Résolution Je me prépare 5 Ln .pdf



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Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

.

Problème

d Montrer que (Cf ), la courbe de f , admet une branche para-

x

bolique vers la droite (∆) d’équation y = x.
2 Montrer que f 0 (x) =

− 2 ln x

1 Montrer que g 0 (x) =

(x − 1)2

ja
ou

x−

1

g(x) =

ch

I Soit g la fonction numérique définie sur ]0; +∞[ par :

A
m

3 Construire (∆) et (Cf ) dans un repère orthonormé.
4

a Montrer que la fonction G : x 7→ x ln x − x est une fonction

ro
f.

P

f (x) = x +

(ln x)
x

1
x

b En utilisant une intégration par parties montrer que :

Z

e

(ln(x))2 = e − 2.

1

II On considère la fonction numériquef définie sur : ]0; +∞[ par :

x→+∞

de f .

primitive de x 7→ ln x sur l’intervalle ]0; +∞[.

( Indication : g(1) = 0)

a Montrer que : lim

puis dresser le tableau de variations

: g(x) ≤ 0 et que ∀x ∈ [1; +∞[ :

g(x) ≥ 0.

1

x

puis dresser le tableau de varia-

x2
tions de g sur l’intervalle ]0; +∞[.

2 Montrer que ∀x ∈]0; 1]

g(x)

c Calculer l’aire du domaine compris entre (Cf ) et l’axe des

− (ln x)2 − 2 .

abscisses et les deux droites d’équations x = 1 et x = e .

2

=0

(Indication :on peut poser t =



x)

puis calculer lim f (x).
x→+∞

b Vérifier que :

(∀x ∈]0; +∞[) , f


1
x

c Calculer lim f (x) (Indication : poser t =
x→0+

1
x

= f (x).
) Puis interpré-

ter le résultat géométriquement.

22 mai 2020

1/ 7

2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

Correction

ja
ou

puis dresser le tableau de varia-

∀x > 0 :
0

g (x) =



x−

= 1+

=

1
x

1
x2

− 2 ln x



0

(x − 1)2
x2

.

∀x ∈]0; +∞[ , x2 > 0 et (x − 1)2 ≥ 0

Puisque :

Alors :

g 0 (x) ≥ 0

∀x ∈]0; +∞[:

Donc la fonction g est strictement croissante sue l’intervalle

]0; +∞[ .

P

tions de g sur l’intervalle ]0; +∞[.

ro
f.

x2

x

− 2 ln x

A
m

∀x ∈]0; +∞[.
(x − 1)2

1

ch

g 0 (x) =

I Soit g une fonction numérique telle que : g(x) = x −

1 Montrer que g 0 (x) =

2 PC et SVT.Biof

x

0

+∞

1

+∞
g

2

f (1) = 0
−∞

x

x2 + 1 − 2x
x2

2 Montrer que ∀x ∈]0; 1] : g(x) ≤ 0 et ∀x ∈ [1; +∞[ : g(x) ≥ 0.

2

=

=

x − 2x + 1
x
( Indication : g(1) = 0)

(x − 1)2
x2

Tableau de variations de g :

22 mai 2020

La fonction g est strictement croissante sur ]0; +∞[ et on a
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2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

g(1) = 1 − 1 − 2 ln(1) = 0 d’où :
lim

(ln x)2
x

x→+∞

ch

x ∈]0; 1] =⇒ x ≤ 1

A
m

=⇒ g(x) ≤ 0

x ∈ [1; +∞[ =⇒ x ≥ 1

=

=⇒ g(x) ≥ 0

Donc : lim

1

a Montrer que : lim

(ln x)

x→+∞

x

x

x→+∞

22 mai 2020

x

lim

t

lim x +

x→+∞

1

ln(t)

t→+∞

t


=0

x

− (ln x)2 − 2



=0

=


x)
Car lim

(ln x)2

x→+∞

b Vérifier que :

=0
3/ 7

lim x 1 +

x→+∞

1
x2



(ln x)2
x



2



x

= +∞

x→+∞

x→+∞



=0

2

(ln x)2

2

x→+∞

puis calculer lim f (x).

Montrons que : lim

lim

2 ln(t)

Calculons : lim f (x).

lim f (x) =

(Indication :on peut poser t =

2

t

t→+∞

(ln x)2

x→+∞

II

lim

ln(t2 )

t→+∞


=

(x = t2 )

t2

P

=⇒ g(x) ≥ g(1)

lim

t→+∞

= 0

ro
f.

Aussi :

=



ja
ou

=⇒ g(x) ≤ g(1)

2

(ln(t2 ))

x

= 0 d’après la Qt précédente.

(∀x ∈]0; +∞[) , f


1
x

= f (x).

2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

Pour tout x de ]0; +∞[ on a :

=

x
1
x

+

1
x

2
1
− ln
−2
x

+ x − (− ln(x))2 − 2

= x+

1
x

− (ln(x))2 − 2

∀x > 0 :

P

Puisque lim f (x) = +∞

Calculons lim

Indication : poser t =

lim

x→+∞

1

x→0+

=

lim t +

1

t→+∞

t

x

=

=

x

.
x+

lim

1
x

− ln2 (x) − 2
x

x→+∞

lim 1 +

x→+∞

1
x2

= 1.

