Je me prepare 2 (Ln) .pdf

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Je me prépare
Fonction ln

Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

Problème .
I On considère la fonction numérique g définie sur ]0; +∞[ par :

g(x) = ln(x) − x .

1 Calculer la limite de f à droite en 0 puis montrer que lim g(x) = −∞.
x→+∞

.∀x ∈]0, +∞[ , g 0 (x) =

2 Montrer que :

−x + 1
x

3 Dresser le tableau de variations de g .
4 Calculer g(1) puis déduire que ∀x ∈]0, +∞[ , g(x) < 0 .

f (x) = (ln(x))2 − 2x .

ou
ch

II Soit la fonction numérique f définie sur ]0; +∞[ par :

(Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé : ||~i|| = 1cm .

ja

a Calculer lim f (x) interpréter géométriquement le résultat .
x→0+

b Montrer que lim

(ln(x))2

= 0 et déduire que lim f (x) = −∞.

m

1

x

x→+∞

x→+∞

f.
A

c Montrer que (Cf ) admet une branche parabolique vers la droite (∆) : y = −2x au

2

ro

voisinage de +∞ .
a Montrer que :

∀x ∈]0; +∞[ , f 0 (x) =

2.g(x)
x

.

P

b Déduire le sens de variations de f puis dresser le tableau de variations.
3 Montrer que (Cf ) est située au-dessus de (∆) .
4 Montrer que ∀x > 0

,

f 00 (x) =

−2 ln(x) + 2
x2

et déduire que (e; 1 − 2e) est le point

d’inflexion de (Cf ) .
5 Calculer f (1) puis dresser la droite (∆) et la courbe (Cf ) .

10 mai 2020

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2019/2020



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