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Chapitre 9 :
M

;

Probabilités
I – Rappels sur la loi binomiale
1°) Epreuve de Bernoulli – Schéma de Bernoulli
Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre 𝒑, toute expérience aléatoire admettant deux issues :
 L’une appelée « succès » notée 𝑆, dont la probabilité est 𝑝.


L’autre appelée « échec » notée 𝑆 dont la probabilité est 1 − 𝑝.

Exemples :
 Lancer une pièce de monnaie et regarder si on tombe sur « pile » (succès : pile ; échec : face)
 Lancer un dé et regarder si le nombre obtenu est 6 (succès : faire un 6 ; échec : faire 1, 2, 3, 4 ou 5)
Définition : On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre 𝑝. Soit 𝑛 un entier naturel non nul.
On définit un schéma de Bernoulli de paramètres 𝒏 et 𝒑 lorsqu’on répète 𝑛 fois de façon identique et
indépendante cette épreuve de Bernoulli.
Exemple : On lance 5 fois de suite un dé et on note à chaque fois si on obtient le 6 ou pas.
1

On est en présence d’un schéma de Bernoulli de paramètres 𝑛 =5 et 𝑝 = 6 (une chance sur six d’obtenir le 6)
2°) Loi binomiale
Définition : On considère un schéma de Bernoulli de paramètres 𝑛 et 𝑝.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans ce schéma.
On dit alors que 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝. On la note ℬ(𝑛; 𝑝).
Exemple : Dans l’exemple précédent, on appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus sur
1

les cinq lancés. 𝑋 suit la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 5 et 𝑝 = 6.
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, c’est-à-dire qu’il y a au moins 0 succès sur les cinq lancés et au plus
5 succès sur les cinq lancés.
Notation utilisées pour les calculs de probabilité :
1°) 𝑃(𝑋 = 3) est la probabilité d’obtenir exactement 3 succès.
2°) 𝑃(𝑋 ≤ 3) est la probabilité d’obtenir 0, 1, 2 ou 3 succès c’est-à-dire obtenir au plus 3 succès.
3°) 𝑃(𝑋 ≥ 2) est la probabilité d’obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6 succès c’est-à-dire obtenir au moins 2 succès.
Remarque importante :


Les probabilités 𝑃(𝑋 = 3) et 𝑃(𝑋 ≤ 3) peuvent être calculées directement grâce à la calculatrice.



La probabilité 𝑃(𝑋 ≥ 2) ne peut pas être calculée directement, il faut utiliser l’événement contraire
Le contraire d’avoir 2, 3, 4, 5 ou 6 succès est d’avoir 0 ou 1 succès.
On a donc 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) et 𝑃(𝑋 ≤ 1) peut, elle, être calculée directement à la calculatrice

3°) Avec la calculatrice :
Il me semble que dans la classe vous avez tous des CASIO à l’exception de quelques TI 83 premium.
1

Reprenons la loi binomiale précédente avec 𝑛 = 5 et 𝑝 = 6.
Nous allons calculer les probabilités suivantes 𝑃(𝑋 = 3) ; 𝑃(𝑋 ≤ 3) et 𝑃(𝑋 ≥ 2)
Calculs avec la TI :
a) Calcul de 𝑃(𝑋 = 3) (BinomFdp)

Il faut saisir pour nous :
 nbreEssais : 5
 𝑝 = 1/6
 valeur de x : 3
Vous devez trouver 𝑃(𝑋 = 3) = 0,167 arrondi à 10−3

b) Calcul de 𝑃(𝑋 ≤ 3) (BinomFrép)

Il faut saisir pour nous :
 nbreEssais : 5
 𝑝 = 1/6
 valeur de x : 3
Vous devez trouver 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 0,997 arrondi à 10−3

c) Calcul de 𝑃(𝑋 ≥ 2)
On passe par l’événement contraire en utilisant la formule : 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)
𝑃(𝑋 ≤ 1) se calcule comme au b) et on trouve 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,804
D’où 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 0,804 = 0,196 arrondi à 10−3 .

