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Nom original: probas_seconde.pdfAuteur: Clément HYVOZ

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Chapitre 11

Probabilités
I - Vocabulaire des événements

1°) Univers – Evénements
Définitions :


Une expérience aléatoire (du latin "alea", qui signifie dé) est un processus qui engendre des
observations dont il est impossible de connaître à l’avance le résultat.



Une issue d’une expérience est un résultat possible pour cette expérience.



L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé l’univers associé à cette
expérience. On le note souvent Ω.



Un événement A est un sous-ensemble de l’ensemble Ω.



On dit qu’une issue réalise un événement A lorsque cette issue est un résultat appartenant à la partie A.

Evénements particuliers :


L’événement impossible est l’ensemble vide noté ∅ : aucune issue ne le réalise.



L’événement certain est Ω : toutes les issues le réalisent.



Un événement élémentaire est un événement formé d’une seule issue.

Exemples :
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces et noter le résultat obtenu.
L’univers associé à cette expérience est 𝛺 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
L’événement A : « Obtenir un multiple de 3 » est A = {3; 6}. L’issue 3 réalise A mais l’issue 5 ne réalise pas A.
L’événement B : « Obtenir le 1 » est un événement élémentaire : B = {1}.

2°) Intersection, réunion, événement contraire
Définitions : Soient A et B deux événements.


L’intersection de A et B notée 𝑨 ∩ 𝑩 est l’événement constitué des issues réalisant A et B en même
temps.



Dans le cas où A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps, c’est à dire si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, on dit que A
et B sont incompatibles.



La réunion de A et B notée 𝑨 ∪ 𝑩 est l’événement constitué des issues réalisant A ou B, c’est à dire au
moins l’un des deux.



L’événement contraire de A noté 𝐴̅, est constitué de toutes les issues de Ω ne réalisant pas A.

𝑨∪𝑩

𝑨∩𝑩

̅
𝑨

Exemple :
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Toutes les cartes ont la même probabilité d’être tirées.
On considère les 2 événements suivants : A : « La carte tirée est un valet », B : « La carte tirée est un cœur ».
Définir par une phrase en français les événements :
𝐴̅ : « La carte tirée n’est pas un valet »
𝐴 ∩ 𝐵 : « La carte tirée est le valet de cœur »
𝐴 ∪ 𝐵 : « La carte tirée est un valet ou un cœur »
𝐴̅ ∩ 𝐵 : « La carte tirée n’est pas un valet mais c’est un cœur ».

II – Probabilité d’un événement sur un ensemble fini.

1°) Equiprobabilité sur un ensemble fini :
Définition : Lorsque tous les événements élémentaires d’un univers Ω ont la même probabilité d’apparition , on
dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité.
Propriété : En situation d’équiprobabilité, en notant n le nombre d’issues de 𝛀, chaque événement a pour
𝟏

probabilité 𝒏.
Exemple : Situation d’équiprobabilité
Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte au hasard. Chaque carte a une probabilité

1
52

d’être tirée.

Propriété : En cas d’équiprobabilité sur un univers 𝛀 ayant n issues, la probabilité d’un événement A est :
𝑷(𝑨) =

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒅′ 𝒊𝒔𝒔𝒖𝒆𝒔 𝒓é𝒂𝒍𝒊𝒔𝒂𝒏𝒕 𝑨
𝒏

Exemple : Dans le jeu de carte précédent, on note A l’événement : « Obtenir un as ».
4

1

L’univers est constitué des 52 cartes et 4 issues réalisent l ‘événement A. Il suit que 𝑃(𝐴) = 52 = 6.
Exemple : Lors d’une tombola organisée dans une entreprise, un salarié est choisi au hasard pour remporter
gros lot, parmi les 80 salariés répartis comme suit :
Hommes
Femmes
TOTAL

Cadres
18
12
30

Employés
30
20
50

TOTAL
48
32
80

On considère les événements suivants :


F : « le salarié choisi est une femme »

et

C : « le salarié choisi est un cadre »

1°) Quelle est la probabilité que le salarié gagnant soit un cadre ?
𝑃(𝐶) =

30
80

= 0,375. La probabilité est 0,375.

2°) Quelle est la probabilité que le salarié gagnant soit une femme cadre ?
12

𝑃(𝐶 ∩ 𝐹) = 80 = 0,15. La probabilité est 0,15

2°) Loi de probabilité :
Définition :
Définir une loi de probabilité associée à une expérience aléatoire, c’est donner toutes les issues possibles et
attribuer les probabilités associées à chacune d’entre elles (on les appelle probabilités élémentaires).
On présente le plus souvent la loi de probabilité sous la forme d’un tableau.
Exemple : On cherche à établir la loi de probabilité de la couleur des yeux des élèves d’une classe (36 élèves).
On obtient les résultats suivants :
Couleur

Bleu

Vert

Marron

Probabilité

7
36

12
36

17
36

Propriétés :




Lorsqu’on définit une loi de probabilité, la somme des probabilités élémentaires est égale à 1.
La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités élémentaires correspondantes.
Pour tout événement A, on a 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏.

