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Droites du plan et systèmes

1

Equation réduite d’une droite
Définition 1.1 Dans un repère, toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées est la

représentation graphique d’une fonction affine. Elle a donc une équation de la forme
y = mx + p. Cette équation est appelée équation réduite de la droite d, le réel m est
appelé le coefficient directeur de la droite et le réel p est l’ordonnée à l’origine.

R

Si la droite d est parallèle à l’axe des ordonnées alors son équation est de la forme
x = c où c est un réel.

Rappels 1.2 Nous avons déjà abordé différentes propriétés sur les équations réduites

dans les fiches méthodes sur les fonctions affines. Ces propriétés sont à revoir afin de
bien assimiler les éléments de ce cours.


2
1

Vecteurs directeurs d’une droite
Définition et premières propriétes
Définition 2.1 Soit d une droite. Tout vecteur (non nul) qui possède la même direction
que la droite d est un vecteur directeur de d.

Les vecteurs ~u, ~v et ~w sont des vecteurs directeurs de la droite d.
• Pour une droite donnée, il y a une infinité de vecteurs directeurs, tous
colinéaires entre eux.
~ est un vecteur directeur
• Pour tous points distincts A et B de la droite d, le vecteur AB
de d.
• On peut caractériser une droite du plan à l’aide d’un point appartenant à la droite et
d’un vecteur directeur.

Propriété 2.2

2

Trouver les coordonnées d’un vecteur directeur
B Regarder la vidéo réalisée par Yvan Monka sur le calcul des coordonnées d’un vecteur
directeur grâce au lien suivant (vous pouvez cliquer sur le lien pour vous rendre directement
sur la vidéo) :
https://www.youtube.com/watch?v=6VdSz-0QT4Yfeature=youtu.be

3 Equation cartésienne d’une droite

2

Exercice 2.3 Pour chacune des droites suivantes :

• Donner son équation réduite.
• Donner les coordonnées de deux vecteurs directeurs.



1
• Tracer la droite passant par A(2; 0) et de vecteur directeur ~u =
.
−1

Propriété
2.4
Si une droite admet une équation réduite de la forme y = mx + p alors le

vecteur


1
est un vecteur directeur de la droite.
m

Exemple 2.5 Soit d et D deux droites du plan qui ont pour équation réduite respective

y = 4x − 5 et y = 56 x + 12. Déterminer pour chacune d’entre elles les coordonnées d’un
vecteur directeur (sans représenter les droites).


3

Equation cartésienne d’une droite
Définition 3.1 Quelle que soit la droite d du plan, il existe trois réels a, b et c tels

que tout point M(x; y) appartenant à la droite d vérifie ax + by + c = 0. Cette équation
est appelée équation cartésienne de la droite d. Réciproquement, toute équation de la
forme ax + by + c = 0 (avec a et b non tous nuls) est l’équation cartésienne d’une droite.
Propriété 3.2 Une droite
cartésienne ax + by + c = 0 admet pour vecteur
d d’équation


directeur le vecteur ~u =

−b
.
a

3 Equation cartésienne d’une droite

3

Propriété 3.3

• Une droite admet une infinité d’équations cartésiennes.
• Si l’on connait l’équation cartésienne d’une droite, on peut retrouver son équation réduite.
1

Savoir déterminer une équation cartésienne :
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;~i; ~j).
• Si on connait deux points appartenant à la droite

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par les points A(−4; 3) et
B(2; 1).
Solution : ................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
• Si on connait un point appartenant à la droite et un vecteur directeur

Déterminer une équation
cartésienne de la droite du plan passant par le point C(3; 2) et

3
de vecteur directeur ~u =
.
1
Solution : ................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................

4 Droites et parallélisme
2

4

Savoir retrouver l’équation réduite d’une droite à partir d’une équation cartésienne
Déterminer l’équation réduite de la droite d ayant pour équation cartésienne :
−42x + 7y − 28 = 0.
Solution : ................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................

4

Droites et parallélisme
Rappels 4.1 Dans le plan, deux droites peuvent être :

• sécantes
• parallèles
• confondues


Propriété 4.2 Deux droites sont parallèles dans chacun des cas suivants :

• Elles sont toutes les deux parallèles à l’axe des ordonnées (avec des équations
réduites de la forme x = c où c est un réel).
• Elles ont le même coefficient directeur.
• Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (c’est-à-dire que le déterminant de ces
vecteurs est nul).
Exercice 4.3 Dans chacun des cas suivants, déterminer si parmi les droites proposées

certaines sont parallèles entre elles :
Cas 1 :
d1 : −2x − 52 y + 3 = 0
d2 : 4x + 5y + 6 = 0
d3 : 5x − 2y + 3 = 0
Cas 2 :
d1 : y = −6x + 4
d2 : y = −6x − 13
d3 : x = 5
d4 : x = −2
d5 : y = 6x − 4

5 Système de deux équations à deux inconnues

5
1

5

Système de deux équations à deux inconnues
Définition et premiers exemples
Définition 5.1 Un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y est un
système qui peut s’écrire sous la forme :

ax + by = c
a0 x + b0 y = c0
où a, b, c, a0 , b0 et c0 sont des nombres réels fixés (a et b ne doivent pas être tous les deux
nuls, a0 et b0 ne doivent pas être tous les deux nuls). Dans cette situation, la solution du
système est un couple (x; y) de nombres réels tels que x et y vérifient les deux équations.


Exemple 5.2 Soit le système :



x + 5y = 19
−2x + y = −5

Montrer que (4; 3) est solution du système et que (9; 2) ne l’est pas.



2

Interprétation graphique d’un couple solution
On peut réecrire un système de deux équations à deux inconnues sous la forme suivante :

ax + by − c = 0
a0 x + b0 y − c0 = 0
Nous avons alors deux équations de droites cartésiennes. Si ces deux droites sont sécantes,
alors l’unique couple solution (x; y) donne les coordonnées du point d’intersection des
deux droites.

3

Méthodes de résolutions
Pour résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, on dispose de
différentes méthodes :
Tracer les deux droites présentes dans le système et lire les coordonnées de leur
point d’intersection
Exemple 5.3 Résoudre le système suivant en traçant les droites correspondantes :



−x + 3y = 5
x+y = 7


Utiliser la substitution

Pour comprendre comment utiliser la méthode de substitution pour résoudre un système
linéaire, vous pouvez regarder la vidéo suivante : (réalisée par Yvan Monka)
https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0


Exemple 5.4 Résoudre le système suivant en utilisant la substitution :



x + 4y = 9
3x − 7y = 8


5 Système de deux équations à deux inconnues

6

Utiliser les combinaisons linéaires

Pour comprendre comment utiliser les combinaisons linéaires pour résoudre un système
linéaire, vous pouvez regarder la vidéo suivante : (réalisée par Yvan Monka)
https://www.youtube.com/watch?v=UPIz65G4f48


Exemple 5.5 Résoudre le système suivant en utilisant les combinaisons linéaires :



3x + 4y = 19
5x − 2y = −3



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