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SÉRIE DE RÉVISION

SECTION : 4ème Sciences Expérimentales

✫✫N°:1✫✫

MATHÉMATIQUES

Année scolaire : 2019/ 2020

Exercice n°1 :

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) .
(1) Résoudre dans ℂ, l’ équation : z2  2 3 z  4  0 .
(2) On considère l’équation (E) : z3  2( 3  1) z 2  4(1  3) z  8  0
a –Vérifier que 2 est une solution de (E).
b –Résoudre dans ℂ l’équation (E).
(3) On considère A(z1) ; B(z2) avec z1  2 et z2   3  i et I=A  B .
a –Ecrire z 2 sous la forme trigonométrique puis placer A et B dans le repère (O,i,j) .
b –Montrer que OAB est un triangle isocèle et en déduire une mesure de l’angle (OA,OI) .
c – Calculer OI et en déduire la forme trigonométrique de z1 .
d –En déduire les valeurs exactes de cos(

5
5
) et sin( ). .
12
12

(4) a – Résoudre dans ℂ l’équation z5 =2eiθ (avec θ  )
b –En déduire les solutions de l’équation z10  2 3 z5 +4  0 .

Exercice n°2 :
On donne dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v) les points A et B d’affixes
π



respectives a  2e 6 et b  2e 4 
(1) a-Construire les points A et B.
b – Ecrire a et b sous forme algébrique.
(2) La droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par A et la droite parallèle à l’axe des abscisses
passant par B se coupent en un point C.
a – Déterminer l’affixe c du point C.

page 1

b – Vérifier que c2 =1  2i 6  .
(3) On considère le point D d’affixe c².
a – Montrer que OD=5.
b – En déduire une construction de D .
(4) Résoudre dans ℂ l’équation : 2z2 - 2z - i 6=0
On désigne par z1 la solution dont la partie réelle et la partie imaginaire sont positives et par z 2
l’autre solution.
(5) Soit les points I,M1et M2 d’affixes respectives 1, z1 et z 2 .
a – Justifier que M1 est le milieu du segment [IC].
b – Montrer que le quadrilatère OCM1M2 est un parallélogramme.
c – Construire les points M1et M2.

Exercice n°3
L’espace est rapporté à un repère orthonormé R(O,i,j)
On considère les points A’1,0,1),B(-1,2 ,2) et C(-1,0,1) et le plan Q :2x-2y-z-4=0.
Ⅰ)(1) a-Vérifier que ABC est un triangle rectangle en C.
b-Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est y-2z+2=0 et que (ABC) est
perpendiculaire à Q.
(2) Soit ∆ l’axe du cercle C circonscrit au triangle ABC.

 x=0

Prouver qu’une représentation paramétrique de ∆ est : y=1 ,  
 3
z= -2 
 2

(3) Soit M un point quelconque de ∆ .Calculer la distance du point M au plan Q.
(4) Montrer qu’il existe uniquement deux sphères S1 et S2 passant par les points A,B et C
et tangentes au plan Q. Pour chacune des deux sphères, on précisera le rayon et le centre.
Ⅱ) Soit l’ensemble S des points M(x,y,z) tels que : x² + y² + z² – 2y – 3z + 1=0.

page 2

(1) Montrer que S est une sphère passant par A,B et C.
(2) Montrer que S ∩ Q =  .
(3) Déterminer les plans Q1 et Q2 parallèles à Q et qui coupent S selon deux cercles de rayon

5

2

x 0
Ⅲ) On donne la droite D de représentation paramétrique : y ,
z 2
(1) Etudier la position relative des deux droites D et (AC).
(2) On désigne par
a –Prouver que

est l’ensemble des points de l’espace équidistants des droites D et (AC).
est l’ensemble des points M(x,y,z) tels que : x² – y² – 2z + 3 = 0.

b –Soit R le plan d’équation : y= –1.
Déterminer la nature de la section de l’ensemble

par le plan R.

Exercice n°4 :





Soit dans ℂ l’équation (E) : z² - 5- 4i z -3-15i=0
(1) a-Vérifier que (5  2i)2 =21+20i.
b – Résoudre dans ℂ l’équation (E).
(2) Soit dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O,u,v) les points A(-3i),B(5-i), A’(-3)
et B’(1+5i).
a – Placer les points A,B,A’ et B’.
b – Montrer que les triangles OAA et OBB’ sont rectangles et isocèles.
(3) Soit M un point de la droite (AB) d’affixe z M .
a – Montrer qu’il existe un réel k tel que zM  5k+(2k -3)i.
b – Montrer que les droites (OM) et (A’B’) sont perpendiculaires si et seulement si M=A*B.
Vérifier dans ce cas que A’B’=2OM.

page 3

Exercice n°5 :
Ⅰ) La courbe (C) de la figure ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie sur
0,   et dérivable sur  0,   .

*La droite T est la tangente à (C) au point d’abscisse 1.
*la courbe (C) admet une branche parabolique de direction asymptotique celle de l’axe des ordonnées.
*La courbe (C) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x0.
y

2

T

1

0.5

-1

0

1

1/e

x0

2

x

-1

-2

(C)

(1) Par lecture graphique, donner :

page 4

1
f(x)
f(x)  1
a – f(1), f'(1) , f'( ) , lim
et lim
x  x
x
e x 0
b –Le signe de f(x) pour tout x  0,   .
(2) On suppose que pour tout x   0,   : f(x)  a 

1
1
bx  cx(Ln x)2 .
2
2

a – En utilisant la première question, montrer que : a  1, b  -1 et c  -1.
b –En déduire que pour tout x   0,   : f '(x)  

(1  Lnx)2
.
2

1 
1
c – Montrer que pour tout : x   ,1 , f '(x)  
2
e 
(3) Montrer que l’équation : f(x)=x admet une unique solution   0,   et vérifier que

1
   1.
e


1
 u0 
(4) Soit (u n ) la suite définie sur ℕ par : 
2
u n 1  f(u n )


1
 u n  1.
e

a – Montrer que pour tout n 

:

b – Montrer que pour tout n 

: u n+1  α 

c – Montrer que pour tout n 

1 1
: u n -α  ( ) n -α et en déduire que la suite ( u n ) converge vers α .
2 2

Ⅱ) Soit g la fonction définie sur  0,   par :
On désigne par

1
u n -α .
2

g(x)  1 

1 (Ln x)²


2x
2x





sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j .

1
x

(1) a-Vérifier que pour tout x   0,   : g(x)  f( ) .
b – En déduire que g est dérivable sur  0,   et que g'(x) 

(1  Ln x)²

2x²

c – Dresser le tableau de variations de g.
d – vérifier que g(
(2) a-Tracer

1
)  0 et en déduire le signe de g(x) sur  0,   .
x0

.(On prendra x0  1,62 ).

b – Calculer l’aire du domaine du plan limité par

x  1 et x  e

 , l’axe des abscisses et les droites d’équations :

page 5


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