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Je me prépare 6

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

Exercice
1

a Résoudre dans R l’équation :

x2 + 4x − 5 = 0.

b Résoudre dans l’intervalle ]0; +∞[ l’équation :
2 Résoudre dans l’intervalle ]0; +∞[ l’inéquation :

ln (x2 +5) = ln(x +2) +ln(2x).
ln(x) + ln (x + 1) ≥ ln (x2 + 1).

Problème

g(x) = (1 − x)ex − 1

ch

I Soit g la fonction numérique définie sur R par :

ou

1 Montrer que pour tout x de R : g 0 (x) = −xex .

3 Déduire que ∀x ∈ R

m
ja

2 Calculer g(0) Puis dresser le tableau de variations de g sur R.

: g(x) ≤ 0.

ro
f.
A

II On considère la fonction numériquef définie sur : ]0; +∞[ par :

f (x) = (2 − x)ex − x .

P

(Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. ||~i|| = 1cm.
1 a Montrer que : lim f (x) = −∞.
x→+∞

b Montrer que lim

x→+∞

f (x)
x

= −∞. Puis interpréter le résultat géométriquement.

2 a Montrer que lim f (x) = +∞ puis calculer lim [f (x) + x]
x→−∞

x→−∞

Rappel : lim xex = 0.
x→−∞

b Montrer que la droite (D) : y = −x est une asymptote oblique de (Cf ) au
voisinage de −∞.
3 a Montrer que : ∀x ∈ R

: f 0 (x) = g(x).

b Interpréter géométriquement le résultat : f 0 (0) = 0.
c Montrer que f est strictement décroissante sur R puis dresser le tableau de
variations de f.
28 mai 2020

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2019/2020

Je me prépare 6

Fb : maths n poche
Prof: Said AMJAOUCH

2 PC et SVT.Biof

4 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur R et que

3
2



< α < 2.

3
2

On admet que e > 3



5 a Résoudre dans R l’équation f (x) + x = 0 et déduire que (Cf ) et (D) se
coupent au point A(2; −2).
b Étudier le signe de f (x) + x sur R.

ch

c Déduire que (Cf ) est au-dessus de (D) sur ] − ∞; 2[ et au dessous de (D) sur

m
ja

ou

]2; +∞[.

6 a Montrer que (Cf ) admet un unique point d’inflexion de coordonnées (0; 2).

ro
f.
A

b Construire la droite (D) et (Cf ).
7 a En utilisant une intégration par parties montrer que :

0

4
(2 − x)ex dx = 3 − .
e
−1

Z

b Déduire par cm2 l’aire du domaine compris entre (Cf ) et la droite (D) et les

P

deux droites d’équations x = −1 et x = 0.

28 mai 2020

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