correction exercice 2 entiers pairs et impairs .pdf


Nom original: correction exercice 2 entiers pairs et impairs.pdfAuteur: CORENTIN GAILLARD

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Correction de l’exercice 2 :
1) a) Comme 𝑎 est pair et 𝑏 est impair on sait que :
2𝑎 est le produit de deux entiers pairs donc c’est un nombre pair.
3𝑏 est le produit de deux entiers impairs donc c’est un entier impair.
Ainsi, 2𝑎 + 3𝑏 est la somme d’un entier pair et d’un entier impair.
D’après le cours, on sait que la somme d’un entier pair et d’un entier impair est un
entier impair. Donc 2𝑎 + 3𝑏 est un nombre impair.
b) Comme 𝑎 est pair et 𝑏 est impair on sait que :
𝑎² est le carré d’un entier pair donc c’est un nombre pair.
𝑏² est le carré d’un entier impair donc c’est un entier impair.
Comme 𝑏 2 est un entier impair, on sait que son opposé −𝑏 2 est aussi un entier
impair (Preuve : Si 𝑏 2 est impair alors il existe un entier 𝑘′ tel que
𝑏 2 = 2 × 𝑘′ + 1
2
Alors son opposé −𝑏 s’écrit
−𝑏 2 = −2 × 𝑘′ + 1
C’est-à-dire
−𝑏 2 = 2 × (−𝑘′) + 1
Donc −𝑏 2 est bien un entier impair.)
Ainsi, 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎2 + (−𝑏 2 ) est la somme d’un entier pair et d’un entier impair.
D’après le cours, on peut donc dire que 𝑎2 − 𝑏 2 est un entier impair.
c) Comme 𝑎 est pair et 𝑏 est impair on sait que :
9𝑎 est le produit d’un entier impair avec un entier pair donc c’est un nombre pair.
4𝑏 est le produit d’un entier impair avec un entier pair donc c’est un nombre pair.
Ainsi, 9𝑎 + 4𝑏 est la somme de deux entiers pairs.
D’après le cours, on sait que la somme de deux entiers pairs est un entier pair donc
9𝑎 + 4𝑏 est pair.
2) a) Comme 𝑎 et 𝑏 sont impairs on sait que :
2𝑎 est le produit d’un entier pair et d’un entier impair donc c’est un nombre pair.
3𝑏 est le produit de deux entiers impairs donc c’est un entier impair.
Ainsi, 2𝑎 + 3𝑏 est la somme d’un entier pair et d’un entier impair.
D’après le cours, on sait que la somme d’un entier pair et d’un entier impair est un
entier impair. Donc 2𝑎 + 3𝑏 est un nombre impair.
b) Comme 𝑎 et 𝑏 sont impairs on sait que :
𝑎² est le carré d’un entier impair donc c’est un nombre impair.
𝑏² est le carré d’un entier impair donc c’est un entier impair.
Comme 𝑏 2 est un entier impair, on sait que son opposé −𝑏 2 est aussi un entier
impair (même preuve que dans la question 1)
Ainsi, 𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎2 + (−𝑏 2 ) est la somme de deux entiers impairs.
D’après le cours, on peut donc dire que 𝑎2 − 𝑏 2 est un entier pair.

c) Comme 𝑎 et 𝑏 sont impairs on sait que :
9𝑎 est le produit de deux entiers impairs donc c’est un nombre impair.
4𝑏 est le produit d’un entier impair avec un entier pair donc c’est un nombre pair.
Ainsi, 9𝑎 + 4𝑏 est la somme d’un entier impair et d’un entier pair.
D’après le cours, on sait que la somme d’un entier impair et d’un entier pair est un
entier impair donc 9𝑎 + 4𝑏 est impair.


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