série de révision n°2 bac sciences expérimentales(chemin de réussite) .pdf



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SÉRIE DE RÉVISION
✫✫N°:2✫✫
MATHÉMATIQUES

SECTION : 4ème Sciences Expérimentales
Année scolaire : 2019/ 2020

Exercice n°1 :
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct (O, i, j, k)
On donne les points A(2,0,0),B(0,0,2),C(2,4,2),E(0,4,2) et F(0,2,2).
a–Montrer que A,B et E déterminent un plan P et qu’une équation de P est :
x+z–2=0.
b–Montrer que ABCE est un tétraèdre et calculer son volume V .
On considère S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tel que :
x²+y²+z²+2x–2y–7=0.
a–Montrer que S est une sphère de centre I(–1,1,0) et de rayon 3.
b–Montrer que P et S sont sécants suivant un cercleC que l’on caractérisera.
c–Déterminer les plans parallèles à P et tangents à S.
Soit Qm le plan d’équation x+my+z–2=0 où m est un réel.
a–Vérifier que Qm contient la droite (AB) et coupe la droite (CE) au point G(–4m,4,2).
b–Exprimer en fonction de m la distance du point I au plan Qm .
c–Montrer qu’il existe deux plans Qm1 et Qm2 qui coupent la sphère S suivant un cercle
de rayon

3 2

2

Exercice n°2 :
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O, i, j, k) .On considère les points
page 1 / 6

A(1,1,0) ;B(1,-1,0) ;C(0,-1,0) et D(1+cos𝝷,-1,sin𝝷) avec 𝝷∈ [0,𝜋[.
Montrer que le triangle ABC est rectangle.
Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) tels que :x²+y²+z²-2x+2y+1=0.
a–Montrer que S est une sphère de centre B et de rayon 1.
b–Vérifier que C et D sont deux points de S.
c–Pour quelle valeur de , [CD] est un diamètre de S.
Soit le plan Q : 2x–y+z–1=0.
a–Montrer que (AC) est incluse dans Q.
b–Montrer que Q coupe S suivant un cercle (C ) dont on précisera le centre et le rayon.
Soit le plan P𝝷 : (cos𝝷)x+(sin𝝷)z–cos𝝷–1=0.
a–Montrer que la droite (AB) est parallèle à P𝝷.
b–Montrer que P𝝷 est tangent à S en D.
Exercice n°3 :
Soit dans l’ensemble des nombres complexes l’équation E : z2  (1  i(2  3))z  2( 3  i)  0
a–Vérifier que 2i est une solution de (E).
b–Déterminer l’autre solution de (E).
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v) ,on note
A,B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i 3, z B = 2i et z I =

1
3+2
+i
2
2

a–Mettre les nombres complexes zAet zB sous la forme exponentielle.
b–Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C ) de centre O et de rayon 2.
c–Vérifier que I est le milieu du segment [AB].
d–Construire le cercle (C ) ainsi que les points A,B et I.
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a–Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l’angle AOB .
b–Vérifier que (OA,OB) =
c–Montrer que (u,OI) =

π
+2kπ,k ∈
6


+2kπ,k ∈
12

d–En déduire que z1 = 2 + 3 .e

i 5π
12

Donner alors les valeurs exactes de cos(

5
12

) et sin(5 ).
12

Exercice n°4 :
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct R(O, u, v) .
Résoudre dans ℂ l’ équation (E) : 2z² - (7 + i 3)z + 2(3 + i 3) = 0 .
On considère les points I,A,B et C d’affixes respectives 1, 2, b =

3+i 3
et c = 1 + b²
2

et le cercle C de centre I et de rayon 1.
a–Vérifier que B ∈ C .
b–Donner une mesure de l’angle (IA, IB) ,en déduire la nature du triangle IAB.
c–Montrer que I,B et C sont alignés, placer alors les points B et C.
Soient M et M’ les points d’affixes respectives z et 1+z².
a–Déterminer l’ensemble des points M tels que I,M et M’ soient alignés.
b–On pose z = eiθ avec