Calculs avec la CASIO :
a) Calcul de 𝑃(𝑋 = 3) (Bpd)

Il faut saisir :
 Data : Variable (jamais LISTE)
 𝑥:3
 Numtrial : 5
 𝑝 : 1/6
Vous devez trouver 𝑃(𝑋 = 3) = 0,167 arrondi à 10−3

b) Calcul de 𝑃(𝑋 ≤ 3) (Bcd)

Il faut saisir :





Data : Variable
𝑥∶ 3
Numtrials : 5
𝑝 ∶ 1/6

Vous devez trouver 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 0,997 arrondi à 10−3
c) Calcul de 𝑃(𝑋 ≥ 2)
On passe par l’événement contraire en utilisant la formule : 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)
𝑃(𝑋 ≤ 1) se calcule comme au b) et on trouve 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,804
D’où 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 0,804 = 0,196 arrondi à 10−3 .

4°) Espérance :
Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale ℬ(𝑛, 𝑝) est donnée par :
𝐸[𝑋] = 𝑛 × 𝑝
L’espérance correspond à la valeur moyenne prise par la variable aléatoire X.
Exemple : Calculer l’espérance de la loi binomiale précédente et interpréter le résultat.
1

1

On a 𝑛 = 5 et 𝑝 = 6. 𝐸[𝑋] = 𝑛 × 𝑝 = 5 × 6 = 0,83
En moyenne, sur 5 lancés, on obtient environ une fois le 6 (0,83 fois pour être précis).
5°) Un exercice d’application (rédaction à connaitre par cœur)
Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à 10−3.
Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le
conditionnement industriel de légumes.
La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,05.
Un lot de 300 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des
légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir
assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 300 boîtes.
La variable aléatoire X désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.
1°) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On répète 300 fois de suite de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre
𝑝 = 0,05 dont le succès est « Obtenir une boîte non conforme ». La variable aléatoire X qui compte le nombre
de succès suit donc une loi binomiale de paramètres 𝑛 = 300 et 𝑝 = 0,05.
 Cette phrase est à connaitre par cœur, il faut s’avoir l’adapter à chaque question du type « Justifier que
la variable X suit une loi binomiale ».
2°) Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement huit boîtes non conformes.
A l’aide de la calculatrice, on obtient 𝑃(𝑋 = 8) = 0,018
3°) Déterminer 𝑃(𝑋 ≤ 12). Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
A l’aide de la calculatrice, on obtient 𝑃(𝑋 ≤ 12) = 0,261.
La probabilité qu’un lot contienne au plus 12 boîtes défectueuses est 0,261.
4°) Quelle est la probabilité d’avoir au moins 16 boites non conformes dans le lot ?
On veut calculer 𝑃(𝑋 ≥ 16). On passe par l’événement contraire :
𝑃(𝑋 ≥ 16) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 15) = 1 − 0,568 = 0,432
5°) Calculer 𝐸[𝑋]. Interpréter le résultat dans le contexte de l’énoncé.
𝐸[𝑋] = 𝑛 × 𝑝 = 300 × 0,05 = 15.
En moyenne, sur 300 boîtes, 15 sont défectueuses.

II - Loi uniforme sur [𝒂 ; 𝒃]
1°) Densité de probabilité :
k

Définition : Si une fonction 𝑓 est continue sur un intervalle 𝐼 et si l’aire
du domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe de 𝑓 sur
l’intervalle 𝐼 est égale à 1 u.a alors on dit que 𝑓 est une densité de probabilité.
Exemple : La fonction dessinée ci-contre est une densité de probabilité
sur [-1 ; 1] car l’aire sous la courbe (l’aire du triangle) vaut 1 u.a
2°) Variable aléatoire suivant une loi de densité.
Définition : Soit 𝑓 une densité de probabilité sur un intervalle 𝐼 et
soit 𝐶𝑓 sa courbe représentative. Dire que la variable aléatoire 𝑋 suit
la loi de densité 𝑓 signifie que pour tout interalle [𝑎; 𝑏] inclus dans 𝐼,
k

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

𝑏

on a : 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 c’est-à-dire 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) est l’aire
du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe 𝐶𝑓 et les
droites d’équations 𝑥 = 𝑎 et 𝑥 = 𝑏.

