Chapitre 9 Taux devolution .pdf


Nom original: Chapitre 9 Taux devolution.pdfAuteur: Clément HYVOZ

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Chapitre 9

Evolution et variations
I – Taux d’évolution
1°) Coefficient multiplicateur
Problème : Une montre coûte 220 € et suit une augmentation de 5%. Quel est le nouveau prix ?
Un bijou coûte 130 € et subit une diminution de 20%. Quel est le nouveau prix ?
Propriété : Soit a un nombre entier positif.
𝒂
 Augmenter une quantité de a % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 𝑪 = 𝟏 + 𝟏𝟎𝟎


𝒂

Diminuer une quantité de a % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 𝑪 = 𝟏 − 𝟏𝟎𝟎

Exemple :
5
 Augmenter une quantité de 5 % revient à la multiplier par 1 + 100 = 1,05.
1,05 × 220 = 231. Le nouveau prix est 231 €.



20

Diminuer une quantité de 20 % revient à la multiplier par 1 − 100 = 0,80
0,80 × 130 = 104. Le nouveau prix est de 104 €.
2°) Calcul du taux d’évolution

Propriété : Lorsqu’une quantité évolue d’une valeur initiale 𝑽𝑰 à une valeur finale 𝑽𝑭 :
𝑽𝑭 −𝑽𝑰
𝑽𝑰



Le taux d’évolution, notée 𝒕, est le rapport 𝒕 =



Le coefficient multiplicateur C et le taux d’évolution 𝒕 associés à une même évolution sont reliés



par la formule 𝑪 = 𝟏 + 𝒕.
Exemple: Un objet qui coûtait 58 € est soldé et coûte maintenant 40,60 €
1°) Déterminer le taux d’évolution associé.
𝑡=

𝑉𝐹 −𝑉𝐼
𝑉𝐼

=

40,6−58
58

= −0,3 = −30%. Le taux d’évolution est de -30%

2°) Déterminer le coefficient multiplicateur associé à cette évolution.
30

𝑐 = 1 + (− 100) = 0,7
3°) Evolutions successives
Définition : Quand une quantité subit deux évolutions successives, le
coefficient multiplicateur global 𝐶𝑔 est le coefficient
multiplicateur permettant de passer de 𝑉1 à 𝑉3 .
Propriété : Le coefficient multiplicateur global 𝑪𝒈 est le produit des coefficients multiplicateurs associés
à chaque évolution : 𝑪𝒈 = 𝑪𝟏 × 𝑪𝟐
Définition : Le taux d’évolution global, noté 𝑡𝑔 , associé entre deux évolutions est le taux d’évolution entre 𝑉1 et 𝑉3 .
Propriété : On a 𝒕𝒈 = 𝑪𝒈 − 𝟏.
Remarque : Attention ! Une baisse de 10% suivie d’une hausse de 30% ne correspond pas à une hausse de 20% !
Exemple 1 : Un prix qui coûte 90 € subit une réduction de 10% puis une hausse de 30 %.
Déterminer le coefficient multiplicateur global puis le taux d’évolution global. En déduire le prix final.

X 1,17
X 0,9

90 €

Baisse de 10%
10

X 1,3

81 €

105,3 €

Augmentation de 30%

30

On a 𝐶1 = 1 − 100 = 0,9 et 𝐶2 = 1 + 100 = 1,30 d’où 𝐶𝑔 = 𝐶1 × 𝐶2 = 0,9 × 1,3 = 1,17
Le coefficient multiplicateur global est 1,17.
𝑡𝑔 = 𝐶𝑔 − 1 = 1,17 − 1 = 𝟎, 𝟏𝟕.
Les deux évolutions successives correspondent à une seule augmentation de 17 %.

4°) Evolution réciproque
Problème : Un objet coûte 60,32 € après une augmentation de 4%. Quel était le prix de départ ?
Définition : Le taux d’évolution réciproque 𝐶𝑟 et coefficient multiplicateur réciproque 𝑡𝑟 sont les taux d’évolution et
coefficients multiplicateurs qui permettent de passer de la valeur finale à la valeur initiale.
Propriété : Soit 𝑪 le coefficient multiplicateur associé à l’évolution d’une quantité 𝑽𝑰 vers 𝑽𝑭 et t le taux
d’évolution associé.
𝟏

Le coefficient multiplicateur réciproque 𝑪𝒓 est donné par : 𝑪𝒓 = 𝑪
Le taux d’évolution réciproque 𝒕𝒓 est donné par 𝒕𝒓 = 𝑪𝒓 − 𝟏
4

Exemple 1 : Le coefficient multiplicateur associé à l’évolution est 𝐶 = 1 + 100 = 1,04
D’où 𝐶𝑟 =

1
1,04

= 0,9615

Enfin, 60,32 × 0,9615 = 58.
Le prix de départ était de 58 €.
X 1,04
60,32 €

?? €
X 0,9615

Exemple 2 : Après avoir augmenté tous ses prix de 20% avant Noël, un site marchand désire revenir à ses prix
d’origine qu’il a oubliés. De quel pourcentage doit-il diminuer ses prix ?
Augmenter une quantité de 20% revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 𝐶 = 1,2.
1

Le coefficient multiplicateur réciproque est 𝐶𝑟 = 1,2 = 0,8333.
D’où 𝑡𝑟 = 𝐶𝑟 − 1 = 0,8333 − 1 = 0,1677 = 16,77%.
Il doit diminuer ses prix de 16,77 %.

5°) Indice base 100
Problème : Le prix du pétrole est passé de 46,60 € le baril en septembre 2017 à 78,90 € le baril en septembre 2018.
Calculer l’indice associé.
Définition : Soient 𝑦1 et 𝑦2 deux réels positifs.
L’indice simple en base 100 de 𝑦2 par rapport à 𝑦1 est le nombre I que l’on trouverait si l’on avait eu 100
à la place de 𝑦1 .
On peut le déterminer grâce au tableau de proportionnalité suivant :
𝑦1

𝑦2

100

I

𝒚

Propriété : On a 𝑰 = 𝟏𝟎𝟎 × 𝒚𝟐
𝟏

Exemple 1 : On utilise le tableau de proportionnalité suivant :

On a 𝐼 =

100×78,90
46,60

46,60

78,90

100

I

= 169,3

L’indice associé à l’évolution du baril de pétrole est de 169,3.


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