Devoir libre 5 19.20 .pdf


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‫‪s.Ð‬ﻌ‪ dy‬أﻣﺠ‪A‬و‪M‬‬
‫اﻟ‪r‬ﻳ‪‹AyRA‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬

‫‪1:‬‬

‫𝑥𝑑‬
‫𝑥𝑑 )‪ln (𝑒𝑥 − 1‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬

‫›‪A‬ﻧ‪w‬ﻳ‪ T‬اﻟﻌ‪r‬ﻓ‪A‬ن اﻟ‪t‬ﺄﻫ‪Tyly‬‬

‫أﺣ‪s‬ﺐ اﻟ‪Akt‬ﻣﻼ‹ اﻟ‪At‬ﻟ‪: Ty‬‬

‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪ Ty‬ﻋ‪wl‬م اﻟﺤ‪Ay‬ة و اﻷ‪ |C‬و ﻋ‪wl‬م ﻓ‪zy‬ﻳ‪A‬ﺋ‪Ty‬‬
‫ﻓ‪ |r‬ﻣ‪zn‬ﻟﻲ ‪2‬‬

‫‪𝑒2‬‬

‫‪1‬‬
‫)𝑥(‪𝑥 ln‬‬

‫︁∫‬

‫‪𝑒𝑥 − 1‬‬

‫‪(3‬‬

‫︁∫‬

‫‪(5‬‬

‫𝑥𝑑)𝑥(‪(𝑥5 + 𝑥3 ) ln‬‬

‫م‪ .‬أ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫𝑒‬

‫‪ln 3‬‬

‫𝑥𝑒‬

‫√‬
‫𝑥𝑑‪𝑥 𝑥 − 2‬‬

‫‪3‬‬

‫𝑒‬

‫‪1‬‬

‫︁∫‬
‫‪(4‬‬

‫𝑥𝑑 𝑥𝑒)𝑥 ‪(1 −‬‬

‫م‪ .‬أ‬

‫‪ln 2‬‬

‫︁∫‬

‫𝜋‬

‫‪𝑒2‬‬

‫︁∫‬
‫‪(6‬‬

‫︁∫‬

‫𝑥𝑑 ))𝑥(‪𝑐𝑜𝑠 (ln‬‬

‫م‪ .‬أ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2:‬‬
‫‪.𝑍 2 − 2𝑍 + 2 = 0‬‬

‫‪(1‬‬

‫ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ C‬اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪: T‬‬

‫‪(2‬‬

‫ﻧﻌ‪ rbt‬ﻓﻲ اﻟ‪wtsm‬ى اﻟﻌ‪dq‬ي اﻟ‪ 𝐴 Xqn‬و 𝐵 و 𝐶 اﻟ‪t‬ﻲ أﻟﺤ‪A‬ﻗ‪ Ah‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪wt‬اﻟﻲ ‪:‬‬
‫‪𝑎=2‬و𝑖‪𝑏=1+‬و𝑖‪.𝑐=1−‬‬

‫‪𝑐ℎ‬‬
‫𝑎‪𝑏−‬‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫ب‪ -‬ا‪ –tntF‬أن‬

‫اﻟ‪As‬ﻗ‪y‬ﻦ و ﻗ‪A‬ﺋﻢ اﻟ‪z‬اوﻳ‪ T‬ﻓﻲ 𝐴 ‪.‬‬

‫𝑢𝑜‬

‫‪(3‬‬

‫𝑖‪= −‬‬
‫𝑎‪𝑐−‬‬
‫اﻟ‪ 𝐴𝐵𝐶 ”l“m‬ﻣ‪Ast‬وي‬

‫ﻟ‪ky‬ﻦ 𝑍 ﻟﺤﻖ اﻟ‪ 𝑀 TWqn‬و ‪ 𝑍 ′‬ﻟﺤﻖ اﻟ‪Cw} 𝑀 ′ TWqn‬ة 𝑀 ﺑ‪A‬ﻟ‪d‬و‪C‬ان 𝑅 اﻟ@ي ﻣ‪r‬ﻛ‪z‬ه 𝐴 و ‪E‬اوﻳ‪t‬ﻪ‬

‫𝜋‬
‫‪2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪𝑍 ′ = 𝑖𝑍 − 2𝑖 + 2‬‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ‪:‬‬

‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬

‫ب‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪ 𝐶 TWqn‬ﻫﻲ }‪Cw‬ة 𝐵 ﺑ‪A‬ﻟ‪d‬و‪C‬ان 𝑅 ‪.‬‬
‫‪(4‬‬

‫ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪r‬ﺑ‪A‬ﻋﻲ 𝐶𝑂𝐵𝐴 ﻣ‪r‬ﺑﻊ‪.‬‬

‫اﻟ‪rmt‬ﻳﻦ‬

‫‪3:‬‬

‫𝐼‪ :‬ﻧﻌ‪ 𝑔 rbt‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ ]0; +∞[ Yl‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ‪:‬‬

‫𝑜𝑟‬
‫‪𝑓.‬‬
‫𝐴‬

‫‪5‬‬

‫‪.𝑔(𝑥) = 2𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 − 1‬‬

‫‪4‬‬

‫) 𝑔𝐶( اﻟ‪y“mt‬ﻞ اﻟ‪Aybm‬ﻧﻲ ل 𝑔 ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪(.‬أﻧ\‪r‬‬
‫اﻟ‪kK‬ﻞ ﺟ‪A‬ﻧ‪b‬ﻪ)‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫𝑃‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪(1‬‬