3°) Définition et propriétés
La loi uniforme est assez facile à comprendre intuitivement. Pensons à un bus qui passe toutes les 10 min à un
arrêt. Vous arrivez à cet arrêt de bus sans savoir quand est passé le dernier bus.
Vous avez autant de chance que le bus arrive tout de suite, ou dans 3 min ou dans 8,2 min ou dans 10 min….
On dit que le temps d’attente suit une loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 10].
De manière intuitive toujours, on peut facilement comprendre qu’on a 50% de chance d’attendre moins de 5min.
(𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 5) = 0,5).
2

On peut aussi penser que la probabilité d’attendre entre 0 et 2 min est 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) = 10 = 0,2.
Maintenant essayons de représenter mathématiquement cette loi.
Loi « uniforme » sur [0 ;10] fait penser à fonction constante sur [0 ;10]
On trace donc une fonction constante sur l’intervalle [0 ;10].
Mais on veut une densité de probabilité c’est-à-dire qu’on veut que l’aire sous la courbe sous égale à 1u.a.
Etant donné qu’on a une loi uniforme sur
l’intervalle [0 ;10], il se dessine un rectangle
de longueur 10 (à la base).
Pour que son aire soit égale à 1, on cherche un
1

nombre 𝑥 tel que 10𝑥 = 1 soit 𝑥 = 10 = 0,1
(aire d’un rectangle : 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 × 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟)
La densité de probabilité recherchée est donc
1

la fonction constante 𝑓 telle que 𝑓(𝑥) = 10 = 0,1.
Pour calculer 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) il suffit de calculer
l’aire de la surface coloriée en rouge (c’est une
aire de rectangle) :
1

2

𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) = 𝐿 × 𝑙 = 2 × 0,1 = 2 × 10 = 10 cela confirme bien le résultat intuitif trouvé précédemment.

Définition : Une variable aléatoire 𝑋 suit la loi uniforme sur [𝒂 ; 𝒃] si, pour tout intervalle [𝑐 ; 𝑑] inclus dans
[𝑎 ; 𝑏], 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) est l’aire du domaine délimité par :
𝟏



la courbe de la fonction 𝑓 définie sur [𝑎 ; 𝑏] par 𝒇(𝒙) = 𝒃−𝒂




l’axe des abscisses
les droites d’équation 𝑥 = 𝑐 et 𝑥 = 𝑑.
𝒅

𝟏

On peut donc écrire : 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = ∫𝒄 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 avec 𝒇(𝒙) = 𝒃−𝒂
𝑓 est appelée densité de la loi uniforme sur [𝑎 ; 𝑏].

Représentation graphique
Remarque : Lorsqu’on a une loi uniforme sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏], la longueur du rectangle est 𝑏 − 𝑎 et on
1

1

cherche 𝑥 tel que (𝑏 − 𝑎) × 𝑥 = 1 d’où 𝑥 = 𝑏−𝑎 ; c’est pourquoi la fonction constante est 𝑓(𝑥) = 𝑏−𝑎 .
Propriété : Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [𝑎 ; 𝑏]. Pour tout intervalle [𝑐 ; 𝑑] inclus dans
𝒅−𝒄

[𝑎 ; 𝑏], 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = 𝒃−𝒂

Formule à connaitre par cœur

Remarques :
𝑐−𝑐
 𝑃(𝑋 = 𝑐) = 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐) = 𝑏−𝑎 = 0.


𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =

𝑏−𝑎
𝑏−𝑎

=1

Exemple : À l’arrêt de bus du lycée Jay de Beaufort, le bus de la ligne A passe toutes les 10 minutes. Un voyageur
ignore les horaires et arrive à cet arrêt de bus. On note 𝑇 la variable aléatoire représentant le temps d’attente, en
minutes. On suppose que 𝑇 suit la loi uniforme sur [0 ; 10].
3−3
=0
10−0
4−2
2
1
= 10 = 5
10−0
10−5
𝑋 ≤ 10) =
10−0



Quelle est la probabilité d’attendre le bus exactement 3 minutes ? 𝑃(3 ≤ 𝑋 ≤ 3) =



Quelle est la probabilité d’attendre le bus entre 2 et 4 minutes ? 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) =



Quelle est la probabilité d’attendre le bus plus de 5 minutes ? 𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑃(5 ≤
4°) Espérance
Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [𝑎; 𝑏], alors :
𝑬(𝑿) =

𝒂+𝒃
𝟐

Formule à connaitre par cœur

Exemple : L’attente moyenne de notre voyageur à l’arrêt de bus sera de : 𝐸(𝑇) =

0 + 10
2

= 5minutes.

=

5
10

=

1
2


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