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28 août 2013 à 12:15

Trigonométrie dans le cercle

Table des matières
1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
2
3

2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tableau des angles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Relations entre deux angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Angles opposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires .
2.3.3 Angles compléméntaires et opposés complémentaires .
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
6
6
6
6
7

3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente

PAUL M ILAN

1

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

8

S ECONDE B

1

ANGLES DANS UN CERCLE

1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 : On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal

→ −

direct (O; ı ;  ), le cercle de centre O et de rayon 1.

1

~
O

−1

1



−1

1.2 Le radian
Définition 2 : La radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré.
Il est défini comme la longueur de l’arc entre 2 points du cercle unité.
Le demi cercle unité a un longueur de π et donc correspond à un angle de π
radian. On a alors : 180˚=π rd

La mesure en degré de 1 radian vaut
donc :
180
1 rd =
≃ 57˚
π
Remarque : Le radian est une grande
unité qui n’est pas intuitive contrairement au degré qui est notre unité première.

1

~
1 rd
−1

O



1

Avantage : Permet de connaître la longueur d’un arc. Unité du système international

−1

Il est important de connaître les angles remarquables en radian :
Degré
Radian
PAUL M ILAN

30˚
π
6

45˚
π
4
2

60˚
π
3

90˚
π
2
S ECONDE B

1

ANGLES DANS UN CERCLE

Exemple : Convertir en radian les angles en degré suivants :
15˚

,

36˚

,

75˚

,

120˚

,

135˚

,

150˚

✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏
Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180˚=π rd, soit pour x

radian.
degré on a :
180
On obtient alors :
Degré

15˚
π
12

Radian

36˚
π
5

75˚

12

120˚

3

135˚

4

150˚

6

Exemple : Convertir en degré les angles en radian suivant :
π
8


12

,


18

,

,

11π
6

✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180˚=π rd, soit pour y
y 180
degré.
radian on a :
π
Radian

π
8


12


18

11π
6

Degré

22,5˚

105˚

50˚

330˚

1.3 Angles dans le cercle trigonométrique
Définition 3 : La mesure d’un angle α repéré par un point M dans le cercle
trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l’arc AM où A(1; 0)
Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire.
1

~

−1

O

+

M

α
β

On a représenté deux angles α et β dont
l’un est positif α et l’autre négatif β.


1

On remarquera que l’on a indiqué le
sens trigonométrique

M’
−1

On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est important de visualiser l’emplacement des angles pour s’en faire une idée.
PAUL M ILAN

3

S ECONDE B

1


3


4

6

π

ANGLES DANS UN CERCLE
π
2
b

b

π
3

b

b

π
4

b

b

π
6

b

b

b

b

0

O

- 5π
6
b

b

b

- 3π
4

b

b

- π6

- π4

b

- 2π
3

- π3

b

- π2

Propriété 1 : Un même angle α peut avoir plusieurs mesures.
Si un angle α, repéré par le point M sur le cercle trigonométrique, a comme mesures x et y, alors on a la relation suivante :
y = x + k 2π

ou plus simplement

y = x [2π ] y égal x modulo 2π

Exemple : Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d’un même angle :
Sur la figure ci-contre on a tracé deux
mesures d’un même angle repéré par
un point M.

1

~
y
−1

M
x

O



Par exemple x =

1

En effet :

π
11π
et y = −
.
6
6



π
(1 + 11)π
11π
=
− −
= 2π
6
6
6

−1

Définition 4 : On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure x qui se
trouve dans l’intervelle ] − π; π ]
17π
Exemple : Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :
4
31π
et −
6
PAUL M ILAN

4

S ECONDE B

2

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏
17π
est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombre k de tours (2π)
4
pour obtenir la mesure principale :
17π
π (17 − 8k )
π
− k 2π =
=
4
4
4

avec

k=2

31π

est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombre k de tours
6
(2π) pour obtenir la mesure princimale :



π (−31 + 12k )