θ

∈ ] 0,𝜋 [, montrer que


=
z -1

1

2sin( )
2

e

i(

3θ-π
)
2

.

c–Déterminer 𝝷 pour que IM et IM' soient orthogonaux.
Exercice n°5 :
On considère la fonction g définie sur 0, +∞  par : g(x) = x² +x -2 +2Ln x
a–Etudier les variations de g.
b–Calculer g(1) puis déduire le signe de g sur 0, +∞  .
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2

On considère la fonction f définie sur 0, +∞  par : f(x)  x  (1  ) Ln x .
x

(Cf ) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j) d’unité 1 cm.
a–Calculer lim f(x) et interpréter le résultat géométriquement.
x0

b–Calculer lim f(x) .
x

c–Montrer que (Cf ) admet une branche parabolique de direction la droite (D) : y=x.
Montrer que f '(x)=

g(x)
pour tout x de 0, +∞  .
x2

a–Dresser le tableau de variation de f.
b–Etudier la position relative de la courbe (Cf ) et la droite (D).
c–Tracer (Cf ) et (D).sur le même repère (O,i,j) .
(On admet que (Cf ) admet un point d’inflexion unique dont l’abscisse est compris
entre 2,4 et 2,5).
a–Montrer que

2

1

Ln x 1 2
 Ln 2.
x
2

2Ln x - x est une primitive de h:x

b–Vérifier que H:x
2

2
x

-1 sur  0,   .

2
x

c–Déduire alors que  (  1)Ln x dx=(1-Ln 2)2.
1

d–Calculer, en cm²,l’aire du domaine limité par la courbe (Cf ) ,la droite (D) et les
droites d’équations x=1 et x=2.
On considère la suite



(un ) définie par :  u0 
u

 n+1

a–Montrer que pour tout n 
b–Montrer que la suite

:

1

un

3
 f(un ) pour tout n 

2

(un ) est décroissante.

c–En déduire que la suite

(un ) est convergente et calculer sa limite.
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Exercice n°6 :
La figure ci-dessous est la représentation graphique relativement à un repère
orthonormé (O, i, j) d’une fonction définie, continue et dérivable sur ℝ.(T) est la tangente
à au point d’abscisse 0.l’axe des abscisses et la droite ∆:y=1 sont des asymptotes à .
En utilisant le graphique.
a–Déterminer lim f(x); lim f(x);f(0) et f '(0).
x

x

1
2

b–Que représente le point I(0, ) pour C ?justifier votre réponse.
c–Déterminer une équation de la tangente (T).
d–Déterminer le tableau de variation de f.
a–Montrer que f réalise une bijection de sur un intervalle J que l’on précisera.
b–Construire dans (l’annexe) la courbe C 'de la fonction f 1 fonction réciproque de f.
On admet que pour tout

x

on a: f(x)=

a–Montrer que pour tout x  ,f '(x) 

a
(a 
1  ebx

et b 

)


abebx
(1  ebx )2

b– Montrer que a=1 et b=3.
Dans la suite on considère la fonction f définie par : f(x) 

1
1  e3x

1
2

a–Vérifier que I(0, ) est un centre de symétrie de C .
b–Expliciter f 1(x) pour tout x  J.
c–Vérifier que pour tout x ∈ , f(x ) =

e -3x
,en déduire la primitive F sur ℝ de f
1 + e -3x

1
3

telle que F(0 ) = - Ln (2 ).
On pose pour tout n ∈ N, un = F(n ).
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a– Montrer que pour tout n ∈ N, u n+1

1
1 + e3n
- u n = Ln( -3
) en déduire que (u n ) est croissante.
3
e + e3n

b–Montrer que pour tout n  , un  0.
c–En déduire que la suite (u n ) est convergente et calculer sa limite.

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