Chapitre 7 fonctions exponentielles .pdf


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Fonctions

Chapitre 7 :

exponentielles
I°) Extension de 𝒂𝒏
Rappel : Soit 𝑎 un nombre réel strictement positif. Soit 𝑛 un entier naturel, alors :

Définition : Il existe une fonction 𝑓 définie et dérivable sur ℝ , qui à 𝑥 associe 𝑎 𝑥 (se lit a exposant 𝑥)
La fonction 𝑥 ⟼ 𝑎 𝑥 est appelée fonction exponentielle de base 𝒂.
Exemple :
Une population de levures double toutes les heures. Cette population est modélisée par la fonction 𝑓 telle que
𝑓(𝑡) = 2𝑡 où 𝑡 est le temps en heures.
1. Combien de levures y aura-t-il au bout de 8 heures ?
𝑓(8) = 28 = 256. Il y a 256 levures au bout de 8h.
2. Combien de levures y aura-t-il au bout de10h30min ?
10h30min = 10,5 h et 𝑓(10,5) = 210.5 = 1448. Il y a 1448 levures au bout de 10h30min.
II°) Propriétés algébriques
Propriétés : Soit 𝑎 un réel strictement positif. Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 :
 𝒂𝒙 > 𝟎
 𝒂𝒙 × 𝒂𝒚 = 𝒂𝒙+𝒚
𝟏
𝒂𝒙



𝒂−𝒙 =



𝒂𝒙
𝒂𝒚




(𝒂𝒙 )𝒚 = 𝒂𝒙𝒚
𝒂𝒙 × 𝒃𝒙 = (𝒂 × 𝒃)𝒙



𝒂𝒙
𝒃𝒙

= 𝒂𝒙−𝒚

𝒂 𝒙

= (𝒃)

Exemples :
Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme 𝒂𝒙 .
23,2 × 25,4 = 23,2+5,4 = 28,6
1

1

1

3,12,3 × 3,1−1,5 = 3,12,3+(−1,5) = 3,10,8

1

(0,62,4 )−5 = 0,62,4×(−5) = 0,6−12

43 × 0,53 = (4 × 0,5)3 = 23
5,62
3
5,67

3

14 3

11

= 5,62−7 = 5,6 3 −7 = 5,6 7

4,50,2
1,50,2

4,5 0,2
1,5

=( )

= 30,2

III°) Sens de variation
Le sens de variation des fonctions exponentielles de base 𝑎 est le même que celui des suites géométriques de
raison positive.
Propriété :
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
Si 0 < 𝑎 < 1, la fonction 𝑓 est strictement décroissante sur ℝ.
Si 𝑎 > 1, la fonction 𝑓 est strictement croissante sur ℝ.

Bilan :
𝟎<𝒂<𝟏

𝒂>𝟏

Remarque :
Si 𝑎 = 1, 𝑓 est la fonction constante 𝑓(𝑥) = 1.
Exemples :
 La fonction 𝑥 ⟼ 0,8𝑥 est strictement décroissante sur ℝ car 0 < 0,8 < 1.
 La fonction 𝑥 ⟼ 1,2𝑥 est strictement croissante sur ℝ car 1,2 > 1.


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