31π
+ k 2π =
=
6
6
6

avec

k=3

2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions
Définition 5 : Soit un angle α repéré
par un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle :

K
b

M’

b

tan α

sin α

• cos α = OH projection de M sur l’axe
des abscisses

b

M

α
b

O

• sin α = OK projection de M sur l’axe
des ordonnées

cos α

b

H

b

A

• tan α = AM’ intersection de (OM)
avec la tangente en A
Remarque : Pour tout réel x, on a :

−1 6 cos x 6 1

et

− 1 6 sin x 6 1

2.2 Tableau des angles remarquables
Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien
connaître :

PAUL M ILAN

Angle

0

sin

0

cos

1

tan

0

π
6
1
2

3
2

3
3
5

π
4

2
2

2
2
1

π
3

3
2

π
2
1

1
2

0



?

3

S ECONDE B

2

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

2.3 Relations entre deux angles
2.3.1

Angles opposés

sin(−α) = − sin α
cos(−α) = + cos α
tan(−α) = − tan α

sin α

α
cos α
b

O

On peut constater que les fonctions sinus et tangente sont impaires tandis
que la fonction cosinus est paire

2.3.2



-sin α

Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires

Angles suppléméntaires
sin(π − α) = + sin α
cos(π − α) = − cos α
tan(π − α) = − tan α
Angles opposés supplémentaires

-cos α O

sin(π + α) = − sin α
cos(π + α) = − cos α
tan(π + α) = + tan α

2.3.3

sin α

π-α
b

α

cos α
-sin α

π+α

Angles compléméntaires et opposés complémentaires
π
2 -α

Angles complémentaires

π
− α = cos α
sin
2

π
− α = sin α
cos
2

cos α
α
b

O sin α

π
2 +α

cos α

Angles opposés complémentaires

π
+ α = cos α
sin
2
π

cos
+ α = − sin α
2

PAUL M ILAN

sin α
b

-sin α

6

α

O cos α

S ECONDE B

2

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle
Voici sur le cercle trigonométriques l’ensembles des lignes trigonométriques des
angles remarquables dans le cercle trigonométrique.

+

π
2


3




4

3
2


6

1
2

-

π

-

+

π
4



2
2

+



2
2

- 21

3
2


π+ 3
6 3



2
2



3

+ 1

π
3

+



- 21

- 5π
6

+

- 3π
4

- 2π
3



3
2

+

0



1
2

3
2

- π6 + -



2
2



3
3

- π4

+

- π2

- π3

+

-1

+

-



3

Exemple : Calculer le cosinus, le sinus et la tanglente des angles suivants :
π


,
,
3
6
4
✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏
π
• Avec −
3
π
1
π
= cos =
cos −
3
3
2

π
2
π
sin −
= − sin = −
3
3
2
π

π
= − tan = − 3
tan −
3
3



PAUL M ILAN

7

S ECONDE B

3

REPRÉSENTATION DES FONCTION SINUS, COSINUS ET TANGENTE

• Avec


6

• Avec

π

= − [2π ]
4
4



π
π
3

= cos π −
= − cos = −
cos
6
6
6
2



π
1
π
sin
= sin π −
= sin =
6
6
6
2



π
π
3
tan
= tan π −
= − tan = −
6
6
6
3


π
π

2
= cos −
= cos =
cos
4
4
4
2

π

2
π
sin
= sin −
= − sin = −
4
4
4
2


π

π
= tan −
= − tan = −1
tan
4
4
4

3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente
Les courbes des fonction sinus et cosinus s’appelle des sinusoïdes. Elle sont identiques à une tranlation près.
La courbe de la fonction tangente n’a pas de nom. On peut remarquer que la
π
+ kπ avec k ∈ Z.
fonction tangente n’est pas définie en
2

tan x

1.5

sin x

cos x 1.0
0.5

−3π
2

−π

−π
2

O

π
2

π


2

−0.5
−1.0
−1.5

PAUL M ILAN



8

S ECONDE B


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