‫ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟ‪Aybm‬ن ﺣ‪d‬د إ‪CAJ‬ة اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑔 T‬ﻋ‪ Yl‬ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳ‪.Ahf‬‬
‫‪2‬‬

‫‪(2‬‬

‫ﺗﺤ‪q‬ﻖ أن‬

‫𝑥‬

‫‪2‬‬

‫‪: 𝑥 ↦→ 𝑥2 ln 𝑥 −‬‬

‫𝐻 داﻟ‪ T‬أ}‪ Tyl‬ﻟ‪dl‬اﻟ‪T‬‬
‫‪2‬‬

‫ا‪ –tntF‬ﻗ‪ Tmy‬اﻟ‪Akt‬ﻣﻞ ‪:‬‬

‫𝑥 ‪.ℎ : 𝑥 ↦→ 2𝑥 ln‬‬

‫︁∫‬

‫𝑥𝑑𝑥 ‪2𝑥 ln‬‬

‫‪.‬‬
‫‪1‬‬

‫‪(3‬‬

‫إ‪ –tntF‬ﻣ‪As‬ﺣ‪ T‬اﻟﺤ‪ zy‬اﻟ‪wlm‬ن ﻓﻲ اﻟ‪y“mt‬ﻞ اﻟ‪Aybm‬ﻧﻲ أﻋﻼه‪.‬‬

‫‪Prof :Said AMJAOUCH‬‬

‫اﻟ‪fO‬ﺤ‪ 1 T‬ﻣﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪2019/2020‬‬

‫‪s.Ð‬ﻌ‪ dy‬أﻣﺠ‪A‬و‪M‬‬
‫اﻟ‪r‬ﻳ‪‹AyRA‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪ Ty‬ﻋ‪wl‬م اﻟﺤ‪Ay‬ة و اﻷ‪ |C‬و ﻋ‪wl‬م ﻓ‪zy‬ﻳ‪A‬ﺋ‪Ty‬‬
‫ﻓ‪ |r‬ﻣ‪zn‬ﻟﻲ ‪2‬‬

‫›‪A‬ﻧ‪w‬ﻳ‪ T‬اﻟﻌ‪r‬ﻓ‪A‬ن اﻟ‪t‬ﺄﻫ‪Tyly‬‬

‫𝐼𝐼‪( :‬إﺧ‪CAyt‬ي)‬
‫ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑓 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﻋ‪ ]0; +∞[ Yl‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ‪:‬‬
‫) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪An‬ﻫ‪ A‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪ .‬اﻟ‪w‬ﺣ‪d‬ة‬
‫‪(1‬‬

‫ﺗﺤ‪q‬ﻖ أن‬
‫و‪R‬ﻊ 𝑥‬

‫√‬

‫∞‪lim 𝑓 (𝑥) = +‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪1‬‬
‫𝑥‬

‫‪.𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 + ln2 𝑥 +‬‬

‫𝑚𝑐‪.1‬‬

‫›ﻢ ﺑ‪y‬ﻦ أن ) 𝑓𝐶( ﻳ‪bq‬ﻞ ﻓ‪r‬ﻋ‪lJ A‬ﺠ‪ Aym‬ﺑ‪A‬ﺗﺠ‪A‬ه ﻣﺤ‪ Cw‬اﻷﻓ‪y}A‬ﻞ ﺑﺠ‪w‬ا‪. +∞ C‬‬

‫(ﻳ‪km‬ﻦ‬

‫=𝑡)‬

‫∞‪lim 𝑓 (𝑥) = +‬‬

‫‪(2‬‬

‫ﺑ‪y‬ﻦ أن‪:‬‬

‫‪(3‬‬

‫أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن‪:‬‬

‫‪𝑥→0+‬‬

‫)𝑥(𝑔‬
‫‪𝑥2‬‬

‫›ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬

‫= )𝑥( ‪𝑓 ′‬‬

‫; [∞‪. ∀𝑥 ∈]0; +‬‬

‫ب‪ -‬إ‪ –tntF‬أن 𝑓 ﺗ‪An‬ﻗ‪ TyO‬ﻗ‪W‬ﻌ‪ A‬ﻋ‪ ]0; 1[ Yl‬وﺗ‪z‬اﻳ‪d‬ﻳ‪ T‬ﻗ‪W‬ﻌ‪ A‬ﻋ‪Yl‬‬

‫[∞‪.[1; +‬‬

‫‪𝑐ℎ‬‬

‫ب‪R -‬ﻊ ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ 𝑓 ‪.‬‬
‫‪(4‬‬

‫ﺑ‪y‬ﻦ أن اﻟ‪m‬ﻌ‪A‬دﻟ‪ 𝑓 (𝑥) = 0 T‬ﺗ‪bq‬ﻞ ﺣ‪yl‬ﻦ 𝛼 و 𝛽 ﺑﺤ‪ 0 < 𝛼 < 1 ”y‬و ‪. 2 < 𝛽 < 3‬‬

‫‪(5‬‬

‫أﻧ‪K‬ﺊ ) 𝑓𝐶( ‪.‬‬

‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬

‫𝑢𝑜‬

‫وﻓ‪kq‬ﻢ اﻟ‪l‬ﻪ‬

‫𝑜𝑟‬
‫‪𝑓.‬‬
‫𝐴‬
‫𝑃‬

‫‪Prof :Said AMJAOUCH‬‬

‫اﻟ‪fO‬ﺤ‪ 2 T‬ﻣﻦ‬

‫‪2‬‬

‫‪2019/2020‬‬


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