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Nom original: 19trigoTM2.pdfTitre: 19trigoTM2Auteur: Yvan MONKA

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1 sur 4

TRIGONOMÉTRIE
(Partie 2)
I.

Sinus et cosinus d’un nombre réel
1) Définitions :

 
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i ; j

(

)

et orienté dans le sens direct, on considère un cercle
trigonométrique de centre O et de rayon 1.
M est un point sur le cercle trigonométrique.
On appelle H et K les pieds respectifs des
perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe des
ordonnées passant par M.
Dans le triangle OHM rectangle en H, on a :

cos x =

OH
OM

Or OM =1, donc OH = cos x
cos x est donc l’abscisse de M.
On a également : sin x =

MH OK
=
= OK
OM OM

sin x est donc l’ordonnée de M.

Définitions :
Le cosinus du nombre réel x est l’abscisse de M et on note cos x.
Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée de M et on note sin x.
Exemple :

On lit sur l’axe des abscisses : cos 60 = 0,5.

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2) Valeurs particulières :
Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus à connaître :

x

0

sin x

0

cos x

1

π
6
1
2
3
2

π
4
2
2
2
2

π
3
3
2
1
2

π
2

π

1

1

0

0

Vidéo https://youtu.be/1l3SzSamBRk
3) Propriétés :
Propriétés :
1) −1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ cos x ≤ 1
2) cos2 x + sin2 x = 1
3) sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x

(

)

4) cos x = cos x + 2kπ où k entier relatif

(

5) sin x = sin x + 2kπ

) où k entier relatif

Remarque : (sinx)2, par exemple, se note sin2x.
Démonstrations :
1) Le cercle trigonométrique est de rayon 1 donc :
−1 ≤ sin x ≤ 1 et −1 ≤ cos x ≤ 1 .
2) Dans le triangle OHM rectangle en H, le théorème de
Pythagore permet d’établir que :
cos2 x + sin2 x = OM2 = 1.
3) Les angles de mesures x et –x sont symétriques
par rapport à l’axe des abscisses donc :
sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x .
4) 5) Aux points de la droite orientée d'abscisses x et
x + 2kπ ont fait correspondre le même point du cercle
trigonométrique.
Lire sur le cercle trigonométrique :
Vidéo https://youtu.be/ECNX9hnhG9U
Vidéo https://youtu.be/m6tuif8ZpFY
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II. Cosinus et sinus d'angles associés
Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus
égaux ou opposés.
Propriétés :
1) cos(−x) = cos x

2) cos (π + x ) = − cos x

et
et

sin(−x) = − sin x

sin (π + x ) = − sin x

3) cos (π − x ) = − cos x

et

sin (π − x ) = sin x

⎛π

4) cos ⎜ + x ⎟ = − sin x
⎝2


et

⎛π

sin ⎜ + x ⎟ = cos x
⎝2


⎛π

5) cos ⎜ − x ⎟ = sin x
⎝2


et

⎛π

sin ⎜ − x ⎟ = cos x
⎝2


Démonstrations :
Par symétries, on démontre les résultats :
1)

2)

3)

4)

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5)

Méthode : Résoudre une équation trigonométrique
Vidéo https://youtu.be/NlV2zKJtvc8
Résoudre dans ! les équations suivantes : a) cos x =

a) L'équation cos x =

3
2

b) sin x = −

3
a pour solution :
2


π
⎪⎪ x1 = 6 + 2kπ
où k est un entier relatif.

π
⎪ x = − + 2kπ
⎪⎩ 2
6

b) L'équation sin x = −

1
a pour solution :
2


π
⎪⎪ x1 = − 6 + 2kπ
où k est un entier relatif.

⎪ x = − 5π + 2kπ
⎪⎩ 2
6

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