corrigé Pb1 2 algIII Matrices .pdf


Nom original: corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par LaTeX with hyperref package / pdfTeX-1.11a, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 02/04/2020 à 13:31, depuis l'adresse IP 105.71.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 40 fois.
Taille du document: 62 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document


UNIVERSITE HASSAN II FSBM

Algèbre III/SMAI/S2

2019-2020

Correction Problème 1-2 Matrices/Algèbre
III/SMAI

L’équipe pédagogique :
Pr. AZOUAZI Mohamed
Pr. CHKIRIBA Abdelouahab
Pr EL ADRAOUI Abderrahim
Pr RACHIK Mustapha ( coordonateur de Module)

25 Mars 2020
(6ème séance)

1/4

UNIVERSITE HASSAN II FSBM

Problème 1

0

2
Soient les matrices L = @ 0
2

Algèbre III/SMAI/S2

1
0
1

1
0
1
0
0 A; M = @ 1
1
1

2019-2020

0
2
2

1
0
1 A
1

1. Calculons
0 M L et LM 1 0
1 0
1
0
0
0
2
1
1
0 0 0
2 1 A @ 0
0
0 A=@ 0 0 0 A
ML = @ 1
1 2
1
2 1
1
0 0 0
0
1 0
1 0
1
2
1
1
0
0
0
0 0 0
0
0 A @ 1
2 1 A=@ 0 0 0 A
LM = @ 0
2 1
1
1 2
1
0 0 0
Les matrices L et M sont des diviseurs de 0; donc ne sont pas inversibles.
0
1 0
1 0
1
2
1
1
2
1
1
6
3
3
0
0 A @ 0
0
0 A=@ 0
0
0 A = 3L
2. L2 = @ 0
2 1
1
2 1
1
6 3
3
0
1 0
1 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 1 A @ 1
2 1 A=@ 3 6
3 A = 3M
M2 = @ 1
1 2
1
1 2
1
3
6 3
3
2
2
2
Si on calcule L = L
L = 3L = 3 L alors on montre par récurrence que Ln =
3n 1 L; 8n 2 N
cette propriété est vraie pour n = 1:
On suppose qu’elle est vraie jusqu’au rang n et on la démontre pour n + 1:
Alors Ln+1 = Ln L = 3n 1 L2 = 3n L: Donc la propriété est vraie pour tout entier nature
n non nul.
De la même façon on motre que M n = ( 3)n 1 M pour tout entier naturel non nul.
3. On pose A = L + M
0
2
1
@
0
0
(a) A =
2 1

1 0
1
0
A
@
0
1
+
1
1

0
2
2

1 0
0
2
A
@
1
1
=
1
3

1
2
3

1
1
1 A
0

(b) On motre par récurrence que An = 3n 1 L + ( 3)n 1 M;pour tout entier nature n
non nul.
Pour n = 1 la propriété est vraie (A = L + M )
Supposons qu’elle est vraie jusqu’au rang n et démontrons la pour n + 1:
On a An+1 = An A = 3n 1 L + ( 3)n 1 M
(L + M )
= 3n 1 L2 + ( 3)n M 2 + ( 3)n 1 LM + 3n 1 M L = 3n L + ( 3)n M
car M L = LM = 0 et L2 = 3L; M 2 = 3M:
Donc An = 3n 1 L + ( 3)n 1 M;pour tout entier nature n non nul.

4. Application :
On considère les trois suites (un ) ; (vn ) et (wn ) dé…nies par :
8
u0 = 1; v0 = 0; w0 = 0
>
>
>
>
< un+1 = 2un vn wn
vn+1 = un 2vn + wn
>
>
wn+1 = 3un + 3vn
>
>
:
8n 2 N
2/4

(F1 )

UNIVERSITE HASSAN II FSBM

Algèbre III/SMAI/S2

2019-2020

0

1
un
et on pose Xn = @ vn A
wn
0
1 0 1
u0
1
(a) On a X0 = @ v0 A = @ 0 A :
w0
0
0
1 0
1 0
1
un+1
2
1
1
un
2 1 A @ vn A ; donc Xn+1 = AXn
(b) D’après (F1 ) on a @ vn+1 A = @ 1
wn+1
3 3
0
wn
n
Montrons par récurrence que Xn = A X0 ; 8 2 N
La propriété est vraie pour n = 0 ( car A0 = I )
Supposons que la propriété est vraie au rang n et montrons la pour n + 1
On a Xn+1 = AXn or Xn = An X0 (l’hypothèse de récurrence), donc Xn+1 = An+1 X0 :
Donc Xn = An X0 ; 8 2 N:
(c) D’après 3) b: on a An = 3n 1 L + ( 3)n 1 M
0
1
0
1
0
0
0
2
1
1
2 1 A
0
0 A + ( 3)n 1 @ 1
Donc An = 3n 1 @ 0
1 2
1
2 1
1
0
1
n 1
n 1
2 3
3
3n 1
A
( 3)n 1
2 ( 3)n 1
( 3)n 1
=@
n
1
n
1
n 1
n 1
n 1
n 1
2 3
( 3)
3
+ 2 ( 3)
( 3)
3
0
1 0
1
n 1
n 1
n 1
2 3
3
3
un
A
( 3)n 1
2 ( 3)n 1
( 3)n 1
et @ vn A = @
n
1
n
1
n
1
wn
2 3n 1 ( 3)
3n 1 + 2 ( 3)
( 3)
3n 1
0
1
2 3n 1
A
( 3)n 1
=@
n
1
2 3n 1 ( 3)