Exemple : On lance un dé pipé, c’est à dire mal équilibré. La loi de probabilité correspondant au lancer de ce dé
est décrite dans le tableau ci-dessous :
Issue
Probabilité

1

2

3

4

5

6

0,30

0,15

0,15

0,05

0,1

𝑥

1°) Quelle est la probabilité d’obtenir un 6 ?
La somme devant être égale à 1 on doit avoir 0,30 + 0,15, +0,15 + 0,05 + 0,1 + 𝑥 = 1 soit 0,75 + 𝑥 = 1
D’où 𝑥 = 0,25 c’est-à-dire que la probabilité d’obtenir un 6 est 0,25.
2°) On note A l’événement « Obtenir au plus 4 ». Déterminer la probabilité 𝑃(𝐴).
On a 𝑃(𝐴) = 0,3 + 0,15 + 0,15 + 0,05 = 0,8

3°) Lien avec les fréquences :
Propriété : Si on effectue une expérience aléatoire 𝒏 fois de suite dans les mêmes conditions, la fréquence de
Réalisation d’un événement se stabilise lorsque n devient très grand et se rapproche d’un nombre
fixe qui est égal à la probabilité de cet événement.
Exemple : jeu du franc carreau
Résultats obtenus en classe après simulation :
Nombre de lancers
250
500
2000

Fréquence de réussite
0.30 ≤ 𝑓 ≤ 0.42
0.32 ≤ 𝑓 ≤ 0.40
0.34 ≤ 𝑓 ≤ 0.38

Probabilité théorique de réussite :
𝐴

𝑝 = 𝐴𝑔𝑟𝑖𝑠é𝑒

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒

122

𝑝 = 202 = 0,36

Conclusion : On remarque que plus le nombre de lancers est grand
plus la fréquence de réussite se rapproche de la probabilité théorique qui est 0,36.

III – Calculs de probabilités.

1°) Notion d’arbre pondéré
On peut schématiser une situation de probabilité à l’aide d’un arbre pondéré.
Définition : Un arbre de probabilité est un graphe qui montre les probabilités de chaque étape dans une
succession d'événements.
Construction de l’arbre et vocabulaire :


La racine de l'arbre est le point de départ de l’arbre.



De cette racine partent des branches qui mènent à des évènements. Sur chaque branche se note la
probabilité de l'événement auquel elle conduit.



De chacun de ces évènements, appelés nœuds, peuvent partir de nouvelles branches sur lesquelles sont
notées des probabilités associées.



Un chemin est une succession de plusieurs branches partant de la racine et allant jusqu’à un nœud final.



Une branche



Un chemin



La racine



Un nœud

2°) Règles de construction d’un arbre pondéré
Propriétés :
1°) La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
2°) La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches constituant
le chemin.
3°) La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins menant
à cet événement.
Exemple : Dans une maternité, une étude statistique a permis d’établir que :




10 % des accouchements ont lieu avant terme.
Quand l’accouchement a lieu avant terme, dans 40 % des cas celui-ci présente des complications.
Quand l’accouchement n’a pas lieu avant terme, dans 20 % des cas celui-ci présente des
complications.

On considère les événements suivants :
 A : « l’accouchement a lieu avant terme » et 𝐴̅ son événement contraire.
 C : « l’accouchement présente des complications » et 𝐶̅ son événement contraire.
1°) Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2°) Calculer 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) puis conclure en langage usuel.
3°) Calculer la probabilité qu’un accouchement ait lieu avec des complications.

1°) A l’ide des données de l’énoncé et les règles rappelées ci-dessus, on obtient l’arbre suivant :

0,4

0,1

𝐶

0,6
𝐶̅
0,2

𝐶

0,9
:

0,8

𝐶̅

2°) Le chemin qui contient à la fois les événements 𝐴 et 𝐶 est en bleu. On multiplie les probabilités sur
chaque branche :
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0,1 × 0,4 = 0,04.
La probabilité que l’accouchement ait lieu avant et terme et avec des complications est de 0,04.
3°) On doit calculer 𝑃(𝐶). On s’aperçoit que l’événement C est présent sur deux chemins (bleu et orange).
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐶) = 0,1 × 0,4 + 0,9 × 0,2 = 0,04 + 0,18 = 0,22
La probabilité que l’accouchement ait lieu avec des complications est de 0,22.

3°) Calculs à l’aide de formules :
Propriétés :
1°) Pour tous événements A et B, on a : 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
̅ ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
2°) Pour tout événement A, on a : 𝑷(𝑨

Remarque : La seconde formule est un cas particulier de la première. En effet en prenant 𝐵 = 𝐴̅, on obtient :
𝑃(𝐴 ∪ 𝐴̅) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴̅). Mais 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴̅) = 𝑃(Ω) = 1 et 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴̅) = 𝑃(∅) = 0.

D’où le résultat.
Exemple : Dans l’exercice précédent :
1°) Calculer 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶) et interpréter le résultat.
2°) Calculer 𝑃(𝐶̅ ) et interpréter le résultat.
1°) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0,1 + 0,22 − 0,04 = 0,28.
La probabilité que l’accouchement ait lieu avant terme ou avec des complications est de 0,28.
2°) 𝑃(𝐶̅ ) = 1 − 𝑃(𝐶) = 1 − 0,22 = 0,78.
La probabilité que l’accouchement ait lieu sans complications est de 0,78.


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