(ii) B 2 = 
=
×
2 3
2 3
2 3

alors
An = A.


 = B.

B 3 = B 2 × B = B × B = B 2 = B.



 I2 , si
n
On peut montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, B =






(iii) C 2 = 

2

1 



−4 −2






×

2

n = 0;

B, si

n 6= 0.




I2 , si




n = 0;

si

n = 1;

si

n ≥ 2.





 0 0 

=

1 

−4 −2

0 0

On peut montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, B n =

C,




 0,

————————————————————————————————————————————
Exercice.3




−1 −1 −1 


A=
1 −1 
 1



−1 −1







−1 −1 −1  −1 −1 −1

 

1. A2 = 
1 −1 
1 −1
 1
× 1


−1 −1

1





−1 −1

1





1












  3 −1 −1
 
 = −1 3 −1
 


−1 −1

3

2. A2 = 2I2 + A
3. A est inversible ssi il existe B ∈ M3 (R) tq A × B = B × A = I3 .
On a A2 = 2I2 + A. Donc 21 A2 − 12 A = I3 . Alors A × ( 12 A − 12 I3 ) = ( 21 A − 12 I3 ) × A = I3


Ainsi A est inversible et

A−1

=

1
2A



1
2 I3

1

−1
=
 2

−1
2

−1
2

−1
2

1

−1
2

−1
2

1








——————————————————————————————————————————Exercice.4


0 1 0 0



0 0 1

J =

0 0 0






1 −1






0

 et A = I − J = 


1 
0



0 


0 0 0 0

0

2

0

0





1

−1

0 


0

1

−1 


0

0



1



Université Hassan II
Faculté des Sciences Ben M’Sick


0 1 0 0



0 0 1

2
1. J = 

0 0 0


Corrigé de la série 2
Départ. de Maths et Informatique
Algèbre 3-SMAI (5ème séance ) Année universitaire: 2019-2020




0 1 0 0

 
 

0 
 0 0 1
×

1 
 0 0 0
 

0 1 0 0



0 0 1

J3 = 

0 0 0


0 0 1 0



0 0 0

×
 
1  0 0 0
 



0 


0 1 0 0



0 0 1

4
J =

0 0 0


0 0 1 0

 
 

0 
 0 0 0
=

1 
 0 0 0
 







0 0 0 1



0 0 0

=
 
0  0 0 0
 



0 0 0 1

 
 

0 
 0 0 0
×

1 
 0 0 0
 







0 




0 0 0 0

 
 

0 
 0 0 0
=

0 
 0 0 0
 



0 


0 0 0 0






0 


0 



0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0



1 


0 





1 








0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0





0 0 0 0

0 0 0 0





Ainsi J est nilpotente d’indice 4.
2. On sait que I − J 4 = I. Or I = I − J 4 = (I − J)(I + J + J 2 + J 3 ) = (I + J + J 2 + J 3 )(I − J),
alors A = I − J est inversible et A−1 = I + J + J 2 + J 3
————————————————————————————————————————————
Exercice.5
On calcule l’inverse de A par la méthode d’échelonnement (ou méthode de GAUSS).
l1
l2



4 



A=
1 0 −1 


l3

l1
l2 − l1
l3 − 2l2



1 2



1

2 1

1





2

4 


0 −2 −5 




0 −3 −7

3











1 0 0 



I3 = 
0 1 0 

0 0 1













 1 0 0

−1 1 0


−2 0 1

Université Hassan II
Faculté des Sciences Ben M’Sick

Corrigé de la série 2
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l1

1

0



l2 − l3

1

l1



4 

2 


0 −3 −7

l3

 1

 1





−l3 − 3l2

















0 0 1

l1 − 4l3

 1

 1


l3

l2





l3

0 0 1







2 1

1





−1 −3




 3



2

7

2













4





−8 

−5 

2



2 

−1
−5 
=A

7

0 0 1

2



−1 −2

−1 −3

De même pour la matrice B.



−1 −3





0 

−1 


12

4  −1 −2 2  1 0 0 

 
 

 


On vérifie que : 
7 −5 
1 0 −1  ×  3
 = 0 1 0 
1 2

1

1

 5

 3





1 0 0 


0 1 0  = I3



0 

1 −1 


0



0 0 1

l1 − 2l2

0

−1 −3

1 2 0 


0 1 0 





l2 − 2l3



−2 0

1 2 4 


0 1 2 



l2



2






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