(d) On a u4 = 2

33 = 54; v5 = ( 3)4 = 81 et w6 =

Problème 2

0

1
Soient les matrices A = @ 1
1

1
1
1

1. (a) On a B 2 = 3B et B 3 = 32 B

2

35

( 3)5 =

0

1
1
@ 0 A
0

243

1
0
1
0
1
1
1 1 1
1 0 0
1 A ; B = @ 1 1 1 A et I = @ 0 1 0 A
1
1 1 1
0 0 1

(b) On peut conjecturer que B n = 3n 1 B 8n 2 N

(c) démonstration par récurrence :
La propriété est vraie pour n = 1
Supposons que la propriété est vraie au rang n et montrons la pour n + 1:
On a B n+1 = B n B = 3n 1 B 2 = 3n B:
D’où la propriété est vraie pour tout n 2 N

2. (a) On a A = 2I
2

B

2

(b) A = (2I B) = B 2 4B + 4I = 22 I
= B 2 6B + 8I = 23 I 3B
0
1
0
1 0 0
(c) A3 = 23 I 3B = 23 @ 0 1 0 A 3 @
0 0 1
3/4

B et A3 = A

A2 = (2I

1 0
1 1 1
5
1 1 1 A=@ 3
1 1 1
3

3
5
3

B)
1
3
3 A
5

(4I

B)

UNIVERSITE HASSAN II FSBM

Algèbre III/SMAI/S2

2019-2020

3.
4. (a) Montrons par récurrence qu’il existe un réel an tel que An = 2n I + an B:
Pour n = 0; A0 = 20 I + 0B donc a0 = 0
Supposons que, pour un entier n …xé, il existe un réel an tel que An = 2n I + an B et
montrons qu’il existe un réel an+1 tel que An+1 = 2n+1 I + an+1 B:
On a An+1 = A An = (2I B) (2n I + an B) = 2n+1 I an B 2 + 2an B 2n B =
2n+1 I + ( an 2n ) B
Donc an+1 = an 2n :
D’où, pour tout entier nature n il existe un réel an tel que An = 2n I + an B:
(b) Véri…cation pour n = 0; 1; 2; 3
A0 = 20 I 0B
a0 = 0
A = 2I B
a1 = 20 a0 = 1
A2 = 22 I B
a2 = 21 a1 = 1
A3 = 23 I 3B
a3 = 22 a2 = 3
an

2n

2 n
2 =
3

an

an+1 =
(c) On calcule an en fonction de n :
On a an+1 =

an

2n =

an

1 n
2
3

1 n
2
3

1
Donc an+1 + 2n+1 =
3

1 n+1
2
3

1
1
an + 2n ; de cette égalité on déduit que la suite an + 2n
3
3
1
est géometrique de raison 1 et de premier terme :
3
On déduit que
1
an = (( 1)n 2n )
3

(d) D’après la question 3) a: on a An = 2n I + an B
0
0
1
1
1 0 0
1 1 1
1
An = 2n @ 0 1 0 A + (( 1)n 2n ) @ 1 1 1 A
3
0 0 1
1 1 1
0 1
1
n
n
2 n 1
1 n 1
( 1) + 3 2 3 ( 1)
2 3 ( 1)n 13 2n
3
3
An = @ 13 ( 1)n 31 2n 13 ( 1)n + 32 2n 13 ( 1)n 13 2n A
1
( 1)n 31 2n 13 ( 1)n 31 2n 13 ( 1)n + 32 2n
3

4/4


corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf - page 1/4


corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf - page 2/4


corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf - page 3/4
corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf - page 4/4


Télécharger le fichier (PDF)

corrigé Pb1-2 algIII Matrices.pdf (PDF, 62 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP




Documents similaires


corrige pb1 2 algiii matrices
corrige td3 applications lineaires algiii smai s2
solutions fulton algebraic curves chapitre 1
fiche 23 recurrence
recurrence dure corrige
www mathovore fr le raisonnement par recurrence cours maths 23

Sur le même sujet..