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III - Loi exponentielle
Une loi exponentielle modélise la durée de vie d’un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans
usure. Elle permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d’un composant électronique,
de décrire le temps écoulé entre deux moments. . .
1°) Définition et propriétés
Définition : Soit 𝜆 un nombre réel tel que 𝜆 > 0.
Une variable aléatoire 𝑋 suit la loi exponentielle de paramètre 𝝀 si, pour tout intervalle [𝑐 ; 𝑑] inclus dans
[0; +∞[ , 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) est l’aire du domaine délimité par :




la courbe de la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par 𝒇(𝒙) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙.
l’axe des abscisses
les droites d’équation 𝑥 = 𝑐 et 𝑥 = 𝑑.
𝒅

On peut donc écrire : 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = ∫𝒄 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 avec 𝒇(𝒙) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙.
𝑓 est appelée densité de la loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Remarque :
𝑑

Etant donné que 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = ∫𝑐 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 , cherchons une primitive de 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 .
Une primitive est 𝐹(𝑥) = −𝑒 −𝜆𝑥 car 𝐹 ′ (𝑥) = −(−𝜆)𝑒 −𝜆𝑥 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑

Puis : 𝑃(𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑) = [−𝑒 −𝜆𝑥 ]𝑐 = −𝑒 −𝜆𝑑 − (−𝑒 −𝜆𝑐 ) = −𝑒 −𝜆𝑑 + 𝑒 −𝜆𝑐 = 𝑒 −𝜆𝑐 − 𝑒 −𝜆𝑑
Propriétés : Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 𝜆.
1°) Pour tout intervalle [𝑐 ; 𝑑] inclus dans [0 ; +∞[ : 𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) = 𝒆−𝝀𝒄 − 𝒆−𝝀𝒅
2°) Pour tout réel 𝑎 de [0; +∞[ : 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂) = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒂
Remarque :
Le point 2°) se déduit du point 1°) car : 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎) = 𝑒 −𝜆×0 − 𝑒 −𝜆𝑎 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑎
Exemple 1 :
La durée de vie, en heures, d’une ampoule est modélisée par une variable aléatoire 𝑇 qui suit une loi *
exponentielle de paramètre 𝜆 = 5 × 10−5 .
1. Déterminer la probabilité que cette ampoule tombe en panne avant 10 000 heures :
𝑃(𝑇 ≤ 10 000) = 1 − 𝑒 −5×10

−5 ×10 000

= 0,393

La probabilité que cette ampoule tombe en panne avant 10 000 heures est 0,393.
2. Déterminer la probabilité que cette ampoule tombe en panne entre la 10 000ème heure et la 15 000ème heure :
𝑃(10 000 ≤ 𝑇 ≤ 15 000) = 𝑒 −5×10

−5 ×10 000

− 𝑒 −5×10

−5 ×15 000

= 0,134

La probabilité que cette ampoule tombe en panne entre la 10 000ème heure et la 15 000ème heure est 0,134
Exemple 2 :
Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
m

Sachant que 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 0,4 déterminer la valeur exacte du paramètre λ puis une valeur approchée à 10−3 .
On sait que 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − 𝑒 −𝜆×10 = 1 − 𝑒 −10𝜆 .

D’où 1 − 𝑒 −10𝜆 = 0,4
−𝑒 −10𝜆 = −0,6
𝑒 −10𝜆 = 0,6
−10𝜆 = ln(0,6)
𝜆=

ln(0,6)
−10

𝜆 ≈ 0,051
Propriété : Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 𝜆.
Pour tout réel 𝑎 de [0; +∞[ : 𝑷(𝑿 ≥ 𝒂) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂) = 𝟏 − (𝟏 − 𝒆−𝝀𝒂 ) = 𝒆−𝝀𝒂 .
Remarque très importante :


Nous avions vu que si la variable 𝑋 suit une loi binomiale le calcul de 𝑃(𝑋 ≥ 5), on utilise la formule :
𝑃(𝑋 ≥ 𝟑) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝟐).
En effet X correspond ici au nombre de succès, c’est-à-dire un nombre ENTIER ! Et le contraire d’obtenir
« 5 succès ou plus » est obtenir « 4 succès ou moins ».
La variable X est ici discrète (elle ne prend que des valeurs entières)



Pour le cas d’une loi exponentielle, le calcul est un calcul d’intégrale (voir schéma ci-dessous), donc de
surface. La variable X peut prendre n’importe quelle valeur et l’aire totale (bleue + rouge) étant égale à 1,
on a :
𝑃(𝑋 ≤ 3) + 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 donc 𝑃(𝑋 ≥ 𝟑) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝟑)
La variable 𝑋 est ici continue (elle peut prendre n’importe quelle valeur,
entière ou pas).

𝑃(𝑋 ≤ 3)
𝑃(𝑋 ≥ 3)

Exemple :
En reprenant l’exemple précédent, déterminer la probabilité que cette ampoule fonctionne au moins 15 000 heures.
𝑃(𝑇 ≥ 15 000) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 15 000) = 1 − (1 − 𝑒 −5×10

−5 ×15 000

) = 𝑒 −5×10

−5 ×15 000

= 0,472

La probabilité que cette ampoule tombe en panne après la 15 000ème heure est 0,472
2°) Espérance
𝟏

Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire 𝑋 qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆 est 𝑬(𝑿) = 𝝀.
1

Exemple : On reprend l’exemple 10 précédent, on calcule : 𝐸(𝑋) = 5×10−5 = 20 000
On peut donc en conclure que la durée de vie moyenne du composant électronique est de 20 000 heures.


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