− (ln(t))2 − 2

Puisque on a lim

lim f (x) − x =

lim f (t)

x→+∞

t→+∞



ln2 (x)
x



car lim

2
x
ln2 (x)

x→+∞

f (x)

x→+∞

x

x

= 0.

= 1 Calculons lim f (x) − 1.x
x→+∞

lim

x→+∞

1
x

− ln2 (x) − 2

= −∞.

= +∞.
Interprétation géométrique : (Cf ) Admet une asymptote ver-

22 mai 2020

f (x)

x



Puis interpréter le résultat géométriquement.

lim f (x) =

f (x)

x→+∞

x



x→0+

bolique vers la droite (∆) d’équation y = x.


1

f (x) = f

c Calculer lim f (x)

d Montrer que (Cf ), la courbe de f , admet une branche para-

x→+∞

ro
f.

= f (x)
Donc :

ch

=

1

ja
ou

x

1

ticale d’équation y = 0 (Axe des ordonnés).

A
m

f

1

2 PC et SVT.Biof

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lim f (x) − x = −∞

x→+∞

2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
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Tableau de variations :

ja
ou

(Cf ) Admet une branche parabolique vers la droite d’équa-

tion y = x au voisinage de +∞ .

g(x)
x

∀x > 0 :

x

22 mai 2020

f 0 (x) =



0

0

+

1

+∞
+∞

f

x2

f (1) = 0

3 Construire (∆) et (Cf ) dans un repère orthonormé.

g(x)

Donc ∀x > 0 :

+∞

+∞

1

− 2. . ln x
x


1
1
=
x − − 2 ln x
x
x

x

x

1

f 0 (x)


0
1
2
f (x) =
x + − ln (x) − 2
x

1

g(x)

donc le signe de f 0 (x) dépend du signe de g(x) car x ∈]0; +∞[.

0

0

=

f 0 (x) =

]0; 1[ et g(1) = 0.

P

Calcule de la dérivée :

= 1−

∀x > 0 :

D’après la question I − 2) : g positive sur ]1; +∞[ et négative sur

ro
f.

de f .

1

On a

puis dresser le tableau de variations

A
m

2 Montrer que f 0 (x) =

ch

Conclusion :

2 PC et SVT.Biof

g(x)
x
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2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

a Montrer que la fonction G : x 7→ x ln x − x est une fonction

primitive de x 7→ ln x sur l’intervalle ]0; +∞[.

∀x ∈]0; +∞[ :
G0 (x) = (x ln x − x)0 = ln x + x

A
m

ja
ou

ch

4

2 PC et SVT.Biof

1
x

−1

ro
f.

= ln x + 1 − 1

= ln x

P

Puisque ∀x ∈]0; +∞[ : G0 (x) = ln x alors la fonction G est

une fonction primitive de ln sur ]0; +∞[ .

b En utilisant une intégration par parties montrer que :

Z

e

(ln(x))2 = e − 2.

1

Z

e
2

Z

(ln(x)) dx =

On sait que :
1

e

(ln(x)) . (ln(x)) dx
1

Posons U 0 (x) = ln x et V (x) = ln x

22 mai 2020

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2019/2020

Problème Résolu
Fonction ln

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

0

2 PC et SVT.Biof

Z

t

e

f (x) dx =

U (x) = ln x =⇒ U (x) = G(x) d’après la q précédente

(ln(x))2 dx =

x

.

e

Z

ln(x). ln(x)dx

1

1

=

h

ln(x).G(x)

ie

Z


1

h

ln(x).G(x)

ie

Z

=

=

ln(x).G(x)

P

=

h



x

e



1

h

1

ln(x).G(x)


0−0 −



ie

1

1

Z



x+
1
e

Z
=

x+
1

=

.G(x)dx
=

ro
f.

=

1

e

e

=

ja
ou

e

1

Z

A
m

Z

= ln x =⇒ V 0 (x) =



f (x)dx

car f ≥ 0

1

ch

1

V (x)

e

Z


1
. x ln(x) − x dx
x

=

e

h x2
2
e2
2

1
x
1
x

− ( ln(x))2 − 2dx
Z
− 2 dx −

e

( ln(x))2 dx

1

+ ln(x) − 2x

ie

− (e − 2)

1

+ 1 − 2e −

1
2



− 0 + 2 − (e − 2)

e2 − 6e + 9
2

ln(x) − 1 dx

Par suite l’aire du domaine compris entre (Cf ) et l’axe des

1

ie

h
ie
− G(x) − x

1

1

abscisses et les deux droites d’équations x = 1 et x = e


− e − (−2)
est :

e2 − 6e + 9
2

U.a.

= e−2

c Calculer l’aire du domaine compris entre (Cf ) et l’axe des

abscisses et les deux droites d’équations x = 1 et x = e

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