correction exercice 4 entiers pairs et impairs .pdf


Nom original: correction exercice 4 entiers pairs et impairs.pdfAuteur: CORENTIN GAILLARD

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Correction de l’exercice 4 :
1) On suppose que 𝑚 est pair.
On sait donc que 4𝑚 est le produit de deux entiers pairs (4 et 𝑚 ), c’est
donc un entier pair. De plus, 3 est un entier impair donc 4𝑚 + 3
est la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair. D’après le cours,
on peut donc dire que 4𝑚 + 3 est un nombre impair.
Si 𝑚 est un nombre impair, cela ne changera pas la parité du résultat car
4𝑚 restera un entier pair (en tant que produit d’un entier pair (l’entier 4)
avec un autre entier (l’entier 𝑚)).

2) Soit 𝑝 un entier relatif.
On veut connaître la parité de 2𝑝2 + 4𝑝 − 16.
• Supposons que 𝑝 est pair : On sait que 2𝑝2 est un nombre pair car
c’est le produit du nombre 2 qui est pair avec le nombre 𝑝2 . Or on
a montré dans l’exercice 1 que le produit d’un entier pair avec un
autre entier est pair. De la même manière, cela permet de dire que
4𝑝 est pair car 4 est pair. Ainsi, 2𝑝2 + 4𝑝 est un nombre pair car
c’est la somme de deux entiers pairs (qui sont 2𝑝2 et 4𝑝).
On peut réécrire 2𝑝2 + 4𝑝 − 16 comme 2𝑝2 + 4𝑝 + (−16).
Comme on peut écrire −16 = 2 × (−8) on sait que −16 est pair.
Ainsi 2𝑝2 + 4𝑝 + (−16) est la somme de 2𝑝2 + 4𝑝 qui est pair
avec (−16) qui est pair. C’est un entier pair. Donc 2𝑝2 + 4𝑝 − 16
est pair.
• Supposons que 𝑝 est impair : On sait que 2𝑝2 est un nombre pair
car c’est le produit du nombre 2 qui est pair avec le nombre 𝑝2 . Or
on a montré dans l’exercice 1 que le produit d’un entier pair avec
un autre entier est pair. De la même manière, cela permet de dire
que 4𝑝 est pair car 4 est pair. Ainsi, 2𝑝2 + 4𝑝 est un nombre pair
car c’est la somme de deux entier pairs (qui sont 2𝑝2 et 4𝑝).
On peut réécrire 2𝑝2 + 4𝑝 − 16 comme 2𝑝2 + 4𝑝 + (−16).
Comme on peut écrire −16 = 2 × (−8) on sait que −16 est pair.
Ainsi 2𝑝2 + 4𝑝 + (−16) est la somme de 2𝑝2 + 4𝑝 qui est pair
avec (−16) qui est pair. C’est un entier pair. Donc 2𝑝2 + 4𝑝 − 16
est pair.
Donc 2𝑝2 + 4𝑝 − 16 est pair quelle que soit la parité de 𝑝.

3) Soit 𝑛 un entier naturel.
On veut déterminer la parité de 3𝑛2 + 𝑛.
• Supposons que 𝑛 est pair.
Alors on sait que 𝑛2 est pair (c’est le carré d’un nombre pair).
Ainsi, 3𝑛2 est le produit d’un nombre pair (l’entier 𝑛2 ) avec un
autre entier (l’entier 3), ce qui donne d’après le premier exercice
un entier pair. Ainsi, 3𝑛2 + 𝑛 est la somme de 3𝑛2 qui est pair
avec 𝑛 qui est pair. Comme la somme de deux nombres pairs est
paire, 3𝑛2 + 𝑛 est pair.
• Supposons que 𝑛 est impair.
Alors on sait que 𝑛2 est impair (c’est le carré d’un nombre impair).
Ainsi, 3𝑛2 est le produit de deux nombres impairs ( 𝑛2 et 3) ce qui
donne d’après le premier exercice un entier impair. Ainsi, 3𝑛2 + 𝑛
est la somme de 3𝑛2 qui est impair avec 𝑛 qui est impair. Comme
la somme de deux nombres impairs est paire, 3𝑛2 + 𝑛 est pair.


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