Chapitre 8 somme des termes d'une suite .pdf

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Chapitre 8 :

Somme des termes d’une suite
I°) Rappels : un exercice de révision

1°) a) La commande de claviers étant augmentée de 100 unités par semestre on a :
𝑢1 = 500 + 100 = 600 et 𝑢2 = 600 + 100 = 700
b) Chaque semestre, la commande de claviers augmente de 100 unités, la suite (𝑢𝑛 ) est donc arithmétique
de premier terme 𝑢0 = 500 et de raison 𝑟 = 100.
On a donc 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑟 × 𝑛 soit 𝑢𝑛 = 500 + 100𝑛.
2°) a) Le prix d’un clavier étant multiplié par 0,95 chaque semestre on a :
𝑝1 = 9 × 0,95 = 8,55 et 𝑝2 = 8,55 × 0,95 ≈ 8,12.
b) Chaque semestre, le prix d’un clavier est multiplié par 0,95, la suite (𝑝𝑛 ) est donc géométrique de
premier terme 𝑝0 = 9 et de raison 𝑞 = 0,95.
On a alors 𝑝𝑛 = 𝑝0 × 𝑞 𝑛 soit 𝑝𝑛 = 9 × 0,95𝑛 .
3°) On a 𝑢5 = 500 + 100 × 5 = 1 000. C’est donc au bout de 5 semestres que l’entreprise commandera 1000
claviers. Il faut alors calculer 𝑝5 pour connaitre le prix unitaire.
𝑝5 = 9 × 0,955 ≈ 6,96. Lorsque l’entreprise commandera 1 000 claviers, le prix unitaire sera de 6,96 €.
4°) A l’aide de la calculatrice on a : 𝑝11 = 9 × 0,9511 ≈ 5,12 et 𝑝12 = 9 × 0,9512 ≈ 4,86.
Le contrat sera rompu dans 12 semestres c’est-à-dire 6 ans (car un semestre correspond à 6 mois).

II°) Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Propriété : Somme des 𝒏 premiers entiers naturels non nuls : 𝑺 = 𝟏 + 𝟐 + ⋯ + 𝒏 =

𝒏(𝟏+𝒏)
𝟐

Exemple :
On a 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 =

100×(100+1)
2

= 5 050.

Propriété : La somme 𝑺 de 𝒏 termes consécutifs d’une suite arithmétique, est donnée par :
𝑺 = (𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆𝒔) ×

(𝟏𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆 + 𝒅𝒆𝒓𝒏𝒊𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆)
𝟐

Exemples :
 Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 𝑢0 = 3.
Calculer 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4
Attention !! Il y 5 termes dans cette somme !! (et pas quatre parce que le dernier terme est 𝑢4 … . )

𝑆 = (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠) ×

(1𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒+𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒)
2

Or 𝑢0 = 3 et 𝑢4 = 3 + 4 × 4 = 19. D’où 𝑆 = 5 ×


=5×

3+19
2

𝑢0 +𝑢4

=5×

2
22
2

.

= 55.

Soit (𝑢𝑛 ) une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 𝑢1 = 5.
Calculer 𝑆 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 + 𝑢5

𝑆 =5×

𝑢1 +𝑢5
2

D’où 𝑆 = 5 ×

. Or 𝑢1 = 5 et 𝑢4 = 𝑢1 + (𝑛 − 1) × 𝑟 = 5 + 4 × 2 = 13

5+13
2

=5×

18
2

= 45.

III°) Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Propriété : Si 𝒒 ≠ 𝟎 on a : 𝑺 = 𝟏 + 𝒒 + 𝒒𝟐 + ⋯ + 𝒒𝒏 =

𝟏−𝒒𝒏+𝟏
𝟏−𝒒

Exemple :
𝑆 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 =

1−25+1
1−2

=

1−64
−1

= 63

Propriétés : La somme 𝑺 de 𝒏 termes consécutifs d’une suite géométrique, est donnée par :
𝑺=

(𝟏𝒆𝒓

𝟏 − 𝒒𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆𝒔
𝒕𝒆𝒓𝒎𝒆) ×
𝟏−𝒒

Exemples :


Soit (𝑢𝑛 ) une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 𝑢0 = 3.
Calculer 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4

Attention !! Il y 5 termes dans cette somme !! (et pas quatre parce que le dernier terme est 𝑢4 … . )

𝑆 =3×


1−45
1−4

=3×

1−1024
−3

= 1023

Soit (𝑢𝑛 ) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 𝑢1 = 5.
Calculer 𝑆 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 + 𝑢5

𝑆 = (1𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×

1 − 𝑞 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
1 − 25
−31
=5×
=5×(
) = 155
1−𝑞
1−2
−1



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