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3APIC

Système d’équations

1)- Méthode de substitution :
Cette méthode consiste à exprimer une inconnue en
fonction de l’autre dans une équation et à substituer
l’expression trouvée dans l’autre équation.

Remarque : On utilise cette méthode lorsque l’une
des inconnues a pour coefficient «1» ou «-1»

Exercice 1 : Résoudre par substitution le
 x + 2 y = 11
système ( S ) 
5 x − 3 y = 3
On remarque dans l’équation ① que le
coefficient de x est 1. Alors on exprime x en
fonction de y dans cette équation : x + 2 y = 11
donc x = .................
On remplace … par ( ………. ) dans l’équation ②
5 x - 3 y = 3 devient alors 5(..........) - 3 y = 3
On développe : ............... - 3 y = 3

y = .....
............ = ..........
Pour calculer x on va remplacer y par sa valeur
dans l’expression trouvée à la première étape :
On a x = ................. donc x = ....................
➢ La solution du système est le couple (…. ; ….)
Exercice 2 : Résoudre par substitution :

 −2x + y = 1  − x + 3 y = 3  2 x + 9 y = 16
;; 
;; 

 5x − 2 y = 0  2 x − y = 4
x + 3y = 5
→ Exercice 13, 14 et 19 page 219

Mustapha Dahamou

On calcule y : y = ...
On remplace y par la valeur trouvée dans une des
deux équations (ici la première) :
−2 x + 3 y = 0 devient −2 x + 3  ... = 0
Donc −2 x + ... = 0 −2 x = .... d’où x = ...
➢ La solution du système est le couple (…. ; ….)

Exercice 4 Résoudre par combinaison
− x + 3 y = 3 2 x + 3 y − 5 = 0
 2x + y = 5
;; 
;; 

2 x − y = 4
 5 x + 6 y − 14 = 0 5x − 4 y = 19
→ Exercice 15 et 16 page 219
Exercice 5 Résous par la méthode de ton choix :
 8 x + 12 y = 20
 5 x + 2 y = 1  5 x + 3 y = 69
;; 
;; 

10
x

10
y
=
150
4
x

3
y
=
10


 x + y = 15
Exercice 6 Résous par la méthode de ton choix :
 − 2 x + 3 y = 1  4( x − 1) − (3 y + 4) = −3
‫ ؛؛‬ x + 1 y − 1

 3 x − 2 y = 0
 3 + 2 = 1
Exercice 7
Dans une boulangerie, Karim a acheté quatre
croissants et un petit pain au chocolat pour 12dh.
Salma a acheté, au même endroit, deux croissants
et trois petits pains au chocolat pour 11dh.
Retrouve le prix d’un croissant et celui d’un petit
pain au chocolat.

2)- Méthode de combinaison linéaire Exercice 8
Cette méthode consiste à faire apparaître des
coefficients opposés (ou égaux) pour l'une des
inconnues, en multipliant les équations par des
nombres bien choisis. En additionnant (ou en
soustrayant) membre à membre les deux équations
obtenues, on obtient une équation à une inconnue

Exercice 3 Résoudre par combinaison
 −2 x + 3 y = 0
linéaire le système :

6 x − 8 y = 4
Pour rendre opposés les coefficients de x, on
multiplie l’équation ① par ….. et on multiplie
l’équation ② par ….

 ...  ( −2 x + 3 y ) = ...  0
 ..... + ..... = ....
 

 ...  (6 x − 8 y ) = ...  4
 ..... − ..... = ....
On obtient ainsi des coefficients opposés devant x
On soustrait « terme à terme » les deux équations,
pour éliminer x : ………………………………………….

Un musée propose un tarif pour les adultes à 70
DH et un tarif pour les enfants à 45 DH. Lors d'une
journée, ce musée a reçu la visite de 205
personnes et la recette totale a été de 12225 DH.
Retrouver le nombre d'adultes et le nombre
d'enfants ayant visité le musée lors de cette
journée.

Exercice 9
Aziz a dit à son fils Rayane
<< Avec 65 pièces de monnaies toutes de 5 et 10
dirhams, j'ai une somme de 500 dirhams. Combien
ai-je de pièces de chaque sorte ?>>

Exercice 10
Un troupeau est composé de dromadaires et de
chameaux. On compte 90 têtes et 152 bosses.
Sachant qu’un dromadaire a une bosse et un
chameau 2, combien y a-t-il d’animaux de chaque
espèce ?


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